А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Считаем юв =- О, по- ложнм т! =- щах щ . Тогда з - 1 и р , ч (а, Ь) = (2!иТ~)И~ (2Ь вЂ” а) е' !зь я!11~71, если 0 < Ь, Ь ) и; О, если Ь <0 или Ь <а. Пользуясь этим и результатами задач 2, 13, в которых устанав- ливается, что плотность распределения соответствующих процес- сов относительно распределения винеровского процесса зависит только от значения траектории в последний момент времени, а также формулой (9), рсн|нте следующие задачи. 3 а д а ч а 17*.
Найднтс распределение случайной величины гпах (ж + Ы), в<!<7 где ю,— винеровский процесс, выходящий из нуля, а Ь- кон- станта. Предельным переходом получите распределение гпак (ю + о<!< + М). 3 ад а ч а 18*. Найдите распределение случайной величины гпах (ю — с(ю!), о<У< ! где с — константа, не равная 1. Предельным переходом найдите также зто распределение при с = 1.
9 5.4. Слабая сходимость бесконечномерных распределений 1. Напомним определение слабой сходимости мер. Пусть (р„) — последовательность вероятностных мер в метрическом пространстве Х с о-алгсброй лзх его борелевских подмножеств; тг — вероятностная мера. 137 Мы говорим, что р слабо сходится к т при и- оо, если для любой ограниченной непрерывной функции 1 на Х ~ ((х) 1з„(дх) — ь ~ )(х) т(с(х) (и -ь со) (1) Семейство мер (р) называется относительно слабо компактным, если из любой последовательности мер, принадлежащих этому семейству, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к какой-то мере (вообще говоря, не принадлежащсй этому семейству). Вопрос об относительной слабой компактности очень важен для установления условий слабой сходимости (вспомним доказательство теоремы о взаимной непрерывности соответствия между распределениями и характеристическими функциями).
Условия относительной слабой компактности дает следующая теорема. Т со р е м а 1 (теорема Прохорова). а) Достаточным условием относительной слабой компактности семейства вероятностньгх мер (1х) на метрическом пространстве Х являешься следуюи1ее: для любого г 0 существует компакт К =Х такой, что р(К) ) ! — е для любой меры р из нашего семейства. б) Если метрическое пространство Х вЂ” полное и сепарабельное (польское пространство), то зто условие и необходимо.
Д о к аз а тел ь ство мы приводить не будем (его можно прочесть в различных источниках, в частности в книге Б и л л и н гол и (1977)); прокомментируем эту теорему. Прежде всего, для свойства для каждого е ) О существует компакт К такой, что .. — употребляется терлгин: плотность семейства мер (не очень уда шый термин, хотя бы из-за путаницы с терминами всюду плотность и плотность одной нерьг относительно другой). Далее, следует иметь в виду, что обе части теоремы занима|от в нашей теории совершенно различное место.
Первая часть — более прозаическая, но она постоянно употребляется— когда нам нужно установить компактность того или иного семейства мер. Вторая часть вряд ли когда употребляется, но она имеет чрезвычайно большое принципиальное значение. Оиа показывает, что нам нужно делать, и в особенности — чего не нужно делатвс если мы хотим установить относительную компактность семейства мер, нам нужно искать для каждого е ) О соответствующий компакт К и больше ничего; а если пе З гальс~ то нам не следует биться над все более хитрыми методами, кото рыми мы могли бы установить компактность: это бесполезно.
Доказательство перной части следует тому же пути, что доказательстно соответствующей теоремы на прямой; чуть-чуть наметим его. Рассмотрим семейство мер (р) на компакте К такое, что все значения р(К) ограничены какой-то константой. Пространство С(К) непрерывных функций на К с обычной метрикой сепарабельно. Пользуясь этим, при помощи диагонального процесса из любой последовательности (р,) мер из нашего семейства выделяем подпоследовательность (рл,) такую, что для любой функции 1~= С(К) существует Ип1 ~ (г(рл, Этот прегы к дел — линейный ограниченный функционал на С(К) (причем прннимаю1цнй неотрицательные значения для ( ) СК Имеет место теорема Рисса, утверждающая, что каждый такой функционал представляется в виде ~ 14т, где тх — некоторая мера К' К на К (см Х а л м ош, 1953, й 56).
После этого нужно, расширяя компакты К, охватить ту в-долю мер и„г которая еще остается снаружи. Второе утверждение теоремы в случае числоной прямой (Х = Л') нлн нообьце локально компактного пространства просто; но хорошие бесконечномерные функциональные пространства не локально компактны. Удивительным оказывается то, что достаточно полноты и сепарабельностн (а этого-то у хороипзх функциональных пространств не отнимешь) Ие будем касаться доказательства второй части, хотя оно тоже не слшвком сложно. 2. Все сказанное, конечно, относится и к мерам в метрических пространствах, состоящих из функций; только функции на них называются функционалами, и формулу (1) записываем в виде (1') х Однако здесь возникают некоторые сложности, и первая из них — такая: согласно п.
1, нужно рассматривать меры на борелевской о-алгере Ях нашего метрического функционального пространства; тогда как в Э 5.1 распределения определялись на о-алгебре Яг(Х). Значит, то, что сказано в и. 1, можно применять к пространствам Х, для которых эти о-алгебры совпадают. Этим свойством обладает, в частности, пространство С = С[а,Ь[ непрерывных действительных функций на отрезке [а, Ь[ с обычной метрикой. Надо проверить две вещи: а) Яс'=-Яра ь)(С); б) Я)юы(С) с: — 'Яс 139 (мы употребляем в обозначении ЯМ м(С) букву Я потому, что пространство Х =)с' рассматривается как снабженное его борелевской о-алгеброй Я').
Чтобы проверить а), достаточно доказать, что все открытые подмножества С (они порождают Яс) содержатся в Я!'М(С). Но С вЂ” сепарабельное метрическое пространство, значит, любое его открытое подмножество представляется в виде суммы счетного числа сферических окрестностей точек; значит, достаточно установить принадлежность Я' М(С) только множеств вида (у: р, (у, х ) е)(изображение такой сферы см. рис. 13). Рис.
13 Задача !. Проверьте, что (у.~С: р,, (у., х)<е) ~ Ф. П (у.е=С: )у,— х,)<е); ран. ~ы ы, м однако (у яС: р,,(у, х)<е)= = !) П (у.~С: !у,— х,)< е — 1/и). а=1 рэц. г ~ и. и Это доказывает а). Что касается б), достаточно устанонить, что для любого г' е= [а, Ь), Г я Я' множество (х е= С: х, е= ~ Г) ~Яс. Но это вытекает из того, что функционал, ставящий в соответствие функции х с=С ее значение х~ в точке С непрерывен (любая непрерывная функция на метрическом пространстве измерима относительно борелевской о-алгебры).
3. Вопрос об относительной слабой компактности семейств мер на функциональном пространстве Х связывается с условиями компактности подмножеств Х. В частности, условие компактности в пространстве С дается теоремой Арцела; творема Прохорова показы- 14О вает, что для того, чтобы установить относительную слабую компактность семейства вероятностных мер иа (С, Яс), нужно для каждого е ) О загнать все меры из семейства целиком, за исключением в, в одно и то же множество, удовлетворяющее условиям теоремы Арцела.
С учетом этого из теоремы 3 5 5.2 получаем следующую теорему: Теорема 2. Для того чтобы семейство распределений р» в пространстве С, отвечающих случайным функциям гч», ген [а, Ь), с непрерывными реализациями, было относительно компактно в ем»юле слабой сходимости, достаточно, чтобы существовали константы С) О, а) 1, у ) О такие, что для любых Ь, з, 1 М!К»»»~а«С!1 ~1»У М ~Цл~»«С Доказательство. Согласно теореме 3 3 5.2, для иепрсрывиой модификации процесса выполияется исравеиство; (~» ~" ~ .-С(а (1)Впа(1 з(а где О < р «у/а, а „— случайная величина, для которой МВ» «С(Ь вЂ” а)г(1 — 2 ~~'~).
В данном случае Ц совпадает с Е,", потому что мы предположили процессы уже непрерывными. Рассмотрим компактное подмножество пространства С(а, Ь): К = ( х: ( х, ) «(2С/е) '»", ! х, — х, ) « для всех з,1, ~з — 1)«1~ (оио компактио в силу теоремы Арцела). Вероятность того, что к» ие попадет в это множество (т. е. р»(С',К)), ие превосходит Р~~В ~>( — ) ~+Р~В > е в « — + я=~ 2 Это доказывает теорему. Рассмотрим пример. Пусть ть ..., ~„, ... — независимые случайные величины, принимающие значения -+.1 с вероятностью !/2.
Устроим при любом положительном Ь случайную функцию 5,", Г) О, следующим образом: У,'и —— Ь(з, + ... + з„), а между ЬЬ' и (Ь+ 1) Ь' сделаем эту функцию линейной: 5," = = (Ь Г вЂ” Ь)5!ьтпм+(Ь+ 1 — Ь Г) 5ьь при ЬЬ (!( ((Ь+ 1)Ь'. То есть 5" ,— ломаная, начинающаяся со значения 5,",=0 н состоящая нз звеньев длиной по горизонтали Ьз, идущих на каждом шагу с вероятностью 1/2 вверх нли вниз на высоту Ь (рис. 14). Рис. !4 Будем рассматривать эти случайные функции на отрезке [О, Т); реализации все принадлежат С= = С[0, Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
