А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Предел интегральных операторов в смысле сходнмости по норме — опять интегральный оператор. действительно, норма интегрального опе. ратора !)( (х) = ~ !3 (х, бу) ( (р), где () (х, .) — мера со знаком, к равна знр ) () (х, .) ( (Х) ']; поэтому скодимость таких операторов по норме означает равномерную по х скодимость соответствующих мер по вариации. Из полноты пространства )г вытекает существование А (х, ) =1нп ! '(Р (1, х, ° ) — б„( )) в г4о в смысле скодимости по вариации равномерно по х. Итак, А((х) = ~ А (х, др) ( (у], 3 адан а 5.
Докажите, что мера А(х, ) неотрицательна на подмножествах Х' (х), неположительна на (х), А(х, Х) = 0; функция А(х, Г) измерима по х, и 0 ) А(х, (х)) ) — С ) — оа при всех х. Обратно, каждой такой функции соответствует марковское семейство с ограниченным инфнннтезимальным оператором, задаваемым формулой (!). Теперь пусть траектории пропесса — непрерывные справа ступенчатые функции. Процесс будет строго марковским (потому что его траектории непрерывны справа относительно дискретной топологии в фазовом пространстве, а переходная функция является феллеровской относительно этой топологии). Процесс будет происходить следующим образом: начинаясь в точке х, он будет находиться в ней случайное время т(х) с показательным распределением с параметром Л(х), после чего перескочит в ДРУгУю точкУ У = $т 1, независимУю ат т(х) с каким-то РаснРеделением п(х, Г), Г щ Х ' (х) (задачн 4, 6' $ 9.2); затем движение — в силу строго марковского свойства — будет происходить так, как если бы частица начинала его в точке Гн она будет в ней находиться в течение показательного случайного времени с параметром Л(у), н т.
д. Задача 6, Докажите, что Л(х) = — А (х, (х)); н(х, Г) = =Р (~ псГ)=А(х, Г)!Л(х) при Гщ — Х',(х), Л(х))0. 3 ад а ч а 7. Пусть А)(х) = а(((х+ 1) — )(х)). Найдите е Какое марковское семейство соответствует этой полугруппе) 3 а да ч а 8". Возьмем (Х, !кт) = ([О, 1), Эй(о !1), Аг(х) =- х = ~ () (у) — ((х)) г(у! здесь показатель времени пребывания Л(х) о равен х, а распределение п(х, *) в момент перескока — равномерное на отрезке (О, х). Докажите, что вероятности перехода будут задаваться формулой (соответствующей формуле Р' = = Е + (А + (зА'/2! +...) Р(1, х, Г)=е "6„(Г)+ ~ 1е ' г(х.
ГП(о. х) ') Для меры со знаком т через (ч) обозначается ее полная вариация; см. Колмогоров и Фомин (!968, гл. 71, Э 5). 255 3. Рассмотрим вопрос, важный, в частности, для приложений. Как находить по ини4инитеаимальному оператору стационарное распределение для данного марковского семействай Из рр' — = р вытекает, что ]»~Ю и рА=О.
Итак, дело сводится к тому, чтобы найти ненулевое неотрицательное решение уравнения рЛ = О и пронормировать его, разделив на р(Х) (чтобы мера от всего пространства равнялась единице). Найдем стационаркое распределение для процесса из примера п. Зг) $8.1. Мы нашли (й 10.1, п. 2ж) ) инфинитезимальный оператор, действующий на функции (гладкис): Аф (5) = о [ф (О) — ф (5)], Аф (х) = ф' (х) + [ (х) ! — г (х) [ф (5) — ф (х)]. Нужно найти такую меру р, чтобы (1ц Аф) = 0 при всех П1 ф»Б Срав», т. е.
р Ой] и [ф (О) — р (5) ] + -]- ~ 1» (»(х) ~ р'(х) + [ (х) [ р (5) — ф (х]] ~ = О. о Выберем ф(5) = 1, »р(х] = О, х ~ы [О, со); получим и (5] а = ~ р (»(х). [ (х) о к Теперь возьмем ф (5) = О, ф (х) = ~ ф (у)»(р, где ф — произв вольная непрерывная функция, отличная от нуля лишь на конечном отрезке; получим »~в нч — ][, „]»~но~.«» ] (х) о Изменим порядок интегрирования в правой части: » (и (» >-]» ы [» 1нч~ » . ] (х) о о я Так как функция ф — произвольная из Се„, то меры совпадают и » р (г(у) [ [ (х) г(у 3 1 — г" (х) Плотность и меры р по мере Лебега удовлетворяет уравнению и (у) = ~ и (х) >(х„ [ (х) или а'(9) = — а (р).
[(9) 1 — Р (д) Решаем это уравнение; (р) (! г (у)) а (р) 1 — Р (у) ' откуда А> (р) = = с (1 — Е (у)). Итак, р (Г) = с ~ [! — г' (хП >(х для Г ': — [О, со). Находим Р(3). г р(3) = а ' ') с [1 — Р(х)[ >(я=а 'с. 7 (х) 1 — г" (х) Найдем меру от всего Х = (5) () [О, ео) > и>» >и, >-( - »[ » — *»»*). о Но ~ [1 — Р(хП >(х — не что иное, как математическое ожидав ние т времени обслуживания.
Вывод: если ш = о», стационарного распределения нет; если >н ( оь, то )ь(5) = а->/(а-> + т), а на [О, ео) стационарное распределение задается плотностью (а '+ т) '[1 — г(х)[. 3 ад а ч а 9. Найдите стационарное распределение для марковского семейства задачи 7 $10.2. 3 ад а ч а 10». Пусть имеется система массового обслуживания с одним каналом обслуживания, с очередью. Поток поступающих заявок — простейший, с плотностью а; время обслуживания --показательное, са средним т (т. е, с параметром >л-').
Тогда число 5> заявок, находящихся в системе (т.е. обслуживаемых или стоящих в очереди) в момент й — марковское семейство со счетным числом состояний с такой ннфииитезимальной матрицей. ас>ь>=а, >=О, 1, 2, ...; аь> >=т->, аы= = — (а+ т — '), (= 1,2, ...; аез = — а (остальные — нули). Докажите, что при 1-»-оо существует предельное распределение 9 А. д. В»итц»ль 257 (д/, /=О, 1, 2, ...), а/>О,~д =!: !йп Р(/,ю',1/))=//; l '/ ' ' /' при аьч ) 1 распределение числа заявок в очереди уходит при /-ч ос на бесконечность: !нп Р (/, /, 1/т', со)) = ! для лхобых ! -+ натуральных /!/, Ь 4.
Представляет интерес нахождение математических ожиданий и распределений различных функционалов от траекторий процесса, таких, как 1($/), ~ д($,)/)з, )(в,), ~ д(х,)/)з, где т — момент первого доо о стижения какого-нибудь множества Г, и т. п. В виде математических ожиданий такого рода функционалов могут быть представлены и вероятности разных событий, связанных с процессом, например, вероятность того, что в/ достигнет множества Г! раньше, чем Гх,— это математическое ожидание тг, г (з ), где т — момент первого достижения множества Г! () Гз.
Здесь мы рассмотрим более простой случай функционалов, связанных с неслучайным моментом !; задачи, связанные с моментами первого достижения множества (выхода из области), мы рассмотрим для диффузионных процессов в гл. 13. Математическое ожидание и(/, х) = М„~(з/) = =Р//(х) можно найти как единственное (ограниченное) решение уравнения ~а!/'") =Аи(/, х), />О, хе=Х, (2) с начальным условием (3) и(О, х) =)(х) (во всяком случае, когда начальное условие ~~))/ь см. з 10.1; единственность ограниченного решения и(1, х) = Р//'(х) вытекает из того, что преобразование Лапласа ьх(х) = ~ е х/и(/, х)/// удовлетворяет ураво нению Хпх — Аох = 1, а его решение единственно: ох=)тх)).
Эта задача, в сущности,— не что иное, как задача о нахождении распределения значения з/ для процесса, начинающегося в произвольной точке х, т. е. о нахождении переходной функции по инфинитезимальному оператору. 25В т Далее, рассмотрим функцию о(г, х) = М„~ д($,)т(з= о с =$ М„д(~)гЬ=$ Р'у(х)йв $, предполагается проо о грессивио измеримым относительно Ямс).
3 а да ч а 11. Докажите, что для я ~е Ва функция о — единетненное растущее не бнетрее, чем линейная функция от ц рещение задачи до (б х) д1 =Ао(б х)+д(х), (4) о(0, х)=0. (5) Задачи (2) — '(3) или (4) — (5), может быть, трудно решить, но это — задачи привычного для нас типа; например, если А — дифференциальный оператор, это задача Коши для уравнения в частных производных. Но. как подойти к вопросу о нахождении распределения ~ д($,) аз? Задача будет решена, о если удастся найти характеристическую функцию Совместное распределение д(в,)4(з и $г будет найдено, если мы научимся нао гк г л м, *р(*,)ч(из~ '*".
о Мы возьмемся за более общую задачу нахождения функции к о=и* г(( коз*а(ао (о) о для комплексных или действительных функций с и )— безразлично (предыдущая задача получается из этой при с(х) = т,и(х), )(х) =е"'). Теорема. Пусть (4, Р„) — равномерно стохастически непрерывное марковское семейство на метрическом фазовом пространстве Х, функция ( ен Рл, с — ограниченная равномерно непрерывная функция (с ~ Срсоо) . 7огда функция ис, определяемая формулой (6), — единственное растущее не быстрее еси ресиение задачи д,' —— Апс(1, х) + с (х)ис(с, х), (7) и (О, х) = 7 (х).
(8) Д о к а з а т е л ь с т в о будем проводить с использованием известных уже нам сведений из теории полу- групп. Определим линейные операторы Рс, с '=» О, фор мулой Гс с'ссс-и:* [(.ссссс)ссс,с. о Это будут линейные ограниченные операторы: ~(Р ~( (е * где а=вор)сес(х). Они образуют полугрупх пу. Действительно, с"'сс.с=о..ссс( .ссс с)ссс„с= Чо (с с+с =им.[ [( сссс -с) .ссссс)ссс„.с~е,]= о с ус [( с..~ ~ х о хм.[в,[-с[).сссс.)сссс) е„1. Условное математическое ожидание, по марковскому свойству, равно в(з, $с) = — Р')($с).
Отсюда Р'+7(х)= = м. -с С С . с с с с.) с с с с с = ссс с*с. хо Обозначим инфинитезимальный оператор полу- группы Р через А. Докажем, что О- =В и на атом множестве А) = А7+ с(. Имеем )ссп 1 '(Р~~ — ~) =)сспм' (Рт — Р~) +! ссп 1 ' (Р ~ — ))- сто соо сто 260 Прежде чем продолжать доказательство, предложим читателю получить более простой результат самостоятельно. 3 а д ач а 12. Докажите, что [! Р~1 — Р 1!!~((е "'" — 1)1!1!!. Пользуясь тем, что Р~3 — 1=(Р~1 — Р 1)+(Р'~ — 1), выяеднте отсюда, что полугруппа Р' сильно непрерывна на том же самом пространстве Вм что Р', и только на нем. Теперь докажем, что 1 — '(Рг)(х) — Рг)(х)) равномерно по х сходйтся к с(х)/(х) для всех (а= Во; это покажет, что крайний левый и крайний правый пределы в (9) существуют или не существуют одновременно, а если существуют, то различаются иа с(. Имеем ел~ — гг(и=м,~*р[[ ~ь>и~ — ~)гоз па~ ьо (кстати, эта формула решает задачу 12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
