А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Покажем, как доказывается последнее. Берем сходягциеся к ! и д функции !" и д" вида (2) и (4); т!", = ~ !" (з)г(ю,, ~",= ~ д (з) г(ш,. ц и и с' Ясно, что ~ — ~ = ~; обозначим сейчас через 1 н н отображение, ставящее в соответствие функции ! ее интеграл от !' до !".
Согласно задаче ), достаточно 292 доказать, что СС(((С)((С)(Р,Р)-М() СР, )СР, )СС(Р,]. с' Нам известно, что эта формула выполнена для 7', й": М(7(С)7(С)(РА=М( ) С" (С, )С'(7, )77(Р ]. С' Чтобы осуществить предельный переход, сведем утверждение, касающееся условных математических ожиданий, к безусловным: дано, что для любого А ы У с ')!()")Х(С')Р(С ) ( )! (7, )С (С, )СС]Р(С ), (7) А А Ь С. требуется показать, что )7(С)С(С)Р(С )=)")С(С, )С(С, )СС] Р(С ).
(8) А А ЫС' Правая часть (8) отличается от правой части (7) не более чем на с" ~ ~ ! с () а" — а ( ссР ссс + $ $! я Ц )'" — (' ) а(Р ссс + А А С' С" + ~ ~ ( à — )' Ц а" — ьс ! (сР «с. (9) А Интегралы по А не превосходят интегралов по й, и выражение (9) не превосходит йц~пй" — д~~+~~йд)" — ~~~+~~~" — ~Ий"-д, ()о) что стремится к нулю при и — Р-со (1! !! — норма в А.з((~', с"]Х ьс); используется неравенство Коши — Буняковского). Левые части (7) и (8) различаются не более, чем на $ И)(7) И((а" — аН+) )МПт — )) ~+ А +11(à — )) Ц 1(я" — я)!) с(Р < =Л)ДИИ~((й" — й) ~~+~~7(йии((à — и+ +1~7(У" — С)ИУ(й" — Д)П ())) 293 В силу изометричности отображения выражение (11) равно (10) и стремится к нулю при и — ь оо.
Итак, предельный переход в (7) дает (8). Теорема доказана. Для многомерных стохастических интегралов выполняется то г г же, бикомпенсатор ~ ~~' (с (з, в) с(вз и ) ~ дс (з, в) с(в равен ( ьч с с, с-с тес 1 с г ~ сс'„1с(з в) ус(з в) сс с, с-с Утверждение п. 2б) предыдущего параграфа, касающееся значения цсс в марковский момент т, переносится на непрерывный вариант стохастического интеграла: если М ~ )) (з, со))т с(з < оо, то т),= о = ~ у,(з)1(э, в) с(цс,, где т),— результат подстановки о т = т (в) в непрерывный вариант стохастнческого с интеграла т)с= ~ 1(з, в) с(цс,: т)т=э(,, (в).
В частиосо ти, так как стохастический интеграл имеет нулевое среднее, то Мт),=О. (Более выразительно, но менее точно: М ~ ((з, в) с(пса=О.) е 2. При построении диффузий с помощью стохастическнх интегральных уравнений (й !2.5) нам понадобится выпускать траектории из разных точек фазового пространства и рассматривать стохастические интегралы от функций вида 1(х; з, в), При этом необходимо заботиться о техническом требовании измернмости по х. Измериьсость по (С, в) мы обеспечили применением измеримой операции перехода к пределу (6), выбрав быстро сходясцуюся последовательность .сн(, ).
Но для 1(х; з, в) в общем случае применить этот прием не удается, потому что мы не знаем, как выбрать последовательность 1" (х; я, в), сходящуюся быстро сразу при всех х. Эту техническую трудность мы преодолеваем для класса функций 1(и, ), удовлетворяющих некоторым ограничениям.
Т е о р е м а 2. Пусть 1(х; С, в) — функция на множестве Х Х (О, оз) Х (), измеримая относительно си Х этесс и такая, что 294 г М ~ ] Г(х; 1, в) [з д1 < го при любых х а Х, Т «оь, Пусть суо и(ествует функция К(х, Т) < го, к ~Х, Т «го, такая, что М[1(х! 1, в) — 1(х! з, в) [г~«К(х, Т)[1 — з[ при всех хгеХ; в, 1 « Т. Тогда суи!ествует вариант стокастичгского интеграла т! (х; 1, в) = ~ ] (х; з, в) бггг, о также измеримый относительно го Х Угей и непрерывный по 1 при почти всех ьз.
Доказательство. Для ступенчатых функций ]" гпХ Х аггее-измернмость и непрерывность по 1 функции гн(х; з, в) дв,=]" (»; го, в) (вг — вг ) +... о ... +]" (х; 1,, в) (вг — в, ),гг«1«1гг!, очевидны, Полагаем ]н (х; 1, в) =1 (х; [!Онг]г'10н, в), Ч (х; 1, в) = 1нп ~ 1" (х; г, в) бвг, если этот предел существует, и о ч(х; 1, в) = О в противном случае. При любом х с вероятностью 1 имеет место равномерная сходимость на любом конечном отрезке изменения 1. 2 12.3. Стохастические дифференциалы. Формула Ито 1.
Пусть гсг — одномерный винеровский процесс, У г — о-алгебры, связанные с ним так, как было сказано в предыдущем параграфе. Пусть сь 1) О,— предсказуемый при 1) О случайный процесс, принимающий значения в ()сг, Я!). Мы говорим, что этот процесс имеет стохастыческий дифференциал г[$г — — 1'(1, в) йог+д(1, в)г(1, если почти все траектории $г(в) непрерывны; гг(1, в), У(1, в), 1) О,— предсказуемые случайные функции, 1 — принадлежащая Хз((О, Т) Х ь1) прн любом конечном Т, и — интегрируемая в первой степени по любому конечному отрезку при почти всех в; почти наверное прн всех 1 с с 5 =5.+ ~1(~.
)д~,+) й(~, )д~. о о Теперь пусть даны г-мерный винеровский процесс тв, = (твг!, ..., тв!) и семейство о-алгебр 3'!1 определим, что значи~, что 1-мерный случайный процесс =(йг!, ..., Ц) (почти все реализации которого непре- рывны) имеет стохастический дифференциал е1з = ) (1, со) с(в! + д (1, ы) Ж, где ) (1, от), 1 > О, — предсказуемая матричная функция (1'(1, от)), !=1, ..., 1, 1=1, ..., и; д — векторная: у(1, ьт) =(д'(1, оз), ..., д (1, от)). Запись (!) в координатной форме: г дИ! = ~ )'(1, от)йо!!+йл(1, о!)е(1, !=1, ..., 1 (2) /=.! (обозначения, принятые при обращении с тензорами: индекс, встретившийся один раз внизу, один раз вверху, напоминает, что по нему надо провести суммирование).
По определению (1) или (2) означают, что г ! и! — «! 1 ~ ~~, )! (з со)д„,! 1 о 1=! о Формулировка иримера Зв) 5 12.! на язвив стохастическик дифференциалов: Л(ин)а = 2и!!и!и!+ Н, 2. Теорема 1. Пусть 1-мерный процесс $! имеет стохастический дифференциал (1) (в другой форме— (2)); Р(1, х), 1) О, хин)сг,— числовая функция, непрерывно дифференцируемая один раз по 1, два раза Вг по х', хг, причем частные производные; ограничены. Тогда случайный процесс Р(1,в!) также имеет стохастический дифференциал г Г и р,!1=у(2 — '", р, !1! с, )]н !ну=! !=1 н-[ — ";, !с !нн-2.— „'; а.
с)а'!с.)и!=! ! à — ",„', р.!)2 !!!с >!1!с !]нс !з! и=! 296 Вероятно, читатели несколько подавлены атой формулой. Покажем, из каких соображений можно прийти к ней. Это, помимо всего прочего, поможет читателю научитьпя самостоятельно выписывать зту формулу— и в общем виде, и в конкретных частных случаях, а также наметит путь доказательства. В стохастическом дифференциале есть члены (~ г(агг порядка (г(г) (пгггхг — агг нормально со средним 0 и стандартным отклонением и= ~/й) и члены д'Ж порядка Ж; вводить члены более высоких порядков, например (хО)г~г, бессмысленно: они все равно пропадут при интегрировании (интегральная сумма из слагаемых порядка (Л~)г~г с числом слагаемых порядка (Л~) — ' стремится к нулю).
Выпишем разложение Тейлора для Р(1+ гй, ягг.»г), причем будем брать члены разложения до тех пор, пока не пойдут члены порядка выше ггг. Дифференциал гладкой функции 6(г) имеет порядок Ж, так что для нахождения г(г(г', Ь(г) ) нужно брать разложение Тейлора только до членов первого порядка: следующие будут уже порядка (г(г)г. Для нахождения дифференциала г(Р(1, $г) нужно будет взять, кроме членов первого порядка, еще члены вида дг» 1 дгя дгг — г(вгг(х»', а членов — — (Ж)г, —.Жс$г и 2 дхг дхг 2 дР ' д1дхг членов разложения третьего порядка брать уже не нужно — они порядка (Ж)г~г или выше.
Записываем разложение; Р (~ + х(~, яг + г(яг) — г" (~, $,) = г дР В слагаемых —,ггя, 'приводим подобные члены с г(пг( и с хй. Далее преобразуем х(Ц г(Ц: г(Ц г(Ц = (~ )" х(нгхг + гг' гй) ( ~ )' х(ш, + дг Ж) = ~ ггХг дшг ~(ш» х»г (члены с дш~хй, (Ш)г отбрасываем как бесконечно малые по сравнению с хй). Произведение дифференциалов Ыюгг хйв'," имеет порядок Ш; но что с ним делать дальшег Вспомним, что дифференциалы нас интересуют только как то, что мы будем интегрировать.
Какие значения следует приписать интегралам г г ~)2 ~ 1 ~й « « Результаты пп. 2, 3 9 1.2 показывают, что первый интеграл следует положить равным 1 — з, а второй— нулю (это всего лишь наводящие соображения, но уже ясно, что при доказательстве нужно будет опираться на результаты пп. 2, 3 9 1.2). Итак,(сне) нужно заменить на Ш, а йи," йш'," при т Ф1 — на нуль. Получаем йз, 'йЦ = ~ )'„Ц й1; подставляя выражения для Щ,' и йв, 'йЦ в (4), получаем (3). Формулируем правило оперирования со стохастичсскими дифференциалами: чтобы найти йР(1, ~~), записываем разложение Тейлора для Р(1+ й1, сг+ йЦ) вблизи точки (1, 5~) до членов со вторыми производными; само собой, вычитаем из него Р(1, 9,).
Затем (Ж)2, й1йизь, йшейш, с й Ф т выбрасываем, а (йюе)2 заменяем на й1. Ну, еще стоит привести подобные члены. Формула (3) была получена К. Ито и называется его именем; оиа носит также название формулы замены переменных в стохастическом интеграле (потому что стохастические дифференциалы, по определению, — сокращенное выражение некоторых интегральных соотношений). Примеры рассмотрим после доказательства теоремы. 3. Доказательство теоремы 1 проведем в случае г = 1 = 1 просто из-за удобства обозначений. Дело в том, что мы будем рассматривать последовательности функций, сходящиеся к 1(и, ез), д(и, оз), и в многомерном случае нам пришлось бы пользоваться громоздкими обозначениями вроде )'ы~(и, оз), д'ы'(и, ез) ").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
