А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(Х) ее ряда Фурье, -. достаточно, чтобы зто были любые тригонометрические многочлепы. Г!ользуясь теоремой Фейера, говорящей, что к а~абай непрерывной периодической функции ранномерно сходятся суммы а. (Х) =- = (ао(Х) + зз (Х) +... + З»- ~ (Х) ) (и (ем. К о л и о г о р о в н Ф ам и н (1968, гл. з'111, $ 2)), мы получаем предстанлеияе (3) для любой непрерывной положительной спектральной плотности. Для разрывных, но ограниченных сверху и снизу спектральных плотностей можно получить аналогичные результаты, воспользовавшись вместо пространств С о, С>а пространствами функций, к которым последовательности тригонометрических многачлснов с неположительными (неотрицательными) степенями е сходятся почти всюду, оставаясь равномерно ограниченными зх 5.
Указанный метод факторизации плотности является общим, и, значит, в конкретных случаях вы. годнее пользоваться не им, а какими-нибудь методами с более узкой областью применимости. Так, часто приходится рассматривать случай, когда 1()о) представляется рациональной функцией от егх: (, (л) Р (егх) (з ( зл) где Р и (,з — многочлсны. Из действительности отнощения многочленов на единичной окружности вытекает, что их корни (корни и полюсы рациональной функции Р~Я разбиваются на пары симметричных 104 относительно окружности (т. е. получаемых друг из друга инверсией), и еще они могут иметь какой-то кратности корень 0: Р(г) (г — г!)(г — г! ') ... (г — г„)(г — г„'') — = сзь !е(е) (е в!)(2 в! )...(е — в )(е в ) где й может быть и положительным„и отрицательным, и нулем.
Пусть корни г!, ..., з„, ш!, ...,!е по модулю больше единицы, а 2!, ..., г„, и! ..., ш — меньше. Перепишем выражение для РЯ; -! Р 00 „~„,„1г! -- я) (г! — е — О . Ры — е) 1еи — е ') 4О ,Ч(е) (в, — г) (в, — г '1 ... (вв — е) (вв — г '1 При з = егк дробь действительна, поэтому коэффициент С тоже действителен, а степень й + а — гп = = О. Таким образом, получаем )(Л) =С (в, — е! )(в, — е !") . (вв — егх)(вв — е" ' ) Теперь в 1! (Л) включаем множитель 1!~С и те скобки, в которых участвует е †'": л т (! (Л) = 'Ъ~С 11 (2; — е !х) Ц (шь — е !х) — '. г=! А з— ! При этом 1(Л)=-1!(Л)1!(Л); докажем, что)!, )! э=С, Для этого достаточно проверить, что для (а)> 1 функция (а — е '") ' ен С~, (то, что (а — е-!х) ен С~в очевидно).
Имеем (а е-ал) ' а ! + а эе !х -1 а-зе мх + е- =Сч. о. Рассмотрим пример: 1(Л) = 5+ 4 соз Л (соответствующая корреляционная функция: К(0) =- 10п, К(+1) =4п, К(п) =0 при /а( 1). Имеем 1 (Л) = 5+ 2 (е!а+ е !л) = е нл(2еэ!х+ 5е!х + 2) = = 2е !х(е!х+ — ) (егх+ 2) =(2+ е'!х)(2+ е!х) . Здесь первый множитель есть 1!(Л), а второй (з(Л). По формулам (5), (6) получаем для прогноза на один шаг д(Л) =с. !~, (Л) 1 е — |л г 'эгх =) (2+с 'л) = — — — + — ' 2 4 8 воз!ьзвз 6) . = — — — +=' — =+ 2 4 8 !6 Для прогноза на большее число шагов лг = О, т.
е. наилучший линейный прогноз не использует наблюдаемых значений со, й !, й з, ..., ошибка прогноза (х ),=О равна (эй = (Оп. Средний квадрат отклонения от истинного значения прогноза на один шаг равен 2п(со(з = 8п, т. е, и прогноз на один шаг тоже очень плох в данном случае. 3 ада ча 3. Найти канду |ший лииейпый прогноз для $ по значениям $„, п ( О, в случае стациоиариой последовательиости с лгатечзтическим ожиданием 2 и спектральпой плотностью )(Л) = (25 + 24 сов Л)-' (корреляцяоиаая функция равна К(п) = Не забудьте учесть, что Мэл Ф О, и ввести в формулы для прогноза соответствуккцие изменения.
6. Формулы (5) — (8) могут сохранять смысл и тогда, когда плотность !(Л) в некоторых точках обращается в пуль или в бесконечность, ио их применение уже ие обосновано. Полсзио посмотреть, что люжио при этом сказать о задаче иаиэучшсго линейного прогноза. Наилучший прогноз в этом случае ие обазательио представляется в виде суммы ряда (6), потому что соот ветствующая фУнкция д(Л) может ке прииаллежать Ех(оЛ), имея точки, при приближении к которым оиа слишком быстро растет 3 а д а ч а 4*. Найдите иаилу ~ший прогноз за один шаг для стациоивриой последовательиости со спеьтральиой плотностью 1(Л) = 2+ 2соэЛ (К(0) = 4п, К(~!) = 2п, К(п] = 0 при )и( ) 1). А 1-!. Колмогоровым было доказака, что стационарная в широком смысле паследовательиость, имеющая спектральную ялотиость, тогда и только тогда линейке сиигуляриа, когда !и ( (Л) оЛ = — со (9) (этот иитеграл уже возникал у иас в формуле (8)), и тогда и только тогда лииейпо рсгуляриа, когда интеграл сходится.
3 ад а ч а 5'. Докажите, что из сиигуляриости следует (9) (в случае, когда есть спектральная плотность). 106 3 ада ч а 6*. Приведите пример стационарной в широком смысле последовательности, ис являющейся ни линейно регулярной, ни линейно сингулярной. Формулы для наилучшего линейного прогноза в случае стационарного процесса с непрерывным временем можно также написать по аналогии с формулами для стационарной последовательностш используя вместо рядов Фурье преобразование Фурье.
Разумеется, после того, как формулы написаны, их следует доказать В частности, для корреляционной функции К (т) = а е имеем оог/и о Ч/о/и гг .у о/и /")=.а+Л = а+гй и гЛ- Здесь первая функция о /, (Л) =на/о/и ~ еога'х Ж представляется в ниле интеграла Фурье только по отрипательным значениям й а вторая — комплексно-сопряженная к первой. По аналогии с формулой (5) имеем для прогноза на время з ) 0 о о (Л) =-оа/о/и ~ егхгеа Р- з)г/Г, / (Л) ! =а жг Этой функции (константе) соответствует такой наилучший линейный прогноз для х, па (йь ( ( 0)г — аг (Вз)«е = е ьо. В более сложных случаях д содержит слагаемые вида са (гл)", а также остаток, стремящийся к нулю на бесконечности; в (аз) о это дает г Счйо — линейную комбинаци|а производх ш) ч ных в последний наблюдаемый момент времени плюс интеграл с некоторой плотностью по всему' прошлому процесса.
3 н д а ч а 7*. Найдите наилучший линейный прогноз для стационарного процесса с корреляционной функцией К (т) = (1 + +п(т()е- )т) Глава в БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. СВОЙСТВА С ВЕРОЯТНОСТЬЮ ! 5 5.1. Распределения случайных функций. Теорема Колмогорова о конечномерных распределениях 1. В и. 2 а) 2 1.3, мы уже наметили проблемы, о которых будет идти речь в этой главе. Прежде всего скажем, что такое распределение случайной функции. Распределение случайной величины или случайного вектора — это мера в измеримом пространстве (!г', Я') или (1с", Я"), определяемая соотношением р1(С) = Р (э ен С). Рассмотрим случайную функцию ~ь (в=в Т, принимающую значения в измеримом пространстве (Х, Ж).
Пусть почти все реализации этой случайной функции принадлежат некоторому пространству Х, состоящему из функций хь 1е= Т, со значениями в Х. Распределение случайной функцин —— это будет мера в этом функциональном пространстве. Однако, прежде чем об этом говорить, нужно ввести в пространстве Х о-алгебру. Цилиндрическими множествами в пространстве Х будем называть множества вида (х. е.== Х: (х~п ... ..., х~ ) в=в Л), 1ь ..., 1„в=в Т, Л г.:-М". (Объяснение названия: в частном случае Х = Р', Т = (1, 2, 3), и = = 2 это просто цилиндры с образующими, параллельными одной из координатных осей.) Легко видеть, что цилиндрические множества образуют алгебру, но (в случае бесконечного Т) не о-алгебру, Определим о-алгебру М'т(Х) в пространстве Х вЂ” наименьшую о-алгебру, которая содержит все цилиндрические множества.
Ясно, что ХС'т(Х) является также наименьшей о-алгеброй в Х, содержащей все множества вида (х. ~ Х: х,е:- Л), ! ен Т, Л ен 2Г. Распределением случайной функции $ь (е= Т, в пространстве Х мы будем называть вероятностную меру р в пространстве (Х, то'т(Х)), опредсляемую 103 соотношением р (С) = Р Д. ~ С); т. е. значение м этой меры на множестве С в функциональном пространстве определяется как вероятность того, что выборочная функция принадлежит этому множеству. Мы можем рассматривать распределение случайной функции в различных пространствах, которым принадлежат все или почти все ее реализации; для любой случайной функции мы можем использовать пространство Х' всех функций хь ? с=в Т, со значениями в Х. И этом случае для соответствующей а-алгебры мы будем использовать более короткое обозначение Кг. Почему вероятность Р (ч е— : С) определена для любого Се=†Жг(Х)? Рассмотрим множество всех подмножеств Х, для которых эта вероятность опредс! лена, т.
е. 5 (С) принадлежит йг — нашей основной о-алгебре в вероятностном пространстве. Это множество множеств является а-алгеброй, и оно содержит все множества нида (х. с=в Х: х, ~= =Л); значит, оно содержит и наименьшую о-алгебру, содержащую все такие множества, т. е. уо'"(Х), На бесконечномерные распределения переносятся многие понятия и результаты, известные нам для конечномерных; в частности, для нас важно следующее свойство: если ) — У'(Х)-измеримый функционал, то М) ($ ) = — ~ ) (х) р (пх), х причем оба интеграла сходятся или расходятся одновременно. Это — теорема о замене переменных в интеграле Лебега (см. введение).
2. Рассмотрим немного подробнее о-алгебру Ыг(Х). Оказывается, для любого множества С из этой о-алгебры существует не более чем счетное число элементов ?ь йь ..., 1„... ев Т таких, что принадлежность функции множеству С определяется только ее значениями в точках ~ь ~ь ... Точнее, существует множество Л, принадлежащее счетному произведению о-алгебры Ф самой на себя Ю = ФК Х Ж х', ..., такое, что С состоит из тех и только тех функций к. ~.= Х, для которых (хш хш ...) ~ Л. Иначе говоря, у" (Х)= ц у(ь ""л(Х), <ь,п,...1 — т 109 где том' ':" ) (Х) — о-алгебра в пространстве Х, поро>кдаемая множествами вида (х.
а=в Х: хг, ~ А), А ен Я', г'=-1, 2, ... Доказательство этого несложно. Указанная несчетная сумма о-алгебр, как легко видеть, сама является а-алгеброй (здесь используется то, что сумма счетного числа множеств (>>,)а, ...) сама счетна); она является частью Хо'>(Х); и так как Мт(Х) — наименьисая о-алгебра, содержащая все (х. е— : Х: хг ~ А), 1 ~ Т, А е= ао, то обе о-алгебры совпадают. Отсюда следует, что н случае несчетно~о Т такие множества, как (х.: зпр х, «с), или множество всех гет функций, непрерывных в точке )о, или множество всех функций, непрерывных справа, не принадлежат Я' (мы используем здесь обозначение Я', потому что в качестве о-алгебры )х> в случае числовых функций берется о-алгебра Я'). Соответственно не измеримы относительно Я' такие функции на )ст (т.
е, функционалы): ьцр х„1пп х, и т. п. > т > +>, Рассмотренное нами свойство и-алгебры М'т (Х) напоминает факт, рассмотренный в й 3.): лля любой случайной величины Ч нз Х.т существуют послеловательность )ь Гз, ..., ам . элементов Т н послелователыцкть функций („от и переменных такие, что Ч„=- ). г. гп. („) й>, ..., тьг Ч Это не упнвительно, гютому что гг> "(' ~ н> и-алгебра У г состоит нз прообразов множеств нз Ж' (Х) при огображеннн ы -ь $. (м). Олнако любой факт, относящийся к ьт пространствам, справеалнв лишь с точностью по множеств меры О, тогда как резулыат, показанный выше, вообще не касается никакой меры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
