А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Указать, будут ли почти все вььборочные функции обладать некоторым более сильным свойством, т. е. будет ли РД сх')=1, где х'с:Х. Разумеется, эти постановки задачи связаны друг с другом. Так, если б) решается положительно, то так же будет и с а), потому что стохастическн эквивалентные процессы имеют одни и те же консчномерные распределения.
2. Относительно задачи в постановке а) можно сформулировать следующую теорему. Т е о р е м а 1. Для положительного ответа на вопрос а) необходимо и достаточно, чтобьч внешняя мера рассматриваемого множества Х г- Х", соответствующая мере р р' (Х)=1п!(р (А): А ~ Х А е=!ог') была равна единице. При этом всегда существует случайная функция с данными конечномерными рас- 120 пределениями, у которой все реализации принадлежат Х. Что касается необходимости, то здесь нечего доказыватгя докажем достаточность. Пусть 1х' (Х) =1.
Возьмем в качестве пространства элементарных событий множество Х, в качестве основной о-алгебры У сонокупность всех подмножеств Х, представимых в виде Х() В, В~ 'с~ (проверить, что это — о-алгебра!); случайный процесс определим так: ~,(х.)=х,, х. е= Х. Остается определить вероятность Р. Если Л е:— 9 представляется в виде Х Д В, В ~Жг, положим Р(А) = р., (В). Нужно проверить корректность этого определения.
Пусть Л=ХПВ,= — Х()Вз Вь Вяе М~. Тогда ХД П (В, ЛВ,) (Л обозначает симметрическую разность множеств) — пустое множество, т. е. Х ': — ' Хг ~, (В, ЛВ,). Но тогда в силу сделанного предположения р (Хг" (В,ЛВ„))=1, т. е. 1х. (В,ЛВ„)=0, откуда 1, (В,)=Р: (Вт). После того как корректность определения доказана, счетная аддитивность Р доказывается совсем просто; Р— вероятностная мера, потому что Р (Х) = = 1х, (Хг) = 1. Наконец, конечномерные распределения построенного случайного процесса — те, что были даны заранее, т. е. соответствующие распределению Р! Р(х. е:— Х: (~,, (х.), ..., с, (х.)) е= А) = Р (Х () (х е Хг (хье х~ ) с Л)) =р (хл (х,,..., х, ) е- :Л~ =р,, (Л).
3. В силу доказанной теоремы задача о свойствах с вероятностью 1 в постановке а) в принципе разрешима, потому что распределение процесса полностью определяется конечномерными распределениями. Однако значительно больший интерес представляют критерии, позволяющие установить существование процесса с заданными свойствами реализаций по конечномерным распределениям не выше определенного порядка й. В конкретных случаях очень часто бывает удобнее не рассматривать внешние меры, а решать задачу в постановке 6). 121 Начнем с одной микротсоремы, чтобы показать, какого рода здесь могут быть результаты и как они могут доказываться.
Ми к роте оре м а. Пусть $ь 1е= Т ~ )с',— случайный процесс, длл которого Р (к, < $,) = 1 при в < 1. Тогда существует стохастически эквивалентный ему процесс ~ь почти все траектории которого — монотонно неубывающие функции. Доказательство. Прежде всего, в каждой точке 1е= Т, предельной для Т слева (справа), существует !пп (Р) $, ( !!т (Р) $,).
Действительно, если Л -+ ~ — 8-Э С ~ 1, >1,» ... 1„> ..., 1„~ Т, 1„)1, то последовательность 3, сходится с вероятностью 1, так как она л почти нанерное монотонно убывает и ограничена снизу Вс Обозначим предел этой последовательности $~е. Для достаточно близких к 1 справа точек э где п может быть сделано сколь угодно больпгим, и, значит, эта вероятность стремится к единице при всяком положительном е.
3 а да ч а !. Для всех точек 1г:— Т, за исключением, быть может, счетного множества, Р 5~ = в| = = $г4 = 1, т. е. скачков не более чем счетное число. Доказать. Далее, рассмотрим счетное множество Т„~=- Т, всюду плотное в Т и, кроме того, содержащее все точки, где $~ не является стохастически непрерывным. Так как множество Тч счетно, то Р (в, <1, для всех э <1, э, 1я Т,) = 1 Теперь, чтобы получить процесс 1ь продолжим почти все траектории $~ по непрерывности с Т, на Т~~Тв.
А именно, для точек 1ен Т',Тм являющихся предельными справа для Тгл 1„(1, 1„~ Ты положим ~~=!пп 6,„, причем, если конечный предел не сущел-> ствует, положим ~~ = О; если же 1 не является точкой, предельной справа для Тв, то она будет предельной слева (изолированные точки включаются н Т,— иначе Тв не будет всюду плотно в Т), и применяется аналогичная конструкция с 1„(1. Для 1~ Т, полагаем ~~=$ь 122 легко понять, что с вероятностью 1 траектории процесса $~ не убывают по й Остается доказать, что Р Кс —— — в«) = ! для любого 1е= Т. Для (е= Тз это выполнено тривиальным образом Пусть 1ф Т;, рассмотрим ту самую последовательность 1„— «-1, которая использовалась при определении $ь С вероятностью 1 $, = 11щ в, равно «« -« или $,, а эти величины с вероятностью 1 равны $ь 4.
Проследим структуру доказательства микротеоремы п. 3; она будет такой же для многих других доказательств. Выбирается счетное множество То, всюду плотное в Т. Это множество выбирается не совсем произвольным образом; в частности, выбор Т, осуп!ествляется так, чтобы процесс был стохастически непрерывен в точках Т',Тм Затем проверяем, что процесс Ь на Тв с вероятностью 1 обладает свойством, обеспечивающим возможность такого его продолжения на Тм для которого выполняется данное свойство (принадлежность реализаций данному Х с: Кг). Далее выбираем операцию (обычно предельную операцию), которая осуществляет такое продолжение (в случае микротеоремы и. 3 для точек 1г— : Т',Т„, предельных для Т„справа,— предел по последовательности г„)1; для остальных — предел по последовательности 1„)!).
При этом нужно позаботиться о том, чтобы эта операция приводила к определенному результату не только с вероятностью 1 в применении к выборочной функции чь но и всегда, — иначе случайные величины Р~, которые мы хотим определить, окажутся заданными не на всем пространстве !1, а только на почти всем (в случае нашей микротеоремы, если конечный предел не существовал, мы брали вместо него нуль). Обозначаем результат применения этой операции з«(ге:— Т',Т,); доказываем Я -измеримость эь Для ! с= Т, полагаем в« = $ь Итак, процесс, почти все траектории которого обладают свойством Х, уже получен; остается доказать, что он стохастически эквивалентен первоначальному: Р($,=Ц=1 для любого !е= Т Для !я Т, доказывать нечего; для ! е Т',Т„используются стохастическая непрерывность процесса Э«и совпадение (почти наверное) пределов по вероятности и с вероятностью 1.
123 5. Теор ем а 2 (теорема Колмогорова). Пусть ~г, ! е= [а, Ь[,— случайный процесс, принимающий числовые значения. Пусть существуют константьг С) О, а О и а) 1 такие, что для всех з, !~[а,Ь[ М [ $г — в, [' ««С [ г — з [' ~'. (1) Тогда существует стохасгически эквивалентный $г случайный процесс Чг, все реализации которого непрерывны по й Доказательство. Прежде всего, из (1) следует стохастическая непрерывность ~ь Идея построения непрерывной модификации процесса $г состоит в следующем. Рассмотрим на отрезке [а, Ь[ подмножество Т,, состоящее из точек вида Ь/2", lг и гг — целые, н ) О. Мы будем продолжать функцию $г(ы), ! е= Т„, по непрерывности на весь отрезок [и, Ь[. Для того чтобы $г(о>), ! г= Ты можно было продолжить по непрерывности, необходимо и достаточно, чтобы эта выборочная функция была равномерно непрерывна на Ть Поэтому оценим внр 5.
г ~ г !5 — г! .ь Для з ! г= Т,, О ( [з — 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
