А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Строго марковские процессы б. Сначала введем одно определение, близкое к нашему определению марковского процесса, но не совпадающее с ним. Пусть на пространстве элементарных событий () задано неубывающее семейство о-алгебр гт н (ш Т; пусть задан случайный процесс йн ген Т. Мы будем говорить, что 1, марковский процесс относительно семейства о-олгебр У, с данной переходной функцией, если, во-первых, процесс Эг согласован с семейством о-алгебр, а во-вторых, для любых 1 ~ и, Г гы го почти наверное Р (Эн еи Г ( У ) = Р (1, йс, и, Г). Любой марковский процесс является марковским относительно о-алгебр м <,, 'для некоторого класса процессов мы докажем (в 9.2), что они являются марковскими относительна семсйстна У'~ с, Ясно, как дается определение марковского семейства относительно данного семейстна о-алгебр. 1.
При изучении марковских процессов бывают ситуации, в которых нам важно, сохраняется ли свойство независимости будущего от прошлого при фиксированном настоящем, если настоящее понимать нс как значение процесса в фиксированный момент времени, а как значение его в случайный момент времени. Рассмотрение этого вопроса показывает, что, во-первых, даже для самых хороших марковских процессов здесь в качестве настоящего нельзя брать произвольный случайный момент времени. Например, предположим, что наш случайный процесс 219 достигает какой-нибудь точки и конечное число ч раз, причем ч — случайная величина, принимающая значения 1, 2, 3, ..., л, ....
Обозначим через т тот момент времени, в который процесс достигает этой точки в [(ч+!)/2]-й раз; тогда прошлое и будущее относительно этого момента зависимы, хотя положение процесса в момент т фиксировано. "это - точка а. /(ействительно, число раз, которые процесс побывал в данной точке до момента т, — случайная величина [(т --1)/2], принимаюпгая значения О, 1, 2, ...; число раз, которые процесс побывает в этой гочка после момента т, - случайная величина [т)2], принимаюпгая те же самые значения. Но они никоим образом не независимы, потому что эта пара случайных величин может принимать нс любые значения, а лишь совпадающие друг с другом или отличающиеся на единицу.
Лоэтому приходится ограничиться только марковскими моментами; для них точно определяется, что означает, что будущее зависит от прошлого только через настонщее, и зто некоторое особое свойство процесса, строго марковское свойство. Так же, как и марконское, оно имеет ряд формулировок различной силы и применимости и различного вида. Затем, и это во-вторых, оказывается, что есть «плохие» марковские процессы, для которых зависимости прошлого и будущего нет для неслучайных моментов, но она есть для марковских случайных моментов. Это означает, что строго марковское свойство — не только не то же, что марковское, но даже и не эквивалентно ему (а сильнее).
Все дальнейшие формулировки относятся к марковским семействам, а не к отдельным процессам. 2. Пусть (яг, Р„) — однородное марковское семейство (ге= Т =[0, оо) или (О, 1,2, ...)). Пусть в пространстве элементарных событий задано неубыва1ошее семейство о-алгебр У ь 1 е= Т, 9 г ~ ~мо. М и к р о т е о р е м а 1. Пусть процесс $г(ш) прогрессивно измерим относительно семейства 3"г (см.
$6.2), Тогда переходная функция Р(1, х, Г) измерима по (1, х) относительно о-алгебргн Яг'р«',гс при любом Г е- :гс. Д о к а з а т е л ь с т в о. Разумеется, здесь есть что доказывать только для Т=Яэ. Достаточно для любого 1 ) 0 проверить измеримость Р(з, х, Г) при (з, х) ~ [О, 1];к', Х относительно Я(о, г) р«, К. Введем Я(о,,( Х У)г-измеримое множество А =((з, оз): 0(з~(, Ь«(оэ) ~ Г) ~ [О, 1) Х (). Переходная вероятность Р(л„х, 1')-- не что иное, как Р„-вероятность сечения этого множества «на уровне з», т, е.
(2) Р„(ю: (з, ш) ~ А). Докажем больше, чем мы хотели заранее: что для любого Я(о, г) Х У г-измеримого подмножества [0,1)/( Х(! функция (2) на множестве [0,1]ХХ измерима по (з, х) относительно о-алгебры Ягх и Х Я. Ясно, что система .Ф всех таких множеств замкнута относительно сложения непересекающихся множеств, вычитания из множества его части и монотонного предельного перехода; она содержит все множества вида С Х В, где С вЂ” произвольное борелевское подмножество отрезка ]0,1], а  — произвольное событие из У « (для них выражение (2) равно 1«с(з) Рк(В), а последняя вероятность измерима по х как вероятность любого события из У~о). Поэтому ,рФи1«(СХВ: СяЯм,«ь ВяУ,) (см. $ 8.2). Система множеств вида СХ В содержит все (0,1]Х!2 и замкнута относительно пересечения двух множеств: (С«Х В«) П (СгХ В«) =(С«П Сз)Х(В«П Вз), причем оба сомножителя принадлежат нужным о-алгберам.
По лемме ! й 82 Ф'=эо(СХВ: С~Я«с,«ь Вен енУ'«), что, по определению, есть Ям «1 ХУ,. Это доказывает микротеорему. Марковское семейство ($«, Р„) называется строго марковским относительно семейства и-алгебр У «, если а) случайный процесс $«прогрессивно измерим; б) для любого марковского момента т; любой функции «1 =«1(в«), принимающей значения из множества Т()(во), определенной на К2, =(т ( сю] и измеримой относительно и-алгебры У „любого х~ Х и Г е= Ж н любого событиЯ А: — !2«П ()ч — — (т, «1 ( со), принадлежащего У „ Рк (А П (~«„ч е= Г)) = ~ Р («1, 5«, ! ) Рк («(«в).
(3) А Интеграл имеет смысл, потому что функция Р(«1, $„Г) измерима относительно У, (а значит, и относительно У >в). Действительно, т и Ч измеримы относительно У,; функция ~«прогрессивно измерима, поэтому случайная величина $«измерима относительно У, на множестве (т - со); функция (ть я,) со значениями в (ТХХ, Я«ХЖ) измерима относительно У „в силу доказанной микротеоремы функция Р(1, х, Г) измерима относительно Я«Х У', и результат подстановки в нее измеримой функции измерим. Формулу (3), выражающую одну из форм строго марковского свойства, можно переписать в виде Р.В„„ен Г]У,) =Р(Ч, 1„!') 22! почти наверное (Р,) на множестве (т, )) ( оо) (вне этого множества условная вероятность равна, естественно, нулю, потому что прн т = оо или т) = оо случайная величина ~,+я не может принадлежать множеству Г, так как она просто не определена). Правая часть (4) измерима относительно Я„интеграл от этой правой части по любому А ив : 9 „А: — (т, т) < оо), равен в силу (3) вероятности пересечения этого события с Д,ея~Г); это и означает, что выполнено (4).
Другие равносильные формы строго марковского свойства: для ) еп В й)), У 6„и) ) бг,) = Рч) ($,) почти наверное (Р,) на ь),П ьач; ~ ) Й, „„) Р, (й(а) = ~ Р") ($,) Р„(йот) (6) А А для Аснар „А а(т, т) < оо); или, что то же, ))))хХА( (ьт(-я) МаХА~ ) (ьт) (7) и т. д. Строго марковское семейство является марковским относительно семейства о-алгебр У) (см. и. О).
Зто вытекает иа того, что неслучайный момент Г является марковским. 3. )"ти кро теор е м а 2. Любая (однородная) цепь Маркова является автоматически строго марковской относительно семейства о-алгебр У»„, и = О, 1, 2, ... Д о к а з а т е л ь с т в о. Требование а) выполнено, так как Т счетно, а цепь согласована с данным семейством о-алгебр; докажем, что выполнено (3).
Имеем Р (АП(йтеяеп Г))= =я,( 0 пас( = )О(а= )аи, г)) м Так как т) и А измеримы относительно У»,, то пересечение первых трех сомножителей измеримо относительно бт» . Разбивая выражение (8) на счетное число слагаемых и применяя к (т, и)-му слагаемому простое марковское свойство относительно момента т, получаем 222 Х 1 Р (и' ~ Г) Р (с(ьт) гя О «=-0 Ап(( аг,я=а) Заменяя здесь в функции под знаком интеграла т иа т, и иа т) и собирая интегралы снова воедино, получаем правую часть (3). Совершенно так же доказывается и М и к р о т е о р е м а 3. Для произвольного марковского семейства и семейства а-алгебр У,»( строго марковское свойство (3) выполняется, во всяком случае, тогда, когда т и т) принимают не более чем счетное число значений. Впоследствии мы докажем, что любое феллеровское марковское семейство с непрерывными справа траекториями является строго марковским относительно семейства о-алгебр Я .г и даже, более того, У < г„ (не будем сейчас говорить о том, почему речь идет о непрерывности справа).
В частности, зто относится к винеронскому пропессу. 4. Приведем примеры применения строго марковского свойства. а) Пусть имеется дискретная цепь Маркова 1=0, 1,2, ..., с вероятностями перехода р(п,х,у), п = О, 1, 2, ..., х, у ~ Х. Обозначим через 1(п, х, у) вероятность того, что $! впервые при положительном 1 достигает у в момент и, вычисленную в предположеиии, что йо —— х, т. е. )(и, х, у) =Р,Д, чь у, 0 <1< и; й„=у). Тогда р (и, х, у) = ((и, х, у) + ((и — 1, х, у) р (1, у, у) +... ...
+ ! (1, х, у) р(п — 1, у, у). (9) Это получается примевеиием строго марковского свойства (3) к моменту т первого достижения точки у, т) =(и — т)'ч'О, Г =(у), А =(т < и). Формула (9) и ее частный случай при х = у являются основными при изучении предельного поведения р(л, х, р) при л-г оч (см. Ф ел л е р, !9б7, т. 1, гл.
Х!!1, б 3; гл. Хтт', й 5). б) «)тринцип отражения» для винеровского процесса. Предположим, что доказано, что вииеровский процесс — строго марковский. Пусть фиксированы какие-то точки х < сея )с! и () О. Рассмотрим марковский момент т — первый момент достижения а, т) = =(1 — т) ~,'О, ГеяЯ', А =(т < ().
Запишем формулу (3): Р,(т~~(, гв,~Г)= ~ Р(( — т, а, Г)Р„(йю). (10) (т~с) 223 Если отразить множество Г в точке а, то в силу симметричности нормального распределения вероятность (10) не изменится. Для множества Гс:-( — оо,а) получим Р„( (1, ~, Г)= = Р„(т (1, эг е= 2а — Г) = Р, (зг я 2а — Г). (11) Второе равенство выполняется потому, что если траектория начинается в точке х ( а, а в момент 1 оказывается правее а, то она непременно побывает в точке а до момента б Из формулы (11) можно получить распределения различных слу ~айных величин, например совместное распределение щг и гпах щ, и т. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
