А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2. Однородным переходным функциям ставятся в соответствие семейства операторов, зависящие от одного параметра: Р)(х) — ~Р(1 х с(у)1'(у), х мР'(1') = ~ т(агх) Р(1, х, Г), х где 1е=(0, еп) для процессов с непрерывным временем, 1=0,1,2, ... для цепей.
Операторы Р" выражаются через операторы этих однопараметрических семейств так Р" = Р' '. Свойства операторов Р" превращаются в следующие: а) Р' — линейные операторы на соответствующем банаховом пространстве; б), в) это сжимающие и сохраняющие положительность операторы; г) Р'1 = 1, ъР' (Х) = т (Х); д) Р' = Е; е) Р "'=Р Р'. Обозначение Р' внешне совпадает с обозначением степени оператора, и с этим хорошо согласуются свойства д), е); для дискретногп времени операторы Р' действительно являются степенями одного оператора Р = Р' Но для непрерывного Г это уже не так.
Свойство е) показывает, в частности, что операторы данного семейства можно умножать друг на друга. Как мы знаем, умножение операторов ассоциативно; значит, семейство операторов, связанных с однородной марковской переходной функцией, образует полугруппу, Эта полугруппа является гомоморфным образом полугруппы неотрицательных чисел по сложению (для цепей Маркова — неотрицательных целых чисел), поэтому ее полный титул — однопараметричеекая полу- группа оператороа. Свойства д), е) можно сформулировать так: Р'— однопараметрическая полугруппа, содержащая единичный оператор (если полугруппа содержит единичный оператор не на нулевом «месте». Р'=Е, 1ФО, то Е = Р' Ро+~ РоР~ Р«Е Ро т. е, и Ро Е) В дальнейшем вместо однопараметрическая полугруппа операторов, содержащая единичный оператор, мы будем говорить коротко: полугруппа.
Дискретныс полугруппы (1=0, 1, 2, ...) полностью определяются заданием оператора Р' (или, что то же, вероятностей перехода за один шаг Р(1, х, Г)); полу- группы с непрерывным параметром по понятным причинам так просто задавать нельзя. Однако ясно, что для того, чтобы задать Р' при всех 1= О, достаточно задать Р' только в сколь угодно малом отрезке (О, и] вблизи нуля: Р' па отрезке 10,2Ь] определится как Р"Р' — ", и т, д. Оказывается, при некоторых условиях регулярности можно ввести инфинитезимальные, дифференциальные характеристики полугруппы, которые, описывая ее предельное поведение вблизи нуля, позволяют однозначно восстановить всю полугруппу. Теория полугрупп операторов — весьма развитая область функционального анализа (см.
книги: Э. Х ил л е. Функциональный анализ и полугруппы.— Мл ИЛ, 1951; Э. Х илло и Р. Ф ил ли пс. Функциональный анализ и полугруппы. — Мл ИЛ, 1962; К. И о с и д а. Функциональный анализ. — Мл Мир, 1967), н она успешно применяется к теории марковских процессов. 3. До сих пор мы говорили только о переходных функциях и связанных с ними операторах; обратимся к марковским семействам с однородной переходной функцией. Если выполнены условия, при которых можно определить операторы сдвига О„, Оч (существование для любой траектории ~~(гв) и любого й ен Г траектории ~,(ы~)= $ь х(ы); см. 9 3.2), то из формулы для конечномерных распределений марковского семейства ($ 8.2, формула (!5)) вытекает, что для любого В~У>ч Рз,к (О, 'В) = Рц х(В).
Действительно, обе части — меры как функции В, и они совпадают на о-алгебре У ~ы так как совпадают для множеств вида В = (~, е= Г„..., $, ен Г ), 0( 215 (1,(... ((„, Гп ..., Г„~й: Р,„~~„, а=Го ...,~„, ~Г„~= = Р„, (зы ~ Го ..., $, е= Г„). 3 а д а ч а !. Докажите, что любое событие Л е= ~ У -, может быть представлено в виде А =О, В, В~У~о. Таким образом, вероятности Р,, однозначно определяются вероятностями Ра „, и все можно свести к семейству мер Р„=- Рю „зависящему только от одного параметра х~ Х. Это делает понятным следующее определение.
Пусть Т = )хе или 7,; (Х, У) — измеримое пространство; Р(1, х, Г) — функпия, удовлетворяющая условиям !) — 3) п. !. Пусть на пространсгве элементарных событий задана функция «, (га), ! е=. Т, ы е= Ы, принимающая значения в Х, и для любых 6 е= Т и ы е= г) существует хотя бы одно ы«г е= Ы такое, что $,(га,';)= — $, „(е) при всех !е— : Т. Определяются о-алгебры ~>«, йг~о порождаемые множествами («, е= Г), з О, соответственно з ( б Пусть Р„ при каждом х ьа Х вЂ” вероятностная мера на о-алгебре 9 м Пара (Ц, Р,) называется однородным маркооскил«сел~ейсзвом с переходной функцией Р(г, х, Г), если для лк>бых 1, па= Т, х а=Х, Г е— : со почти наверное (Р„) Рхй .а ~Г!йгю ) =Р(" Во 1') (2) При этом уравнение Чепмена — Колмогорова (условие 4) и.
1) выполняется автоматически. Марковское свойство (2) можно переписать в большом числе различных эквивалентных форм; скажем, с условными математическими ожиданиями в интегральной форме: для г, и е— = Т, х ~ Х, ) ен В и любого события ~ У <« Конечномерные распределения однородного марковского семейства записываются так: для 0 ~ ( 11~ ...
( 1„, Се†: У'" Р„ф„, ..., $, ) е= С) = = ~ Р(1ь х, йх,) ~ Р(1, — 1ь хь йх,) ... х х ... ~ Р(1„— 1„и х„ь дх„) !~с (хп ..., х„). х Р„(Е,'В~Х,) =Рц,(В) (3) Имеет место следующая теорема существования. Теорем а 1. Пусть (Х, ус') — борелевское измеримое пространство.
Пусть Р(1, х, Г) — функция от 1~ Т (=и' или 7.'), х~ Х, Ге= =Я, удовлетворяющая условиям 1) — 4) п. 1. Тогда существует однородное марковское семейство с Р(ч . ) в качестве переходной функции. Это — приспособленная к однородному случаю теорема 5 4 8.2. Единственное, что нуждается в отдельном доказательстве, — это то, что выполнены условия, обеспечивающие существование операторов сдвига.
Но эти условия выполнены для случайных функций, которые получаются конструкцией, примененной при доказательстве теоремы Колмогорова: при этом траекториями оказываются все функции, и между траекториями и элементарными событиями имеется взаимно однозначное соответстние. Переносится на однородный случай также теорема п. 6 8 8.3: Теорем а 2. Пусть на пространстве С непрерывных функций на компактном пространстве Х задана полугруппа Р' сжимающих и сохраняющих положительность операторов такая, что Р'! = 1.
Тогда существует феллеровское однородное марковское семейство (во Р„) на (Х, Ях), которому соответсгнуег данная полугруппа. 4. Марковское свойство для однородных марковских семейств можно сформулировать в более сильной с виду форме, соответствующей формуле (17) $ 8.2. Предоставим его доказательство читателю. Зала ч а 2. Докзжите, что если Яо Р,) — однородное марковское семейство, то для любого события В ~ У >ю и любых ! ~ Т, х е= Х почти наверное (Р„) Марковское свойство в форме (3) интерпретируется так; поведение процесса после момента 1 при условии, что фиксировано его течение до этого момента, такое же, как если бы мы выпустили его из точки Ь(ю)- Некоторые другие формы марковского свойства, родственные форме (3): для любой ограниченной У»о-измеримой случайной величины т( почти наверное (Р„) М (в~т) ) У м г) = М( т); или: для любой ограниченной ~- о-измеримой случайной величины т) и любого А е= У гй» ~ ВЛР (г(ю) = ~ Мй,т)Р (г(ю)' или. для любой ограниченной У о-измсримой величины т) и любой ограниченной У мыизмеримой величины $ МДВ,П=М йМ(,П.
5. Оказывается, неоднородные марковские семекстна можно при помощи некоторого искусственного приема свести к однородным. Пусть Т = Я». или Е„и (Вс 1»=— Т; Р „) — неоднородное марковское семейство. Введем: новое фазовое прогтранство Х' = Т »»с' Х; в качестве о-алгебры»о' возьмем о-алгебру всех множеств Г ~ Х', для которых любое сечение 1', = (х: (з, х)~ Г) измеримо относительна му; новое пространстно элементарных событий ()' = Т Х (): ы' = (з, ю), з я Т, со си 11; новые траектории й, (ы ) = ь г (з, ы) = (з + 1, ь, (ы)) со значениями в Х', новые вероятностныс меры Р„.
(А) = Р»з х»(А) = Рю х(А») где А» = (ьх (з, ы)»= А'); новую переходную функцию (однородную), определенную при 1»вЂ” = Т, х' = (з, х) я Х', Г я У'. Р'(бх', Г)=Р(з, х, з+1, Г, ), Г =(х: (з+ б х) аи Г). Покажем, что зто будет однородное марковское семейство, причем именно с данной переходной функцией. Достаточно проверить выполнение условий, налагаемых на переходную функцию, возможность определить операторы сдвига и выполнение условия Рх (А()(Ы': Е»ЧЛ(Ы') ~ Г))=чх КЛ'(й Ь»(Ы'), 1') (б) / при А»яУ< . 218 Покажем только, как проверяется последнее условие.
Слева здесь, согласно определению вероятности Р„о стоит Р, „ (А () П (ьх ~~ ь(з, са) аа Г)), А, =(ыг (з, ы) гы А) сн У 1, е+г), Второе а.множество здесь в силу определения новых траекторий можно заменить на (ьк э г, ь ( ) еы Г ь). В правой части (5), опять- таки в силу нашего определения новой вероятностной меры, стоит йй у г Р (й, й~ (3, ы), Г). Но эг (в, ы) =(э+ 1, э ег (ю)), и значение переходной функции под знаком математического ожидания ранна Р(в+1, $ (ы), в+1+ й, Г,). В силу марковского свойства для исходного марковского семейстаа правая часть превращается в Р (А () (ы: еэ с ь (ы) гы Гзегза)), т.
е. з левую часть (5). Смысл введенного нами преобразования, превращающего неоднородное марковское семейство в однородное, очень простой: мы просто вводим еще одну дополнительную пространственную координату, но которой происходит равномерное движение направо со скоростью 1; при этом неоднородность по времени превращается в неоднородность по пространству, которой мы не боимся. Отныне, если не оговорено противное, мы будем рассматривать только однородные марковские семейства. 8 8.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
