А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е. все траектории — ступенчатые функции с конечным числом ступенек на каждом конечном промежутке времени, причем в ступеньку включается ее левый конец, но ие включается правый. То же самое будет для любого марковского процесса со счетным множеством состояний, для которого эпр(1 — Р(1, х, (х)))- 0 прн 1.)0. Это вытекает из теоремы 3, если на фазовом пространстве ввести метрику, задающую дискретную топологию: р(х,у)=! при хчьу; функции без разрывов второго рода относительно этой метрики — как раз ступенчатые функции (рис.
28). Рис. 28 Применению этого к несчетному фазовому пространству (Х, зо') препятствует то, что теорема 3 сформулирована нами для случая, когда фазовое пространство — метрическое пространство с а-а.лгеброй боре- левских множеств, т.
е. а-алгеброй, порожденной всеми открытыми множествами. В дискретной топологии (р(х, и) = 1, хэе=у) все множества открыты, и о-алгебра борелевских множеств — это система всех подмножеств Х. Но мы не умеем задавать меры на всех подмножествах несчетного множества, за исключе- нием мер, которые на самом деле сосредоточены на каком-то счетном числе точек в этом несчетном множестве. К счастью, теорему 3 (и предшествующие ей теоремы 1, 2) можно обобщить, потребовав вместо Я' =Я» того, чтобы метрика р(х, у) была измерима (относительно Ж), и того, чтобы о-алгебра го порождалась измеримыми открытыми множествами. Изэтой видоизмененной теоремы выводится Теор с ма 4.
Лусть Р(Е х, Г) — переходная функ; ция марковского семейства на произвольном фазовом пространстве (Х, го). Если зпр [1 — Р(С х, (х))[ — О к при 140, то существует марковское семеиство с этой переходной функцией, все траектории которого являются непрерывными справа ступенчатыми функциями с конечным числом ступенек на каждом коне~нам промежутке времени. 4.
Имеются различные обобщения теорем этого параграфа; в частности, теоремы„обеспечивающие непрерывность траекторий только до момента перескока в дополнительную точку .х., в которую процесс попадает вместо того, чтобы исчезать (ср. 9 8.1, п. 5в)). См. Дынкин (1959, гл. 6), Гихман, Скороход (1965, гл. 1У, Я 4, 5) . $9.2. Строго марковское свойство для феллеровских марковских семейств с непрерывными справа траекториями 1. Мы докажем, что все феллеровские марковские семейства с непрерывными справа траекториями являются строго марковскими относительно семейства и-алгебр У <г~ (1 ~ [О, ьо)) Прежде всего докажем вспомогательный результат. 3 ада ч а 1.
Пусть т — марковский момент относительно семейства о-алгебр У <~+. Тогда т. =([2"т[+ + 1) /2" — марковский момент относительно семейства и-алгебр У <ь и соответствующая ему о-алгебра У <ч„~У <,+. Теперь пусть у нас имеется феллеровское марковское семейство (сь Р„) с непрерывными справа траекториями на метрическом фазовом пространстве Х, го =ьчх. Требование прогрессивной измеримости, входящее в определение строго марковского семейства (в 8.5, п. 2), обеспечивается непрерывностью справа траекторий.
Нужно доказать, что ~ [6,„„) Р„(г(м) = ~ Р"1 $,) Р„(г(ы) (1) для любой функции [~ В, где относительно т, ть А выполняется следующее условие: А++) т — произвольный марковский момент относительно семейства и-алгебр У -,+1 т) — произвольная функция на 11,=(т ( со) со значениями в [О, ос[, измеримая относительноУ.с„, .А ~У <,, А =Я, () Йч. Нам известно (см. $8.8), что (1) выполнено, если А) т — дискретный марковский момент относительно семейства У.ск и — функция на Й„принимающая счетное число значений из [О, ос[ и измеримая относительно У -,; А е= У ~„А <:-(),() 1)ч. Введем еще промежуточное условие: А+) т — произвольный марковский момент относительно семейства У ~~~, ~1 — функция на Я„ принимающая счетное число значений, измеримая относительно У ~,~, А с— : У ~, г, А ~ Я„Д Яч.
При условии А) (1) уже доказано; отсюда мы перейдем к (1) при условии А+), а затем уже при условии А++). Для последнего перехода нам понадобится еще один вспомогательный результат. 3 а да ч а 2. Лля 1 е= С функция Р'~ (х) при каждом х непрерывна справа по С Формулу (1) достаточно доказать только для функций [яС (переход ко всем [яВ осуществляется так же, как при доказательстве теоремы и.
6 з 8.8). Предположим, что 1'~ С; т, т1, А удовлетворяют условию А+). Возьмем т =([2"т[+ 1)/2", а г) н А оставим без изменения. Согласно задаче 1, для т, ть А будет выполнено условие А), поэтому Здесь Рг( при каждом ы ~ 11ч — непрерывная функция (используется феллеровость).Устремим и кое; при этом т„[ т, в силу непрерывности траекторий справа $, -ь я„ Е, „ †,„„.
Используя непрерывность число~л~ч вых функций 1() и Р 1(), получаем, что [(~~„+ч)— 237 ,)Я ), Рчу($ ) — ьРя)(й,) при всех ш; так как все эти функции ограничены ]Щ], то законен предельный переход под знаком интеграла, и из (2) вытекает (1), Итак, (1) доказано в предположении А+). Пусть теперь т, т], А удовлетворяют условию А++). Положим з] =((2"ц)+ 1)/2", а т и А оставим без изменения. Для т, Ч„, А выполнено условие А+), значит, ~ ) (5, ) Р„(йо) = ~ Р"л((5,) Р„(йо).
(3) л л Устремим и к сю и воспользуемся задачей 2; получим что Р"в)($,)-- Р")($т) при любом ш е:— 12, П ьзп. То, что в левой части функция под знаком интеграла стремится к )(5, .„), так же, как и раньше, вытекает из непрерывности траекторий справа. Предельный переход от (3) дает нам (1) при условии Л++). 2. Теперь обоснованы все применения строго марковского свойства к винеровскому процессу ($8.5, и. 4б), задачи 1, 3*). 3. Наконец, теперь мы можем повять, почему требуется иепрерывность справа, а ие слева. При переходе от дискрстиых Ч к произвольным мы могли бы совершевио так же воспользоваться вепрерывиостыо слева, положив ты = (2"Ч]/2"; во при оперироваиии с т существеиио, что мы заменяем эту величину на ббльшие т„.
Здесь дело в том, что т определяется своим прошлым !и ближайшим будущим). Случайная величина т, будучи фуикцией от т, тоже определяется прошлым и ближайшим будущим относительно т; во это прошлое и ближайшее будущее — прошлое по отношению к т„так как т, ) т. Это и приводит к тому, что т„. - марковский момент относительно семейства о-алгебр У,.- г.
Напротив, если бы мы взяла т ( т, то ие получили бы в общем случае марковского момента, потому что прошлое по оп>ошепию к т частично является Г>удушим для т„.- т, и даже ие «ближайшим» будущим. 4. Из доказанной теоремы следует, что феллеровские марконские семейства с непрерывными справа траекториями являются марковскими относительно семейства о-алгебр .У~с+ (см.
$ 8.5, и. О) В частности, для таких марковских семейств имеет место Закон 0 — 1 Р. Блюменталя. Для любого события В ~ У<в„и любого хяХ либо Р,(В)=0, либо Р„(В) .= 1. До к а з а тел ьс т во. Пользуемся (строго) марковским свойством (формула (1) 5 8.5) относительно 233 момента т = О, А = В. Получаем Р, (В) = Р, (ВВ) = Р (ВОо В) = ~ Рь (В) Р„(г(ш) = в = ~ Р„(В) Р„(йо) = Р„(В)'. в Разумеется, Р,(В) может зависеть от х (зто будет )ю'-измеримая функция, т. е. в данном случае индикатор какого-то борелевского подмножества Х).
б. Доказанная теорема обобщается на случай, когда нместо пространства С берется не все пространство непрерывных функцнй, а лишь его подмножество, достаточно плотное в пространстае В (чтобы две меры совпадали, если совпадают интегралы по ннм от любых двух функций нз данного подмножества). Например, в случае сепарабельнаго локально компактного Х достаточно потребовать, чтобы >ш[ было непрерывно для любой фнннтной (т. е.
обращающейся в нуль вне некоторого компакта) непрерывной функции: Р'Се,„ы С. Дадим несколько задач, связанных с материалом этого параграфа лишь, может быть, методом решения. 3 а д а ч а 3. Пусть (зл, Рх) — пень Маркова на фазовом пространстве (Х, хУ). Обозначнм через т(х) первый момент, когда В, покидает точку х т(х) = пнп(л: С Ф х) (еслн я„=- х прн всех л щ Е, полагаем т(х) = +аа) Докажите, что т(х) имеет (относнтельно вероятности Рх) геометрическое распределение с параметром д(х) щ [О,1], т. е, Р„(т(х).= л) = = [1 — Ч(хВ ч (х)" , и = 1, 2, ..., н что случайные величины т(х) н 4т, 1 независимы (также относнтельно вероятности Р„). Конечно, о я ! 1 имеет смысл говорить, только когда 4(х) ( ( 1, иначе с Р„- вероятностью 1 т(х) =- о>.
3 а д а ч а 4. Пусть ($п Р„) — марковское семейство с непрерывнымн справа траекториями; т(х) = 1п1(1: я> ~ х). Докажите, что т(х) имеет показательное распределенне с параметром Л(х) щ [О, со], т. е, Рх (т (х) ) Г) = е !"1, Г ) О. (То, что т(х) — случайная велнчнна, следует нз задачи 4 з 6.1.) Для семейства вннеровскнх процессов в каждой точке Л(х) = +со, Р„(т (х) = О) = 1. 3 а д а ч а 5. Найдите Л(1), Л(2) для процесса с матрнцей вероятностей перехода задачи 1 З 8.!. 3 а д а ч а 6*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
