А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Обозначим через Я~~ о-алгебру на множестве Т()( — оо, ~), состоящую из всех 152 борелевских подмножеств этого множества. По определению множество Л: — 7'Х ьз принадлежит Угад, если для любого 1»=— Т множество АД(( — оо, 1]Х ьз) принадлежит в-алгебре гйш? Х У ь Наконец, и-алгебра Улей определяется как наименьшая о-алгебра в ТХаз, содержащая все множества вида (ТП(1, оо))Х В, где 1я Т, 77»:— Уь Разумеется, то, что зкй и Угад — действительно о-алгебры, нужно еще проверить (Уггй — о-алгебра по определению); но это очень легко. Например, проверка того, что нз Ая Угод вытекает(ТХ(?) ч Л»=Угад: ИТ Х Ф Х Л) П И вЂ” о, 11 Х ».1) = — ИТ П ( — оо, 11) Х ~?) Х Х (А (1 И о" 11 Х»?)).
Уме??ьшаеное принадлежит Я,-, Х У г просто потому, что Я«с? Х У г — в-алгебра на (Т Я ( — со, 11) Х 2; а вычитаемое — по предположению А ~ Угад. Случайная функция т?г = гп(го), 1»=. Т, называется согласованной с семейством и-алггбр У г (прогрессивно измеримой, предсказуемой), если она измерима относительно о-алгебры,скй (соответственно Ягод, Усей) . Так как определения зйй и Угад даны указанием свойств входящих в эти в-алгебры подмножеств ТХьз, то определения согласованной с семейством и-алгебр или прогрессивно измеримой случайной функции можно переформулировать: случайная функция ?1ь 1»= Т, согласована с семейством в-алгсбр У ь если при любом 1»= Т случайная величина т?г измерима относительно У г, случайная функция ?1ь 1»= 7, прогрессивно измерима относительно (У?), если для любого 1 случай- наЯ фУнкциЯ ?1» =т?з(ш), РассматРиваемаЯ лишь дла в»вЂ” : Тд( — со,11, как функция от пары з, »о измерима относительно в-алгебры Яш? Х У г.
Понятие согласоваииости с даииым семейством о-алгебр выражает идею «независимости от будущего» иаиболсе иепосредствеиио. Однако этого простого понятия, совершенна преиебрегающего пзмеримостью по времсипому параметру, оказывается недостаточно. Понятие прогрессивной измсримости прсдиазиачеио для выражения, в сущности, той же идеи, ио таким образом, чтобы лучше соответствовать текиическим требоааивям теории. Понятие предсказуемости скорее выражает ие идею ззвисвиости от прошлого, включая в него настоящее, з зависимости только от прошлого, без настояв?его. Это будет яснее, когда мы рассмотрим свойства введеипых понятий. 2.
М и к р о т со р е м а 1. Любая прогрессивно измеримая случайная функция и любая предсказуемая 153 случайная функция согласована с данным семейством о-алгебр (то есть Угой== Фй, Усей: — Фй); если в Т есть наименьший элемент 1ь, то любая предсказуемая случайная функция при этом значении временнбго параметра есть константа; пч (ы) =— с = сопз!. На языке множеств, а не функций последнее утверждение звучит так: если А ~ У'тес!, то (еп (!ь, а) с=в А) = Я или Я.
(1) Дока з а тел ь ство. Утверждение, касающееся Угор, вытекает из простого факта; функция 1(х,у), измеримая относительно а-алгебры гс Х су', при любом фиксированном х 'Д-измерима по у. Порождающие о-алгебру У'гей множества А=((1, со)() Т) к', В, В ~ Уь (2) принадлежат .ФЙ. Действительно, докажем, что индикатор Хл(э, ы)=ХШ,пт(э)Х (гь) согласован с нашим семейством а-алгебр.
Прн любом э функция ул(э,в) измерима по ы относительно У,: при з ( 1 это тождественный нуль; а при з ) 1, з е= Т эта функция равна 1!э(в), она измерима относительно У и а тем более и относительно о-алгебры 3:, -э У ь Отсюда вытекает, что и вся в-алгебра Усей<: — эИ. Наконец, все множества вида (2) удовлетворяют условию (1); а именно, если 1ь = ппп Т, а 1~ Т, то (ьк (бн гь) ~((1, )() Т) х', В) = О. Отсюда легко выводится, что (1) выполняется и для о-алгебры Усей, порожденной множествами вида (2). Микротео рема 2. Пусть Т вЂ” отрезок, конечный или бесконечный, состоящий из целых чисел; Т=(1ь !о+ 1., 1~), или Т=(1ы !о+ 1, 1а+ 2, . ) или Т=(! ~ Л': 1~~1,), или Т=Л'. Пусть задано неубывающее семейство о.алгебр Зго 1е= Т, в пространстве (1. Тогда а) прогрессивная измеримость — все равно, что согласованность (т, е. Угой= лГй); б) случайная функция т1~ тогда и только тогда предсказуема, когда она согласована с семейством о-алгебр (У, 1е= Т), где при 1= 1ь —— ш!пТ в качестве У'и ь берется тривиальная о-алгебра (и, !2) (коротко это можно выразить так: Угей = Ма',).
До каза тельство. а) То, что Угой: —.~Ы, уже доказано; проверяем .Фй= Угод: для любой согласо- 154 ванной с семейством а-алгебр У с случайной функции с1с, принимающей значения в измеримом пространстве (Х, за), для любого 1~ Т и любого Сан за' ((з, ы): з 1, с1,(ьс) е- =С) = Ц (з) Х (сн с)с(сэ) гк С). с~с Любое одноточечное множество (з) — борелевское; ес-множество принадлежит а-алгебре У „тем более У с (1) з); счетная сумма множеств из Я~с Х Ус принадлежит этой а-алгебре.
б) Чтобы установить Угес(~Мс1 с, достаточно проверить, что все порождающие а-алгебру Угесс множества вида (2) согласованы с семейством (У с с, (я Т). Это вытекает из того, что < 0 е-=9", с при з~(П (: (го ы) (Т П (С ° )) Х В) = ( при е>1; но Ве— : У с --У,, (ведь для целых чисел из 1 з вытекает) =з — 1). Обратно, пусть множество А согласовано с семейством с;-алгебр (У с-с, ! ~ Т), докажем, что А ен ~ Угес(. Имеем: А= Ц (1)ХВ,, (3) с.:г где В, = (кн (С сэ) ~ А) — событие, принадлежащее а-алгебре У,, Докажем, что все слагаемые в сумме (3) принадлежат а-алгебре Угеас. Если в этой сумме есть первое слагаемое, т. е. слагаемое (ссс) Хвс„ /,= — гпспТ, то либо Вс,= — Я, либо Вс„=ь1. В первом случае (ссс) Х Вс,= О, и это множество принадлежит Угу, как и любой а-алгебре в пространстве Т Х 0; во втором случае (1сс) Х Вс,=(1сс) Х ьс =(Т ХР) '~ ((ТП П(бь асс)) Х Ы) принадлежит а-алгебре Угаси как разность двух множеств нз этой а-алгебры.
Для не первого слагаемого: (с) Х В, =((ТП(г — 1, са)) Х В,) ',((ТП(г, "')) Х В,). Здесь событие Вс ен Вгс с, так что множество-уменьшаемое по определению принадлежит а-алгебре Угее1; но в силу Ус с с:-9"с также и Все=Ус, н множество-вычитаемое тоже принадлежит а-алгебре предсказуемых множеств. Значит, принадлежит этой а-алгебре и вся счетная сумма (3). 155 Доказанная микротеорема позволяет нам привести примеры случайных функций, с одной стороны, согласованных с семейством о-алгебр и прогрессивно измеримых, а с другой — предсказуемых.
Так, слу- 1 чайная функция тн = Х ((з, ь,) согласована с семейь=в ством о-алгебр Уы,кко порожденных случайной последовательностью ~~, 1 = О, 1, 2, ...,, и она, разумеется, прогрессивно измерима, но, вообще говоря, не предсказуема. Пример предсказуемой относительно того же семейства о-алгебр случайной функции: оо ~ =Х,1(з, ~т) 3. М и к р о т е о р е м а 3. Пусть Т вЂ” отрезок, интервал или полуинтервал, коне иный или, бесконечный, на действительной оси; Чь 1 а=в Т, — случайная функция, согласованная с данным семейством о-алгебр 3 ь Если т)~(ы) при любом ы непрерсчвно справа (или слева) по 1, то случайная функция тн прогрессивно измерима. Д о к а з а т е л ь с т в о нс нужно проводить заново: оно следует из результата задачи 4 3 1.3.
М и к р о т е о р е м а 4. Пусть Т вЂ” отрезок, интервал или полуинтервал, конечньш" или бесконечный, на действительной оси; т1ь 1е= Т,— случайная функция, согласованная с данным семейством о-алгебр, причем в случае, когда в Т есть наименьший элемент 1ь, предполагается ьй (ы) =— с =сопз1. Если т1,(ы) при любом ы непрерывно слева по 1, то случайная функция тн предсказуема. Д о к а з а т е л ь с т в о будем для простоты обозначений проводить в случае Т =(О, оо). Определим случайную функцию Ч ",(ы) = т1ь(ы)— = с при 1=0; й — ! й 11м п,„(ы) пРи (1~ ~—, й=1,2,3, ...
(4) Ясно, что в силу непрерывности слева т1",(ы)->'ц,(ы) при п — ~-оь для всех 1, ы, потому что значение аргумента, в котором берется функция т1 в определении (4), не превосходит 1 и отличается от 1 ие более, чем на 1/п. Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим, поэтому достаточно доказать 156 предсказуемость случайной функции т1",. Имеем для любого измеримого множества С (втом пространстве, в котором принимает значения случайная функция ц~): ((г, ю): Ч" (гь) е= С) = ~о, Фс) Х(: чм о,.( ) =С). Самое первое слагаемое при с ф С пусто и принадлежит е-алгебре Угед; при с е.:- С оно представляется в виде (Т Х Ы) ~,((0, ао) Х й) н принадлежит У'гед как дополнение множества из этой о-алгебры.
Далее, и-е слагаемое представляется в виде Иа „, ) Х(ы: 1м.п,„( ) =-С)) ' ( ( „) Х (ы: ~1ы., „(ы) - =С) ) . Первое мпожесгво здесь принадлежит Угед потому, что (гь: 11, п„(ы) ~С) ~9 1„„„, второе — потому, что это же событие принадлежит Угьы. М икр отеор е м а 5. Пусть Т вЂ” отрезок, интервал или полуинтереал, Тогда а-алгебра Угед~: —.Тгои.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
