А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 33
Текст из файла (страница 33)
? т Для неотрицательных супермартнигалов неравенство Р (?пахи -и) » <?пах Мй?/в ?ы? ?от остается верным, но при доказательстве используется неравеистно Ма, » »Мь? (= ?пах МЦ). ? т 5. Теперь посмотрим, как выглядит неравенство Колмогорова для бесконечного Т. Ми к р отео р с ма 5.
Пусть ~?, ?и:— Т =)с?, — неотрицател?>ный субмартингал с непрерывными справа реализациями (пли с непрерывными слева, или сепарабельный). Тогда для любого е ) О Р (зпр в? ) е) - ' зпр Мв?/е. ?-г ? г Дока з а тел ьство. Пусть Т? с: — Та с= ... т Тв с= : — ' ... — возрастающая последовательность конечных подмножеств Т такая, что для каждой точки !а= Т 174 существует последовательность 1„, сходящаяся справа к 1, причем каждое 1„енТ„. Тогда зпр$,=!пп шахин г и+ г г л Из того, что апр$,)е, не вытекает, что шах5,)а ~~ г с ~г„ при достаточно больших и; однако сумма неубывающей последовательности событий (гпах$~)е) содерФыг жит в себе событие (зпр ~~ ) е). Поэтому с =-г = 1пп Р(гпах ~,) е) ( 1пп гпах Ма~/е(ьпр М5,/а. л-+ 1 юг„л.+ 1 ~г„ ~ .г Теперь оценим Р (зпр 5, '= а): с г Р (зпр ~, ) е) = — 1пп Р 5~ > е ) ( 1ыг еье (1пп зпр М1,/е' = зпр М$,/е.
еье ~ыг ~~г Микротеорема доказана. 6. Микротсорема п. 3 ф 1 позволяет нам получить неравенство Колмогорова для маргингалов: если ~ь 1е- :Т, — маргингал с непрерывными справа реализациями, / — неотрицательная выпуклая вниз функция, го для любого е ) О Р( р/аД) )~ рМЯЛа. ~=г с-г В частности, взяв функцию /(к)=(к — т)', где т = М $, (= сопз1), получим для е > О Р (зпр!йс — т!)е) е-.апр М(й,— тра'.
(11) ~ыг 1ог Классическое неравенство Чебышева дает лишь Р ( ! $, — т ! ) .) ( анр М (Ь, — т)'/а'. с г Неравенство (11) сохраняется и для мартингалов с векторными значениями, но участвующую в нем дисперсию нужно тогда записывать как М! ~, — т !', Другой частный случай неравенства (10) получим, взяв ) (х) = егл с ) О: Р (зцр сс ~ К) ( вор Ме'йс/е'~; сыт с =т еще другие — взяв ) (х) = е'", с ( О, или [(х) = ) х [: Р(звр[йс]~)е)(~вир М!все, сыт или [(х) =)к!л, а ) 1, в частности, хс, и т.
д. 1. 3 ад а ч а б. Воспользовавпссссь неравенством Кс,лмогорова (10) с [(х) =гехт„с > О, выведите как можно более точную оценку для Р ( шах [ ыс ['~ б), где ыс --винеоовский процесс, в<с. выходящий из нуля. Закон повторного логарифма длл винероагкаго лрангсса. и а д а ч а 7*. Пусть ыс, С > О,— выходящий из нули нинероаский процесс. Докажите, что лля любого е > О с вероятностью ! существует число Т такое, что [ св [ < ['(С) = .=-(1+ а) т/21!а)п С прн С > Т.
У к а з а н и е. Для 17 > 1 рассмотрите счетное число событий Л„=([ ю, [ > ['(С7") при каком то С сы [О, сз"ьс]) Использовав оцснкузалачн 6 н лемму Борсля Кантелли и подобрав соответствующим образом бс, получите утверждение задачи. 3 ад а ч а вч.
Докажите, что для любого в > 0 с вероятностью 1 существуют сколь угодно большие С такие, что ] ю ] > > 7 О) = (1 — в) ч721 1п 1п с. У к а з а н и е. Рассмотрите счетное числа независимых событий Закачн 7*, и* можно суммировать следующим образом: с вероятностью 1 Игп [ ы [/Ч721 1п 1п С =- 1. с -+ Локальный закан повторного лосарафлса. 3 а д а ч а 9*. Докажите, что с вероятностью 1 )пп [ ы ]с)Ч/211п [1п С ] =1. саа 3 а д а ч а ! 0*. Пуст~ Ц = ю + ~ ср с!л, С > О, где ~ ср~ ~с!а < а а < сю. Докажите, что с вероятностью ! 1пп [ Ц /ЗА! )п ) )п С ) = 1.
саа !70 3 а д а ч а 1!. Докажите следующий вариант неравенства Колмогорова: пусть йь Га» 1» Г ., — согласованный с семейством о-алгебр случайный процесс, обладающий непрерывными хотя бы с одной стороны реализациями (в случае непрерывного времени), компенсатором и квадратичным компенсатором; пусть ег = М«гс Тогда дла любого е ) О М[(") ...—" «),1а р ( знр ! е — «, !>е) ( Гага мах ф 7.4. Теорема о сходимости супермартингалов 1. Выведем еще одну оценку, относяпгуюся к мартингалам и супермартингалам. Пусть;„, а = 1, ..., йг,— супсрмартингал относительно семейства о-ал- гебР 1и „, пРичсм все «а ) О.
РассмотРим положительные числа с ( й и обозначим через т число пересечений последовательностью «ь ..., «н полосы от с до с( Рис. 22 в направлении снизу вверх. (Так, для реализации, изображенной на рнс. 22, значение ч равно 2.) Докажем, что Ми» Мь„/(пг — с), (!) Для доказательства продолжим данный нам супермартингал, положив «лег = «и, У яы =У и; от этого он не перестанет быть супермартингалом. Определим марковские моменты оь ть ою .сз, ... следующим образом. 1!оложим о~ равным наименьшему из тех и от 1 до У, для которых «„» с; если таких и нет, положим о~ =гтг+ 1. Далее, т, определим как наименьшее из тех а от а~ + 1 до й1, для которых «л = с(; если таких и нет, т~ — — Лг+ 1.
Затем ая определяется как гп(п(и ) тп «» с) или как Л'+ 1, если таких и нет; те так же определяется через оя, как т~ через оь и т. д. Ясно, что па=та=У+ 1 при 2/г) У. На рис. 22 о~=6, т~=!0, от=12, тя=!6, па=18, тз и все 177 следующие за ним равны й1+ 1 = 22.
То, что это все марковские моменты, мы уже доказывали (см. задачу 2 5 6.1). С величиной т они связаны следующим образом: событие (ч ) й) равносильно (те < М). Докажем, что Р (т, < У) (М$,/д, Р (те<»й1) »( < Р(ти < й1)-с/д. Воспользовавшись определением условных вероятностей, можно написать Р (т* ~< Ж) = ~~~ Р ( (оь =' п) Д (ть ~ М) ) = «=! Р (ть <» М 1У „) Р (дм). (2) «-1 1«ь .«1 Чебышевское неравенство дает нам почти наверное Р(т,<М~У')<Р(1 >д!У )<»М($ ~У )/д.
(й) На множестве (оь = и) случайная величина ть больше и; отсюда на этом множестве $, =.с у, и услов«я у «' ное математическое ожидание в (3) почти наверное равно М (~„ч „~ У „) <ь„(последнее неравенство — по результатам предыдущего параграфа в применении к супермартингалам). На множестве интегрирования в (2) с„< с; поэтому Р (ть < /У)»< Р (о„< М) . с/д < Р (те, ' Ф) с/д. Что же касается Р (т, )ч'), то эта вероятность не превосходит М$, /а»<МЦд. Итак, Р (ч) й) <(с/д)~ ' М~,/д, откуда Мч= ~ Р(т)й) < 2., (с/д)" ' М~~/д=МЬ/(д с) 2. Посмотрим, какие следствия из этого можно вывести. Т е о р е м а 1. Пусть в~ — неотрицательный супермартингал на счетном подмножестве Т числовой оси относительно семейства о-алгебр У и 1 а=Т; зпр МКс< ' ~~т < ьо.
Тогда с вероятностью 1 выборочная функция Ь имеет конечные пределы слева и справа во всех предельных точках множества Т (в том числе и в предельных точках, не принадлежащих Т), 178 В частности, если Т имеет своей предельной точкой +со, существует 1пп $ь а если — оо, то существУет Ип1 $ь 1.+— Доказательство. Для функции 1(1), определенной на бесконечном подмножестве Т числовой оси, можно определить число пересечений полосы от с до й в направлении снизу вверх как верхнюю грань тех л, для которых существуют точки з~ ( 1~ ( з» ( ...
... ( 1» ~ ( з»(1» из множества Т такие, что 1(з,) ( с, 1(й) ) й. Разумеется, число перссечсний полосы может быть равно нулю или бесконечности. Если мы определим число пересечений т полосы от с до й для функции ~ь то это будет функция от и (пока мы не можем сказать, что это случайная величина). Занумеруем каким-нибудь образом все точки нашего счетного множества Т: 1ь 6», ..., 1„, ... Обозначим через т„число пересечений снизу вверх полосы от с до й функцией сь определенной лишь на конечном множестве (1ь ..., 1„).
Легко понять, что ч при любом»а — предел монотонно возрастающих к нему ч„. Так как т„— случайные величины, причем для них выполнена оценка Мт»(МБ...,1(й — с) (0(с<й), то и т — случайная величина, и ее математическое ожидание удовлетворяет неравенству Мт (~ впр Ма,/(й — с). Во всяком случае, т с вероятностью 1 конечно. Взяв все интервалы (с,й) с положительными рациональными концами (а их счетное множество), получаем, что с вероятностью 1 выборочная функция пересекает снизу вверх любой интервал с рациональными концами только конечное число раз.
Отсюда вытекает, что функция ~~(ы) не может совершать бесконечное число колебаний, и она должна иметь конечные илн бесконечные односторонние пределы. Остается доказать, что с вероятностью 1 бесконечные пределы исключаются. Для того чтобы где-то был бесконечный предел, ну кио, чтобы было хотя бы одно пересечение снизу вверх бесконечного числа из интер- 179 валов (1,2), (2,4), ..., (2",2"+',, ... Из оценки Р (чг ) 1) ( зцр М$«/а вытекает, что сумма вероятноотей сходится, и по лемме Бореля — Кантелли получаем, что с вероятностью 1 невозможно, чтобы осуществилось бесконечное число пересечений. Это рассуждение не годится в наименьшей предельной точке Т, если она не принадлежит Т, так как для наличия бесконечного предела в этой точке нет необходимости в пересечении какой-либо полосы в направлении снизу вверх.
Чтобы сделать его годным, дополним множество Т элементом — оо, по определению меньшим всех элементов Т, положим 9 =вцр Мйь Гент У: =(1гз, ь))«=бсг при любом 1; цг остается супермартиигалом и для 1~( — оо) () Т, и к нему мы уже можем пригленить наше рассуждение: для бесконечного предела в наименыпей предельной точке нужно, чтобы ць 1е=( — со) 'г) Т, пересекло снизу вверх любую полосу (с, аг), с ) с .. Разумеется, теорема относится и к неотрицательным мартингалам. Аналогичная теорема выполняется и для сугзмартингалов, но н ее доказательстве используются пересечения сверху вниз (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
