А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 25
Текст из файла (страница 25)
с В силу известных свойств интеграла Лебега при этом для любой Мг-измеримой функции [ ~ 1'(х.))г'(с[х.) = ~ 1(х.)гг(х.))г(ггх.), (2) хг х 131 причем если один из этих интегралов расходится, то и другой тоже. Пользуясь формулой (1) 5 5.1, формулы (1) и (2) можно переписать в виде Р'(т). С) = М)(11 ыс,гт, (3) М7 (т).) = М) ($ ) гс, (4) где и = 1г ($ ), М вЂ” математическое ожидание, соответствующее вероятностной мере Р.
Легко видеть, что л — неотрицательная случайная величина, измеримая относительно дгйг г г, с Мп = 1. 3 а д а ч а 2. Чтобы неотрицательная Яг-измеримая функция 6(х.) была плотностью распределения случайной функции т)г, г'~ Т, на пространстве (ьа', Я ', Р ) относительно распределения случайной функции йг, 1~ Т, на (ью У, Р), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р'((г),, ..., т), ) а=А') = ~ п(оз)Р(с(ю) ((1г, ..., Ьг )ыл) для любых 1,,..., („~Т, А еаза!", где п(ю) =6($.
(от)). 3 а д а ч а 3. Для того чтобы распределение р' было абсолютно непрерывно относительно р, достаточно, чтобы длн любого е > О существовало 6 > О такое, что для любых 1ь ..., („е:— Т, А е:— Я" из и,, (А) < 6 следует неравенство р,', (А) < е. ! '' л л 3 ада ч а 4. Для того чтобы распределения р и р' были сингулярны, достаточно, чтобы для любого к>О существовали (ь ..., 1, е= Т, А еи Ун такие, что и,, (А) > ! — е, р',, (Х" хх А) > 1 — е.
3 ада ч а 5. Пусть ач — винеровский процесс, выходящий из нуля; кг = гвг+ Ьб Докажите, что распределение процесса О < 1 < 1, абсолютно непрерывно относительно распределения юь рт ((х.) О ( 1 = 1, с плотностью = а (х„] =ехр(Ьх, — Ь'12).
(г(х.) 3 а д а ч а Б*. Докажите, что условия абсолютной непрерывности и сингулярности задач 3, 4 не только достаточны, но и необходимы. Если при каких-то 1„..., г„распределение р,', не абсолютно непрерывно относительно 1''' н р,, то ясно, что бесконечномерное распределе- н ние р' не абсолютно непрерывно относительно р; если же все конечномерные распределения р',, абс" а солютно непрерывны относительно и,, то рас- О "'Г!' пределение р' может быть и абсолютно непрерывно относительно р, и нет, и даже сингулярно.
Случай, когда для всех конечномерных распределений имеет место абсолютная непрерывность, самый интересный. Введем в этом случае обозначение иг г (Лх~ ... лхп) л 3 а д а ч а 7. Если при некотором О ( а ( 1 для любого е О существуют гг, ..., („»= Т такие, что ~ ... ()~Иг г (х„..., х„))ьрг г (г(хг ... ~ух„) ( и, хп (6) то распределения и и и' сингулярны по отношению друг к другу. 3 а д а ч а 8. ПУсть $п О ~ 1 ( 1, — пРонссс Коши (сн. п. 4 $ 1.2), Ч, = за+ сс, О ( Г = 1. Докажите, что при с Ф О распределении И1 и Рп сингУлигны относительно дРУг дРУга.
Подставим в функцию Ьг, г„(хь ..., х„) значения хгы ..., хг произвольной функции х ~ Хг. Легко видеть, что при перестановке 1ь ..., у„функция Лг, г (хгы ..., хг ) меняется только на множестве р-меры О, и можно выбрать варианты плотности (5), чтобы Ьг,, г (хге ..., хг ) зависело только от х и от множества 5=(уы ..., 1„) с: — Т. Обозначим эту функцию Ьз: Ьз (х.) =ЬРг г 1(х,) = йг г (хг, ..., хг ).
Это — плотность распределения ру относительно р, но не на всей о-алгебре Мг, а только на ее под-о-алгебре Мл(Х'), порождеинои функционалами х , , хг (т. е. состоящей из множеств вида (х.: (хгы ..., хг )ев ен А), А е— = Ж"). (Докажите!) 1ЗЗ Интеграл в формуле (6) записывается через йз(х ) как ~ Рз(..)!" р((..) к Условно задачи 7 можно переписать также, пользуясь интегралами по 0 вместо интегралов по Хг. Введем для каждого конечного 5 = (!ь, ! ): — Т случайную величину Интеграл в формуле (6) — не что иное, как Мп',, 2.
Теперь займемся вопросом о том, как плотность Ь(х ) бесконечномерных распределений находить по плотностям конечномерных — по а~ ~ (хь ..., к,) л или й (х ); или, что то же, как находить п=п($.) по введенным выше случайным величинам ла. Может оказаться, что, когда берутся конечные множества 5, все более плотно заполняющие Т, величина нз сходится к какой-то случайной величине и* (скажем, сходится по вероятности). Введем соответствующие определения.
Пусть а(5) — числовая функция от конечных подмножеств множества Т. По определению число а— предел а(5) при неограниченно возрастающем 5 (обозначения: а(5) — «и при 57 или (!та(5)= а), если з4 для любого з О существует конечное множество 5аа Т такое, что !а(5) — а) < а для всех 5,54~ с: — 5: — Т. В соответствии с этим определяется сходимость по вероятности: пусть к(5) — случайная функция, определенная на конечных подмножествах Т; тогда $= — !пп(Р)ь(5), если (пп Р((с(5) — З !=эв) =-О для ЯА 54 любого е > О. Итак, предположим, что существует случайная величина и* = !!гп (Р) пз.
з4 Может показаться, что если такой предел существует, то распределение р' абсолютно непрерывно относительно р и совпадает (почти наверное) со случайной величиной и, получаемой подстановкой выбо- 134 речной функции й в бесконечномерную плотность. Однако это не обязательно так, хотя бы потому, что Мп' может быть не равно 1.
3 а да ч а 9. Докажите, что Мп* (1. 3 а д а ч а 10. Если распределение р' абсолютно непрерывно относительно р, то Мп* = 1. Докажите. 3 ада ч а 1!. Докажите: если Мп = 1, то распределение р' абсолютно непрерывно относительно р, и те*=-и= — гс(й) (почти наверное), где Ь(х ) = р' (г(х.) р (г(х.) 3 а д а ч а !2*. Распределения р и р' сипгуляраы относительно друг друга тогда и только тогда, когда Мп* = О (пиаче ~оворя, когда и' =.
О почти наверное). Б й 7.4 мы докажем, что предел случайных величин яю свяааииых с плотностями !г! относительно р иа и-алгебрах Жа(Х"), супсествует почти наверное лля любой неубывающей послсдоввательиоста конечных множеств 3„: — Т. Олнако при рещеиии коикретиых задач иам ие пужио ссылаться па этот общий факт, потому что супгсствование предела пч нами так или иначе все равно будет устаиавливаться. Задача 13 Пусть юь ! ~ [О, 1], — вииеровский процесс, чр = ич — с!ю, (с — константа). При каких с имеет место абсолютиая пепрерывиость р о иосительио р, и как выражается 1! и.
плотность? В приведенных до сих пор задачах мы сталкивались только с крайними ситуациями; оба распределения либо абсолютно непрерывны относительно друг друга, либо сингулярны. Это совершенно нс обязательно. 3 ад а ч а 14. Пусть $ь (ге [О, 1], — пуассоиовский процесс с параметролг а ) О; тн == О, ! щ [О, 1] Будут ли опрелелеиия р(, р„абсолютпо непрерывны относительно друг друга? Найдите плотность РаспРслелеппа цч относительно Рй. Следующая задача важна, в частности, для теории диффузионных процессон. Это целая большая теорема. 3 ада ч а 15.
Пусть спг — винеровский процесс на отрезке от 0 до Т (~ос), йг = ы~ + ~ро Для того чтобы распределение р было абсолютно непрерывно относительно р, необходимо и достаточно, чтобы функция гр! была абсолютно непрерывной, ср, = 0 (т. е. гр, = ~ ф,Нз, где точка означает дифференцио г рование по времени), и чтобы ~ ф с(1 < оо. Г!ри этом о 135 плотность р относительно р задается формулой т г ° (. ) екр ~ ° ( ~ ° зб)( о У к а з а н и е.
1!ужно доказать сначала, что ))))л = !. Так как л) О, то абсолютная непрерывность взаимна. Легко доказать, что если )р) не является абсолютно непрерывной функцией с интегрируемой в квадрате производной или грв ~= О, то распределения р, и Р„ сингулярны. Результат задачи 15 непосредственно и самым естественным образом обобщается на г-мерный винеровский процесс: т т »р() )ф',з ',— — () (З)ал~. е.—— .ч о о ю.— -! Р'(тес А) = ~ я(ь) Р (ды). )С ю л) (7) С другой стороны, в силу (3) Р'(т ~ А) = Р'(ч ьи) )(л)) = ~ лР(кы). (8) (ь с: А) Так как в (7) функция д(й) измерима относительно а-алгебры, порожленной случайной величиной й, а интегрирование ведется 136 3. Дадим небольшой кусочек теории ае н ниле задач.
Пусть распределение р' случайной функции тр, ) ьи Т, абсолютно непрерынно относительно р — распределения зь ) ~ Т. причем плотность пам известна. Пусть пам известно рг — распределение случайной неличины Ь, получаемой примененном к й~ некоторого )ог-измеримо~о функционала й , "= )(й ). Что можно сказать тогда о РаспРеделении Рт слУчайной вели чны т =- Г(з) ), определенной по случайной функции Ч, так же, как Г, па Оказывается, распрепеление Вт будет абсолютно непрерывно относительно р; действительно, нз р (Л) = О, Л щ и), вытекает р (х: ) (х ) сс Л) = О, откуда р (х: )(х ) ~ Л) = О, т, е. и, (Дх) рт (А) =О. Как выражается ', ? Обозначим эту плотность, и (дх) которая по теореме радона — Йикодима существует, через д (х).
Имеем Р' (т еи А) = ~ и (х) р (Лх), нлн по-другому: л по произвольному множеству из этой о-алгебры, то формулы (7), (8) означают, что й(ь) являются одним из вариантов условного математического ожидания М (и) й), или, в другой форме записи: я (х) =- М (п ( й = х). (9) Разуместгя, зта плотность определяется однозначно лишь с точ- ностью до множеств и -меры нуль. Чтобы найти ее, достаточно знать совместное распределение случайных величин ц и Предложим несколько необязательных задач.
3 а д а ч а !б*. Пусть 3ь там Т, — случайная функция на ве- роятностном пространстве (11, У, Р), и — произвольная неотрица- тельная случайная величина на этом пространстве, Мп = 1. Положим Р' (В) = МХ,п, В н У . Докажите, что распределение р' случайной функции $~ на вероятностном пространстве (Я, У, Р') абсолютно нспрерынно относительно р — рагпределеиия слу- чайной функции $~ на пространсгве ((), У, Р). Изнестно (см. И то н М а к к ни, 1968, задача 1.7.1), что совместное распределение максимума винеровского процесса ю~ иа отрезке (О, Т) и его значения в конце этого отрезка задаются плотностью, которую мы сгйчас выпишем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
