А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В следующих двух параграфах мы будем основываться на материале гл. 3 н $ 2.2. 1. Найдем математическое ожидание и корреляционную функцию стационарного процесса примера 1 1.2: Ц~ = Л соз(111+ гр), где Л, т1 имеют произвольное совместное распределение на [О, ао) Х [О, ао), а ~р не зависит от них и распределено равномерно на [О, 2п). Легко видеть, что М~, существует тогда и только тогда, когда МЛ ( оо (имеем М[~р [= М [$в[== =МА М[созгр[), и при этом М$~ = МЛ М созгр= МЛ ° (2п) ' ~ сов аг(а= О. о Моменты второго порядка существуют, когда МА'( ( со; в этом случае К (т) = М$т+Дв = МА соз (11 (з + т) + ф) соз (т1з + ф) = = — [МАв сов 11т + МЛв соз (т1 (2з+ т) + 2гр)[. Второе математическое ожидание равно нулю, потому что случайная величина т1(2з+ т) + 2ах приведенная по модулю 2п к отрезку [О, 2п), не зависит от А и имеет равномерное распределение.
Преобразуем первое математическое ожидание: К (т) — —, ~ ~ х созут1зл (г1хйу) — ~ созут1х(ду) (1) о о о где р — конечная мера на (О, ао), определяемая ра- венством 1х(В) = з ~ ~ х 1хлч(г(хну) = з мА'1~а(з1) а в Здесь всюду интегралы от 0 до оо берутся, включая точку О. Б качестве р может выступать любая конечная мера на (О, оо). Если определить меру т на Й', перенеся половину меры р с (О, оо) симметрично на ( — оо, 0), то формулу (1) можно переписать в виде (2) Мы видим, что корреляционная функция — преобразование Фурье симметричной меры на Я'. Для т(ЫУ)=,, например, К(т)=е, т.
с, коррея 'ау 1+У' ' ляциопная функция получается такой же, как для совершенно не похожих ни на случайное гармоническое колебание, нн друг на друга процессов примера 8 й 1.2 и задачи 2 й !А. Чтобы получить корреляционную функцию вида (2) с произвольной — не обязательно симметричной — мерой т, достаточно рассмотреть процесс Ч~ = = Аепч'з.т~, где т1 может принимать и положительные, и отрицательные зиачсияя. 2. Линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами Р ( — ) = ~ пь —, (ю) х. ь=о если его можно применить к стационарному процессу переводит его также в стационарный процесс т),=Р ( — „т ) $ьФормулы (9) — (11) Э 2.1 имеют в дангн~ ном случае вид Мт)т = Р ( — ) М~т —— ачтп (т = Мчт), (3) К„ч (! — в) = Р ( — ) Р ( — ) К () — э), (4) К„,(! —.) =.
Ы к„(! —.). (5) Здесь Р— многочлеи с комплексно-сопряженными коэффициентами аь Дифференцирование А раз функции Ктт(! — б) по з сводится к А-му дифференцированию функции Ктт по ее аргументу и умножению на ( — !)ь; с учетом этого формула (4) превращается в К„„(.) =Р( —,",) Р( — +) К„(т). Из формулы (5) получаем К„,(.)=Р( — „",)К(((.), К„(.)=Р( — — „',)К(((.). Если г =Я( — „) ~о тем же путем находим К ="( )й- —:,) Рассмотрим частные случаи.
а) Р(х) = х. Здесь К,,(т) =- — К" (т), а совместная корреляционная функция $, В' есть < К(( (т) — К(( (т)'т К(( (т) — Кц (т)/ Если функция К(т действительна (в частности, для действительного ~~), то К' (0) =0 как производная в нуле четной функции, и Цо $,' некоррелированы (частный случай — в задаче 16 ~ 2.1). б) Для Р (х) = 1 + х + хт будет Р ( — х) = Р ( — х) = = 1 — х+ хе, Р(х)Р( — х) = 1+ хт+х4, так что корреляционная функция процесса ~, + б,'+ Ц, получается из Ктт(т) применением такого дифференциального оператора: К (г)+К" (т)+КЦ'(т). 3 а д а ч а 1.
Докажите, что если 8~ — непрерывный а среднем каадратнческом стационарный процесс, т = Мс, Ф 6, то не сушестауст случайной величины Ч такой, что Ч+ ~ 8« оа — стапио- о парный процесс. Более общий вопрос: существует лн стационарный процесс, являющийся решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами / И Р( ~ ) пи=й,р (Если ответ на этот вопрос положио! телен, а Π— устойчивое решение для соответствующего однородного уравнения, то к т1~ неограниченно приближаютс» при увеличении ! решения при всевозможных начальных условиях.) Решить эти задачи и найти характеристики соответствующих случайных процессов мы сможем в 3 4.2. Представляет интерес существование !.
!. т. Т ' Х т.+ т Х ~ цлс!! (в случае непрерывного в среднем квадра- о тическом стационарного процесса) или !.!. ш. и ',)' «» а=! (в случае стационарной последовательности). 3 ада ч а г. Докажите, что если корреляционная функция стремится к нулю на бесконечности, то 1.!.пс ~ я ог=т ! т,-т,-я (6) 87 3. Интегрирование. Законы больших чисел. Статистика стационарных случайных процессов. Производная стационарного процесса, если она существует,— тоже стационарный процесс. Что касается интегрирования, то неопределенный интеграл от стационарного в широком смысле процесса (который существует, если только корреляционная функция непрерывна) вовсе не обязан быть стационарным процессом; более того, не всегда можно так подобрать «произвольную постоянную» — случайную величину, прибавив которую можно сделать из интеграла стационарный процесс, или л,-г 1 1.з.гп. 7 й =пз ) ., ь=пз (7) (гп — математическое ожидаиие).
В следующеьз параграфе мш докажем, что предел (6) (или (7) ) всегда существует; только этот предел не всегда является константой — это какая-то интсгрируемая в квадрате случайная величина. )(апримср, для процесса йз = А сов(т)1+ ф) предел '(6) равен нулю при т) ~0 и А сов зр при т) =О. Ргзулыаты типа закова бозыпих чисел представляюз собой основу решения ряда задач математической статистики, относящихся к случайным процессам. Гели математическое ожидание т и корреляциопиая фуикция К(т) стациоиариого процесса вз иэм неизвестны, ио мы можем иаблюдать процесс пв отрезке от 0 до 'Т, то естествсзшой оценкой для математического ожидания будет (в случае аепрерывиого времени) ш;..-Т- ~$,Ж о Эта оценка — несмещенная, ао пе является, вообще говоря, иаилучшей.
Закон больших чисел для йз озпачвет состоятельность этой оценки Л кэк оценить по пабшолсвию вп 1ш (О, Т), корреляциоияую функцию К(т) или функцию ч) (.г) .= М$ тД,у Нссмещеииой оценкой дли О(т) будет й)г (т) =,. (,) ~ 1.ь.й. (з. осе 5 т згз .г Состоятельность этой оценки сводится к закону болыпих чисел для процесса Ч, = $, „йг Этот процесс для стациоззарззого в широком смысле процесса В, вовсе ие обязав быть стационарным в широком смысле (если $з стациоиареи в узком смысле, то Ч, также стазгиооареп). 3 а д а ч з 3*. Пусть вз — действительный гауссовский стационарный процесс с пулевыи математическим ожиданием и непрерывной коррсляциаииой Функцией К(т), стремящейся к нулю иа бескоиечпости. Найдите выражение для корреляционной функции процесса Ч = й, й .
Выясните, является ли ()Г (т) состоятельной оценкой для К(т). У к а з а и и е. Для случэйиых величии Вз, $з, яз, $„имеющих гауссовское совмеспзое распределение со средним 0 и матрицей ковариаций (Ьч), смешанный четвертый момент М$4звзйз = = Ь|зЬзз + Ь|зЬгз+ Ь!зйзз.
4. Условие неотрицательной определенности (см. задачу 1 9 1.3) в случае стационарных процессов преврагцается в с;сьК (1т — 1х) ь 0 !, ь (с; — комплексные числа, 1! — элементы Т). Имеют место следующие теоремы. Те о р ем а 1 (Герглотца). Для того чтобы последовательность К(п), — со ( и оо, была неотрицательно определенной (т. е, чтобы для любых комплексных с, и цельчх 1; выполнялось (8)), необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде К(п) = ~ е"""р (Ю.), (-и, ь! где !х — конечная мера на ( — и, и) (в качестве о-алгебры берется о-алебра борелевских подмножеств ( — и, и)). Мера !ь определяется однозначно. Т е о р с и а 2 (Бах нера — Хинчина) .
Для того чтобы функция К(т), — со с - со, была непрерывной и неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы оно предппвлялась в виде К (т) ~ еыхр (й1) где р — конечная мера на ( — ао, ао). Мера и опреде. ляется однозначно. Доказательство этих теорем можно прочесть в 9 39 учебника Г н е д е н к о (1988); теорему 1 полезно доказать самому, пользуясь элементарными сведениями из теории рядов Фурье и свойством относительной компактности ограниченного семейства мер на окружности. Мера р называется спектральной мерой.
Вычисления п. 1 показывают, каким образом для любой конечной меры р (неотрицательно определенной функции К) можно построить пример соответствующего случайного процесса. Если мера р абсолютно непрерывна относительно меры Лебега с плотностью 1'(к), то последнюю называют спектральной плотностью стационарного процесса (последовательности). 89 Спектральная мера имеет «физический смысл» распределения энергии случайного колебания по разным частотам, спектральная плотность — плотность распределения энергии по частотам.
Укажем, какие спектратьныс плотности соотаетстнуют неко торым из рассмотренных ранее корреляционных функций: для /Г (т) = е ' 1 (пример 8 5 1.2; задача 2 5 1.4) /(Л) = = и 'и/(о' + Л'); для последонательности некоррелиронанных неличнн с дисперсией о' будет /(Л) = о'/2п на всем отрезке от -и до и. Решение задачи 21 $2.! гоаорит нам, что (2ПТ) ~ Е 'Г~~СГо( о ннляется асимптотически несмещенной оценкой дли спектральной плотногтн /(Л). Вычисления показывают, что дисперсии этой оценки, скажем, а случае гауссонского процесса не стремится к нулю при Т «о, и оценка оказывается несостоятельной Как а таком случае следует находить по опытным данным спектральную плотность? Этому ноцросу посвящена обширная литература как чисто математического, так и прикладного, «инженерного» характера (см., например: Г.
Д ж еп к и но, Д. В а т то «Спектральный анализ и гго приложения» (Вып. 1. Мп Мир, 1971); Э. Х е н н а н «Анализ временных рядов» (Мп Наука, 1964)). В нашей книге коснуться вопросов статистики случайных процессон мы не сможем. Мы рассмотрели здесь спектральные представления корреляционных функций; зто — переход к следующему параграфу, где речь идет о представлении самих случайных функций.
В 4.2. Спектральные представления 1. В атом параграфе и в следующем мы будем рассматривать процессы на Т =/(! или 2!. В $ 3.2 мы уже говорили о важности установления изоморфных соответствий между пространствами Нг и достаточно простыми Аз-пространствами. Это нужно уточнит!к важными для исследования стационарных процессов оказываются такие изоморфизмы, при о которых группе операторов сдвига Оа на Нг соответствует достаточно простая группа операторов, а для задач линейного прогнозирования важно, чтобы также' пространствам Но«. г соответствовали достаточно простые надпространства юз-яространства. На таких изоморфных соответствиях основываются спектральные представления стационарных процессов. Т е о р е м а. Пусть корреляционная функция стационарного е широком смысле процесса 5ь / е= /тг! 90 (соответственно ! е= с'), М5, = тп, представляется в виде К (т) ~ еыхр (с!Л) соответственно ~ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
