А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Теорема также обобгцается на случайные поля в Р"', в этом случае вместо (1) нужно требовать, чтобы момент приращения не превосходил С[! — з[ ев, потому что число пар соседних двоично-рацнональных точек со знаменателями 2", а значит, и слагаемых в соответствующей сумме, заменяющей максимум, будет порядка (2") 3 а д а и а 2 Локажнте, что сушествует гауссовский процесс Л(!), О < ! ( ), с нулевом математическим ожиданием и коррелиционной функцией К(), а) = ! ут а — И с непрерывными реалиаацинми.
7. Теорему Колмогорова можно уточнить: из ее условий вытекает не просто суптествование непрерывной модификации й!, но и то, что эта модификация удовлетворяет условию Гельдера. Те о р ем а 3. При выпоатнении условий теоремы Колмогорова для любого О, О < О < и/и, при всех в,!~[а,Ь[, [з — ![<1 [ с, — Е, ~: С (а, О) В'" / ! — г [г (ог) где С(а, [)) — число, зависящее от а и О, а В = В(ы)— случайная величина, с вероятностью 1 конечная и такая, что МВ< С<Ь вЂ” ) Доказательство. Достаточно установить (о) для двоично-рациональных з, й Воспользуемся оценкой (2) и неравенством Гельдера: для любых а„> О, Ьа>О а„= ~~'„(а„йа) Ь„< а-! ! <( Х (а,ь,)')' 1( Х (Ь )' ) 127 В качестве Ь„ берем 28', получаем: ) 8< — $.
! =-! ь! — Я, ! < (2 ~Х и<ах )8<г ! ! — $ !!~( „,1,,!1 а~мг «г<-и!г" жь </а (2( ~, !<„„„, — гор!' Ь"') Х и -1 — <ох,< г — ! 11 а — ! Х( г. г '') к <<п х! =о ч — ! с в 8 < — !Оа 15 — <<1 Х2 1 — 2 Сумма от О до оо со случайными величинами — это и есть случайная величина В = В<<а); так как [ — !одг(а — 1)) лежит между — 1одг)а — 1) — 1 и -- 1о~г18 — 1~, то множитель при Вы не превосходит я а ! - а — '<-мк,!г-! ! — ц 2 8~+8 а — а 1 — 2 128 ..<~а — <1~.
( ° ' —.) ' Множитель при 18 — 11<! и есть С<а, р). Что же касается случайной величины В, то мы оцениваем МВ так же, как МА при доказательстве теоремы 2: МВ= М ~ <пах ~$. о.! — ~ы,„! ! - 2" ~ ~~ -о ~~ д' М ~„1 ~<гз-П<г" Хы "! ' 2"" а гм « ь< и!гР чч <! 2нгЬ )С 2 — ~< +а! 2~га С(Ь вЂ” а) 1 — 2 л О Теорема доказана. 3 а д а ч а 3'. установите, при каких р винеровский процесс шо О ( 1 ««1, удовлетворяет условию Гальдера с показателем р. 8.
В некоторых случаях задачу о том, существует ли случайный процесс с данными конечномерными распределениями, почти все реализации которого принадлежат данному подмножеству У с: Х', удобно разбить на две: первую — о том, существует ли процесс с данными конечномерными распределениями, почти все реализации которого принадлежат некоторому более широкому подмножеству Хг:. Х', и вторую — задачу в постановке в) п.
1. (Это выгодно, если полученные задачи оказываются проще первоначальной.) Скажем несколько слов о решении задачи о свойствах с вероятностью 1 в постановке в). Она может решаться для Х и Уф Я" из-за того, что У представляется в виде У = — Х П В, В е— : Я'г, р, (В) =!. В этом случае Р(9. Ф У) = Р(('-.. бй Х) (] (] й. Ф В)) и= Р Д. Ф Х) + Р (.'. Ф В) = О 9.
Сепарвбельность. Снойстну сепарвбельности уделяется большое внимание во многих книгах по теории случайных процессов. Его можно рассматирвать как очень слабое требование регулярности реализаций — настолько слабое, что у каждого процесса сущестнует сеиарабельная модификация; и можно доказывать результаты такого рода: если процесс сепарабелен, а его конечномсрные расвределсния удовлетворяют таким-то требованиям, то почти все выборочные фуккцни обладают такими-то свойствами (результаты в постановке в) п 1).
Случайный процесс йь (од Т, называется сепарабельным, если в Т существует подмножество Та такое, что с вероятностью 1 для всех т ~Г Т КТв яг(ы) принадлежит множеству частичных Рис. 12 пределов с,(ы) при з-ь Д з г= Те. Иначе говоря, почти асс реализации должны обладать следующим снойством: график $г(ю), т гм Т, содержится в замыкании графика $.(ы), з ас Те (зтим свойством обладают, например, функции на рис. 12 слепа и в середине, но не функция на том же рисунке справа). Те о р ем а 4. Пусть йь ( ~ц Т, — стохастически непрерывный случайный процесс.
Тогда существует стохасгически эквивалентный ему сепирибельный процесс йп ( ~ Т, принимпющий значения в расширенной числовой прямой [ — оз, со]; при этом 5 А. д. Вентцель 129 а качестве множества селарибельности Т, может быть выбрано любое впаду плотное в Т счетное подмножество. Д о к а з атель ство, Разумеется, для ! зм Тз мы оставляем $~ как есть: кз = кь Для 1~ Т ' Тз мы оставляем в! = сз, если яз попадает в множество частичных пределов $5 при з-» Г, з щ Тз, если же 3~ не попадает в это множество, то полагаем в = (нп 35.
При этом нужно доказать три вещи. Во-первых, 5-» Г 5 Ю Т„ что таким образом получится случайный процесс; для этого до- статочно доказать измеримогть множества А~ = Д~ не принад- лежит множесгну част!юных пределов 3, ари з й з щ Тз) и измеримость функции 1лп з„которая ясна, так как эта функ- 5-+З змт, цня равна !п1 злр Ь. пз 15 — г)(!!ю 5 с:- т 3 а д а ч а 4. Докажите, что Ас= () 1(а<аз<())П П Ц (в,Ф(а р)) «<б 1 вз=! 15 г 1<!дп В, Р Рвк. 5 С: Г* Во-вторых, нужно проверить, что полученный процесс сепарабелен; но это ясно.
В-третьих, — что он стохастически эквивалентен первоначальному, для этого достаточно доказать, что !Р) Р(А ) =О. 1(о это вытекает из того, что Зз — » $ при з 1, з 5= Тз, а значит, существует последовательность 1„— з- 1, г„щ Тз, такая, что а = 1!ш $ почти наверное. Зп 3 а м е ч а н и е 1.
Если рассматривать только процессы, принимающие числовые значения (без ~со), то утверждение теоремы неверно, и по понятным причинам (постройте пример!). 3 а м е ч а н не 2. Разумеется, в качестве Т можно взять любое селарабельное метрическое пространство, а не только часть )г', в качестве пространства Х, в котором лежат значения Сь —- компакт (вместо интервалов с рациональными концамн нужно тогда брать счетную базу открытых множеств). 3 а м е ч а н н е 3.
Если процесс не стохастически непрерывен, то, оказывается, у него тоже есть сепарабельная модификация, только множество сепарабельнссти Тз нельзя выбирать произвольным всюду плотным н Т подмножеством (см. Д у б (!966, гл. П, 3 2, теорема 2.4)). Теорему Колмогорова и микротеорему и.
3 можно переформулировать следующим образом: если процесс Зз гепарабелен и если выполнено услоние (1) (или Р(1 »(~з) =1 при з (! и т. и.), то почти все реализации процесса непрерывны (монотонны, ...). Однако польза от рассмотрения свойства сепарабельности не так уж значительна, потому что, разбивая задачу о свойствах с вероятностью 1 на дне, мы получаем одну задачу слишком легкой, а другую ненамного легче первоначальной.
130 й 5.3. Абсолютная непрерывность бесконечномерных распределений и плотности Для единообразия в этом параграфе всюду рассматриваются распределения на (Хг,)ю'г), Распределения случайных функций — меры на (Хг, Яг), и, естественно, имеет смысл говорить об абсолютной непрерывности одного распределения относительно другого, сингулярности и т. и. Помимо теоретической важности, все эти понятия такмге очень важны для задач математической статистики, связанных со случайными процессами. В этом параграфе материал дается в основном в виде задач — и типа упражнений, и типа микротеорем. В задачах общего характера всюду приняты следующие обозначения: р — распределение случайной функции $г, ! е= Т, на вероятностном пространстве (ьз, Зг', Р); гг' — распределение случайной функции т!г, уе— : Т, на (ьа',,'т ', Р ) (случайные функции $г и т!г принимают значения в одном и том же измеримом пространстве); )х, г и )г,, — соответствуюгцие ко- 1"' ч нечномерные распределения.
1. 3 а д а ч а 1. Докажите, что распределения следуюшвх процессов на Т = [О, 1) сннгулярны относительно друг друга: винеровского процесса юь процессов $~ = юг+ 1 и г!г = 2юь У к а з а н и е. Чтобы доказать сингулярность, скажем, рь и р„, достаточно придумать згг-язмеримый функционал [ такой, что [ Рю) принимает с вероятностью ! какое-нибудь одно значение а, а [[Ч.) — с вероятностью 1 значение Ь чь а. Тогда для множества Са == [х .[[х.) = а) будет н.
(С ) = 1, р, (С„) = О, а для его дополнения р) (гх с ) = О рч (к " с„) = 1. Если распределение р' абсолютно непрерывно относительно р, то существует плотность Ь(х,) = = р (с[х.)/)х (агх.), измеримая относительно Фг: для любого С е= Мг )х'(С) = ~ Ь(х.) р (агх.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
