А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Для первых трех это просто, но проверка уравнения Чэпмена — Колмогорова требует значительного труда. Оказывается, в случае марковских семейств отдельно проверять это условие не нужно. Те о р е м а 2. Луста Р(з, х, (, Г) .функция, удовлетеоряюи!ая условиям 1) — 3) 5 8.1 и пусть для ((г Р ) выполнены формулы (4), (5) $8.1 или формула (15) этого параерфа. Голда для Р(э, х, Г, Г) выполнено условие 4), и (Гп Р „)— марковское семейство с данной переходной функцией Д о к а з а тел ьс та о. Просматривая доказательство теорем 1, 1', убеждаемся, что условие 4) 8 8! не использовалось, так что условие (15) этого параграфа равносильно условиям (4), (5) хз 8.!. Из (!5) получаем.
Р(э,х,и Г)=Р (й гиГ)=Р, ((хгйи) — ХХГ)== = ~ Р (ь, х, б йу) ~ Р (6 у, и, йа) кг (х) = х х ~ Р (э, х, б йу) Р (б у, и, Г), Большинство марковских процессов, рассмотренных в з 8.1, естественным образом включается в марковские семейства, что облегчает рассмотрение этих примеров. 5. Выведем еще одну форму марковского свойства. Теорема 3. Если (йг, Р, „) — марковское семейство, то для любых з ( ( из Т, х е= Х и события В еЯгрг (17) Р, „(В ! (т !м г!) = Р, <, (В) 198 почти наверное относительно вероятностной меры Р,,к. Иначе говоря, поведение процесса после момента времени ! при условии, что фиксировано его течение до момента й — такое же, как если бы он начинался в момент ! из точки $~(гь).
Это опять ныражает зависимость будущего от прошлого только через настоящее; но в качестве будда!его рассматривается не один момент времени и - 1, а целая о-алгебра У м~ событий, связанных со всеми моментами времени, начиная с б Доказательство. Для событий В вида В= =~(5,, ..., 9,)а=С), 1=-1,« ...
1„, Се=У, это уже доказано — см, формулу (11) в применении к вероятности Р, „(10) и (!5). Чтобы перейти к произвольным В е= У - ь прежде всего выведем вспомогательный результат. Л е м м а 5. Для любого В е= У'-- о вероятность Рг „(В) измерима по я. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через .ят систему множеств В с= Ужо для которых выполняется утверждение леммы; через Ю систему множеств вида В=(($,, ..., $,)а=С), 1=1,« ...
1„, Се=Я"'. Уже установлено, что $'с=-.М (лемма 2); значит, Ф='р(Ж). Применение леммы ! дает л~=эр(Ж)= = о (Ж) = У Продолжим доказательство теоремы. Теперь мы видим, что правая часть (17) измерима относительно У1, и, остается доказать, что для любого А с= У 1, и Р, „(А()В)=-М, „ХлР, (В), где символом М, „обозначено математическое ожидание, связанное с вероятностной мерой Р, „. Легко видеть, что обе части являются мерами как функции множества В; онн совпадают на алгебре Ю, а значит, и на о(Ю) = У -,ь Теорема доказана.
6. В этом параграфе мы занимались таким вопросом: дан марковский процесс (марковское семейство); каковы тогда его конечномерные распределения? Теперь займемся вопросом о существовании. Он проще в случае марковских семейств. 199 Теорема 4. Пусть Р(з,х, 1, Г), з - 1, з,1~ Т, х е= Х, Г ен М, — марковская переходная функция. Определим для любых з ='1~ ( ... (1, и хе=Х вероятностную меру р., „,, на(Х", Я") формулой 1х (С) =- ~ Р (з, х, бо дх ) ~ Р (1п х, 1 г(х, ) ~...
х х х ... ~ Р(1„„х„о 1„, с(х„)11 (хо ..., х„) (18) х (порядок интегрирования — с конца) Тогда при фиксированных з, х эти меры образуют согласованную систему конечномерных распределений. Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое условие согласованности, связанное с перестановками 1ь ..., йь проверять не надо: просто для моментов времени, идущих не в порядке возрастания, мы определяем конечно- мерные распределения так, чтобы это условие было выполнено. "!то касается второго условия согласованности, то нужно учитывать, что опускаемый момент времени может быть любым по порядку среди 1ь, 1.. Нужно проверить, что а, „... (ХХГ,Х...
ХГ„)= =аь „,, (Г,х ... Х-Г„); (19) хг,~х... хг„)= , х(г,х...хг,-,х Х г., Х... Х г„); (29) р...;й г,~ (Г~Х ° ° ХГ„,ХХ)= (г, х... Хг„,). (21) Формулы (19), (20) выводятся из уравнения Чэпмена — Колмогорова при помощи следующей леммы (данной в виде задачи). 3 а д а ч а 1. Пусть Р(з, х, 1, Г) — марковская переходная функция. Тогда для любой ограниченной измеримой функции 1 на фазовом пространстве Х, для лю- 2ОО бых з(»(и и х~Х ~ Р (з, х, », Ыу) ~ Р (», у, и, йг) ! (г) = х х = ~ Р(з, х, и, с»г)»(г). (22) (20) полагаем г, »,.„, с»х,,) г,+з ~ Р(»„ь х„ь»„, с»х„), Прн выводе формулы )(г)= — тггь (г) ~ Р(»..., г,„, гп 201 з = »; и» = »ь и = »сы, а в качестве х берется переменное х, и обе части (20) оказываются интегралами от выражения (22) по одному и тому же множеству. При выводе (!9) еще проще: в- — это в, а х — это х. Для вывода формулы (21) не нужно даже использовать уравнение Чэпмена — Колмогорова: она следует из Р(», их„ь»„, Х) = — 1.
Теорема доказана. Теорем а 5. Пусть (Х, го) — борелевское измеримое пространство; пусть Р(з, х, », Г) — марковская переходная функция на нем. Тогда существует марковское семейство (л, Р, „) с Р(з,х, », Г) в качестве переходной функции. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся только что доказанной теоремой и теоремой Колмогорова (см. э 5.1). !!ри любых а и х мы можем в качестве пространства элементарных событий взять Хт"" >, в качестве основной и-алгебры — тоти' ! и опрелелить случайный процесс $, (х.) = х, и вероятностную меру Р~ „на (Хгпм ', .'-'ьт"" !), относительно которой конечномерные распрелеления процесса будут !хя.
м !ь ..., 1„. Это еще не то, что нам надо: мы хотим, чтобы для всех з, х было одно и то жс пространство элементарных событий. Этому легко помочь: берем (! = Х", определяем ~,(х.) как хь рассматриваем о-алгебру У ~,=,я»тп!' "'(Хт), порождаемую в пространстве Х" функционалами хь» е= Т Д (в, оо), и переносим вероятностную меру с пространства Хт"' ! естественным образом на пространство Х'. А именно, легко видеть, что любое множество А ~ Яат пуп >(Хт) представляется, причем единственным образом, в виде А=(х; х' е А<[ А и= ~тп(<, > где х'. означает сужение функции х. на множество Т Д [з, оо): х', = х„! ~ Т Д [а, оо) (функция х' принадлежит пространству Хтпм ').
Полагаем Р... (Л) = =Р', „(Л'). Конечномерные распределения й<, ! ) ь., относительно вероятностной меры Р,, задаются формулой (!5), н по теореме !' (с<, Р,,) — марковское семейство с данной переходной фуйкцней. Теперь мы можем установить, скажем, существование семейства винеровскнх процессов, выходящих нз всех точек. 7. Те о р ем а 6. Пусть Р(з, х, Е Г) -марковская перекодная функция, Чтобы система к<>нечномернь<х распределений, задаваемых формулой (1), бь<ла соглисована, необходимо и достаточно, чтобь< вероятностные меры и<, соответствующие разным моментам времени з -' й бь<ли связаны уравнением рг (Г) = ~ )с,(йх) Р (з, х, Ц Г). Если зто условие выполнено, а х (Х, Ьь') — борелееское изл<еримое пространство, то существует марковский процесг с переходной функцией Р(з, к, Е Г) и одномерными распределениями и,: и, (Г) = Р (", сз Г).
Д о каза теа ьста о — такое же, как у теоремы 4; мы его пе приводим. й 8.3. Семейства операторов, связанные с марковскими процессами О. Пусть (Х, <ю) — измеримое пространство. Мы будем связывать с пим два банаховых пространства. Первое,  — пространство всех ограниченных <ю'-измеримых числовых функций )(х) на Х с нормой )[г )1= = зпр!)(х)[ (сходимость в смысле этой нормы — зто х равномерная сходимость) Второе, к' — пространство всех счетно-аддитивных числовых функций множества (или «обобтценных мер», или «мер со знаком», или <зарядов»; см. Колмогоров и Фомин, !968, гл.
х(1, $ 5), определенных на и-алгебре Ф; в качестве нормы элемента т~ у' мы возьмем его полную вариацию на всем пространстве; [[у[[=[в[(Х) (определение см. там же). Нетрудно видеть, что для И вы- 202 полнены все свойства нормы; доказательство полноты пространства У см. Гихм ан и Скороход, 1965„ гл. П, 9 1, теорема 5. Между пространствами В и У имеется определенная связь. Положим (т, 1) = — ~ 1 (х) т (г(х) х (интеграл определяется как ~ (г(т' — ~ )г(т, где х Х вЂ” — разложение Жордана; см, все тот же параграф книги Колмогорова и Фом и н а (1968)). При этом каждому элементу ставится в соответствие линейный функционал (т, ) на В, а каждому элементу )е=  — функционал (, )) на У.
Таким образом, мы получаем естественное вложение У в В* (пространство, сопряженное к В), а В— в У*. Норма элемента и норма соответствуюшего линейного функционала совпадают: ~! !! = — эпр ! (, 1)!, И=~ ~11'1~= зпр!(т, ()! ~~и~.=! (это нуждается в доказательстве, но мы его не приводим). Линейные операторы в пространстве В мы будем записывать слева от обозначения элемента В: А1, Р"~ и т. и., а в У вЂ” справа: тВ и т.
п. 1. Теперь определим операторы, связанные с переходной функцией марковского процесса (или семейства). Сначала введем операторы Р", ь ( 1, э, 1е= Т, на пространстве В: для ( ~ В определим Р"1 как функцию, значение которой в точке х задается формулой Р" 1 (х) = ~ Р (э, х, 1, г(у) 1 (у). к Здесь суШествование интеграла и его ограниченность обеспечиваются тем, чтоР(гн х, 6 .) — конечная мера; нзмеримость Р"1(х) по х — измеримостыо Р(з,, 1, Г). Переходная функция однозначно определяется семейством операторов Р", разным переходным функциям соответствуют разные семейства операторов воз (докажите!). Однако не каждому семейству операто- ров соответствует какая-то переходная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
