А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Определим на полукольце,Ф такую случайную функцию множества ~(А) = ~(А, в): М, У]ХВ)=х ( )(~ — ~) Теорема К Случайная функция в(А) конечноаддитивна на .М и удовлетворяет условиям Мэ(А) =О, некоррелированности для непересекающихся множеств и М]$(А)]'=т(А) (напомним, что т=щез ХР). Доказательство.
Конечная аддитивностгп л пусть (1, У]ХВ= ]] (1о ЯХВо причем отдельные слагаемые не пересекаются. Требуется проверить, что л Хв (ь ) (щ,. — щ,) = Х Хв, (м) /и !. — щ! 1- (2) !/ у.— ! « (7, !')ХВ=Ц Ц (.ь з;,!)ХВь Р) 1=! 1=-!! причем все слагаемые в (3) не пересекаются; анало- гично правая часть (2) записывается в виде « ! — 1 ,Е Х Х, (м)(,!„-щ,,) ! (4) (приращение функции и от 1, до !', равно сумме приращений от з до з!„).
Перепишем суммы (3) и (4), сгруппировав слагаемые с одним и тем же 7: т — 1 (~.ГЗХВ= П 7»х;.!Х 0 В!); !5) !: ! <!<! а (4) превратится в т. ! Х(ш,. „,— и!,) Х х ( ). !очыч!< ° ! ! (6) Равенство (5) может быть выполнено, только если для любого ! сумма (/' В! =В; причем отдель!:! <7<! 279 То, что «прямоугольники» (7,, Я Х В, не пересекаются, разумеется, не означает, что не пересекаются друг с другом полуинтервалы (7!, Я или события В, Пере- нумеруем все точки 7, !', 7,, 7; в порядке возрастания: зе (=!) < з, « ... з (=!), н представим каждый полуинтервал (7п 7,'.1 в виде объединения входящих в него непересекающихся полуинтервальчиков (з!, з7+Д: ! — ! (1,, !',1= Ц (зп з! !1.
Имеем: !=1; ные слагаемые в этой сумме не пересекаются. Отсюда вытекает, что при любом 1 и всех ы имеем: та (ы) =та(в), и выражение (6) равно левой е г,<к!,' части (2). Теперь найдем М$(А), А=-(Г, Г'] ХВ, Ве-:У н 1Л меем: МБ((1' Г ] Х В) = Мтв(ш' — ш,) = МАМ(шп — шс)=0 потому что случайное событие В принадлежит о-алгебре У ь а приращение кп — ш, не зависит от этой о-алгебры. Если А, = — (1о Я Х Вп А,= — (Г,, 1,'] Х В„В, е-=У о А,()А =- Я, то непременно (Г, 1,] Й(1з 1з]= 8 нли В, () Вр — — Д.
В первом случае мы можем считать, что первый полуинтервал лежит левее второго: Г', ( Тогда имеем: М1(А,) 1(А,) =Мх (цч — шп)ха,(ш,. — ы~,) 1 (разумеется, черту над ~(А~) можно и не ставить, раз наша случайная мера вещественна). Здесь первые три сомножителя измеримы относительно о-алгебры У ш а последний независим от этой а-алгебры, поэтому М5(А~)1(Ая)=МХв (ш~; — ш~)хв М(ш~ — ш~,)=0. Если же В~ Д В~ = 8, то эта ковариацня равна нулю из-за того, что у у. =— О.
в, К Наконец, для А =(1, 1']Х В, В АУ ~ имеем: М] $(А) ~'= Мх (ы)'(пл — и,)'= Мх (ы)'М(шн — и,)'= = Мт, (а) (г' — 1) =гнев(г', г'] Р(В) = т(А). Теорема доказана. Мы видим, что выполнены условия теоремы 1 или 1' % 2.2 (в случае 1„... = оо в качестве множеств Ас берутся А; =(Го,й]ХЯ, где 6 — +-оо). Полукольцо множеств вида (Г, 11] Х В, В ен У и порождает в (1о, 1 ° ]Х ХЯ о-алгебру Ягеп'. Поэтому для ]ецЕз((1о, г„;]ХЙ, Угед, гпез Х Р) определен стохастический интеграл ~В= $ ~К Д((1 ().
(7) (сп, ~~пх)хо Это н принимается за определение стохастического интеграла (1). Отображение Т вЂ” единственное линейное изометричное отображение х,х((1п, 1,„) .'к', Ы, Угег(, гпез Х Р) в пространство х,2(хз, 9, Р) интегрируемых в квадРате слУчайных величин такое, что У(оп п2 ) = пих =та(нп — в,) (В~9,). При этом М ~ 1(1, гп)йо,= ь =О для любой предсказуемой случайной функции )(1, ы).
То, что ы одновременно является и переменным, от которого зависит стохастический интеграл, и одной из координат переменного интегрирования (1,ы) в (7), несомненно, несколько запутывает дело, затрудняя понимание; но в формулировках теорем 1, 1' ~ 2.2 не было ничего, запрещающего такое их использование. 2. Рассмотрим некоторые примеры вычисления стохастических интегралов. а) Пусть 1о < 11 < 1п« ... 1,„е=(1п,1,), а случайные величины 1п(ю), (~ (ы), ..., ) ' ~ (ы) интегрируемы в квадрате н измеримы относительно о-алгебр 9 ~,, У ~п ..., 9 ~,, соогветственно.
Положим и -1 )(1, ы)= Х (,(ы)Х( „,1(1) (8) Эта случайная функция предсказуема и интегрируема в квадрате: т-1 п~пх М ~ 11(1, ы)Гй= ~, М!1;(ы) Г(~;, — 1,) < Найдем стохастический интеграл от нее. Для каждой случайной величины 1,.е= А'(11, 9 ~,, Р) сущестнует последовательность У,,-измеримых простых случайных величин, сходящихся к ней в среднем квадратическом: ~,(в) =1. 1. гп. ~ сыта, (ы), В"и ен У, . (9) 281 Отсюда вытекает, что аа — 1 л /" (г, /а) =!.
!. гп. х х' с!/ха„(/а) Х,, (/) (10) а-а а а/В / ! !/ (! !а!! (здесь уже речь идет о сходимости в среднем квадратическом не относительно меры Р, а относительно меры и!ез,х', Р в произведении (/о, /~ах) Х аа). По определению стохастического интеграла имеем !аах га-! а / (/, /а) х//в, =!.1. пь ~ ~ с",. Х (/а)('!о! — и/! 1= !-а /-! !» — ! а 1.!. п.~ с,"/тв, (/в)(н/! — и, ) (! 1) !О -а / ! !/ !а! (речь идет опять о сходимости в 1.~(Я, У, Р)). Предел в !'-м слагаемом в (1!) равен /! (/в) (н/!а~, — и!!!). Имеем: аа/й !/х.,/.!(, —,1-/,!.!(, —,)$- а 12 / ! !'/ Г! !) ( а 12 используем измернмость ~ с", та„— 1! ~ относитель!! но 9.
! и независимость и!. — н!!. от этой а-алгебры; !+! ! из (9) вытекает, что математическое ожидание (12) стремится к нулю при и- оо, Итак, для случайной функции 1(/, /ь) вида (8) почти наверное а!ах аа- ! ~(/, в)/(и!!= , '~а(!а)(н/!,/, — и//,). (13) б) Пусть Т= 10, о), а!, =О, т — марковский момент относительно данного семейства о-алгебр, причем Мт < оо. Случайная функция т, (/), равная 1 при 0 (/(т и 0 при 1) т, предсказуема, потому что ее реализации непрерывны слева, и она согласо- 2В2 вана с данным семейством а-алгебр: при 1) О, по-» > 1/1 (у,(1) = 1) = Я ~ (т ( 1) = И 'х () (т (1 — Цп) я У,.
Докажем, что с (14) Хм«(1) сЪ, =1. !. гп. ~ Х<,„(1) йо, =1.1. т. гпт . (15) о н-> о л.+ С другой стороны, тп,=!пп и„ н.+ н (16) в смысле сходнмости при всех оз. Если одна и та же последовательность случайных величин сходится в одном и том же смысле к двум случакным величинам, то пределы почти наверное совпадают. В формулах (15) и (1б) речь идет о разных видах сходимости, причем из сходимости одного вида не вытекает сходимость другого. Однако из обеих сходимостей вытекает пходимость ао вероятности, так что тот и Хмт(1) с(гпт — пределы в, по вероятности. Значит, о они совпадают.
Приемом приведения сходимости в среднем квадратическом и сходимостн при всех (нлн почти всех) м к «обптему знамена. 283 3 а дача 1. Проверьте, что (!4) выполняется для марковских моментов, принимающих конечное число значений 1ь ..., 1 . Теперь для произвольного марковского момента т возьмем марковские моменты т„= пЛ( [2 с]+ 1) /2" (см. ф 6.1, п. 2), Они сходятся к т при и — ~-оо, причем все т„мажорируются случайной величиной т+ 1, имеющей конечное среднее. Отсюда вытекает, что Хс,, >(1)=1.1.
т. Х<, < >(1); из непрерывности отобрал <'«~ ~ жения 1, задающего стохастический интеграл, полу- чаем гелю» сходимости по вероятности мы будем пользоваться в 4123, чтобы установить совпадение с вероятностью 1 разаых выражений со стохастическими интегралами. Из (14) получается интересное следствие: для любого марковского момента т с конечным математическим ожиданием Ми!т = !), М (вт)' = Мт. (17) 3 ад а ч а 2. Может ли быть, чтобы для марковского момента т было Мт=гю, но Мют, М(юд конечны? Может ли при этом Мю эь Оз 3 а д а ч а 3. Пусть Л, Ь вЂ” положительные константы, т— первый момент, когда 1 ю!1= Ь37А + ! (в силу закона повторного логарифма (задача 3* з 7.3) такое т с вероятностью 1 конечно). Докажите, что Мт= оо при Ь ) 1.
При Ь < 1, предполагая, что Мт < оо, иыразите Мг через А и Ь. 3 а д а ч а 4". Докажите, что Мт < сю при Ь <!. 3. Определение интеграла — хорошая весь; однако пользуемся мы обычно не определением, а выведенными из него свойствами. Пользуясь примером а) предыдущего пункта, мы можем переформулировать определение стохастического интеграла.
Сделаем зто в виде теоремы. Т со р е м а 2 Стохастический интеграл (1) — это единственное линейное изометрическое отображение юз((!о 1 х! Х П„Угед, гпез Х Р) в юя(й, У, Р) такое, что длл случайных функций 1 вида (8) 1(1) имеет вид (13). Это позволяет находить стохастический интеграл от случайной функции )е= юа((1о, ! „] ХРь Угса!, гпез;и, Р), приближая ее не простыми функциями, а случайными функциями вида (8). Приведем езце некоторые примеры.
в) Сама случайная функция ш! предсказуема и интегрируема в квадрате на (!о, ! „] 'г( !), 1„„„< оо. с я|ах Посмотрим, что такое будет ~ гв! с(гв!. Возьмем рази биение 1, <1! « ... 1„=1,„,„отрезка от 1о до 1,„ и ступенчатую случайную функцию ) (1, ю), равную !в!! при 1! <У~(!!+!. Эта функция сходится в А~((!о, 1 .„]ХЬЬ) к шг при измельчении разбиения, 234 так как п|ах Ос) — ис)' сгг = ье с п — ! 1 тл ( с с!) 2 хл( +! с=о ( ~ (! .х — 10) гпах(1са! — гс).
1 с С-0 Поэтому Слаах и- ! и,с(и!= !. !. гп. ~ ис, (всс, — ис,) С=О (предел прн псах(!с+! — !с)- 0), Рассмотрим тожде- ство ( ...— .)'=Х(в;.,—,)'+ л- ! + 2 ~ ~ (исс„, — исс) (ис С.=О !<С л †! л — 1 = ~„(ис.~, — ис,)О+2 ~ (ис, — исс) = — ис!) и!с!в 2и, и +2и,. С,пах са Левая часть не зависит от разбиения; первая сумма в правой части сходится в среднем квадратическом к 1 „— 1о (см. $1.2). Отсюда паап и, с!в, = (иос — вас ) ~ 2 — (Г,х — 1 )/2. с. ~(1, со) с(и!= !.!.
пг. ~~ ~(г„оо)(ис, „— исс) (!8) с-о при измельчении разбиения 1о 1! < ... (1,=1 4. 3 а д а ч а 5. Пусть предсказуемая случайная фУнкЦиЯ 1'(г,ос), !о ~с = г', ( оо, непРеРывна по с в среднем квадратическом. Докажите, что тогда шах л — ! В интегралыюй сумме (18) !'((з, ы) нельзя заменить на 1(зз, в), где з! — произвольная точка из отрезка (гз, 1зг!)! например, 1нэп. ~ гаг (в! — в! ) =(юг~ — вг~ )/2+(1,„— 1о)/2чь ~1!т.~ в! (м — ю ) Один из способов построения ступенчатых предсказуемых приближений к интегрируемой предсказуемой случайной функции дает следуюшая задача.
3 а д а ч а б. Пусть 1(1, ы), гш (О, со),— предсказуемая случайная функция, при почти всех ы принадлежашая 2л(0, оо), р ~ 1. Для Ь ) 0 определим случайную функцию ('(й в) равен!а стаом 1 (Г, ы)=-Н ~ 7(з, ы) Ез пра Ш((Ш, (1+1)й, (з-и Й 1 ~ 1 (если натеграл расходится, берем 1«(1, в) = О); при 0 ( Г ( Ь положим р(Г, ы) = О. Докажите, что 1«(б в) -«)(й в) при Ь) 0 в «Л(0, ао) при почти всех в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
