А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Пусть существует константа Е такая, что при любых х, у~((' (Ь'(х) — Ь((у)(, (о'(х) — о~(у)( 'Е(х — у(, (4) (, 1 = 1, ..., г. Из (4) вытекает, что Ь', о! растут на бесконечности не быстрее, чем (х(: для какого-то К ) 0 (Ь'(х)(, !о'(х)~~(К(1+(х)т)'(. (5) Т е о р е м а 1. Пусть выполнено условие (4).
Пусть случайная величина т) со значениями в (1(',Я') измерима относительно У, и интегрируема в квадрате; М( т) 1' ( . Тогда существует решение стохастического уравнения (1) при () з с начальным условием $а =т). При этом М)Р,, )в конечно и ограничено на любом конечном участке изменения Е Доказательство. Определим последовательные приближения формулой й(ю т) + ~ о (з(ч — и) а(и( 1 ~ Ь (е(л — (() а(и (б) а В качестве нулевого приближения возьмем Цн=т), ()з.
Докажем прежде всего, что все Цч>, (=»з, п= = 1, 2, ..., действительно определены. Задача 1. Пользуясь оценками (5), докажите, что если к((" ' ", 1 =» з, — предсказуемая функция и М(й((-в(в ограничено на любом конечном участке изменения 1, то Цю определено, предсказуемо, и М (Цл'('в ограничено на любом конечном отрезке. 307 Теперь оценим М[в<"+о — 5">[в При в=О М[а>п цо>[з М[ц>п с с 2 = М ~ а (т>) «(«в„+ ~ Ь (т>) ь«и 3 З 2 2 (2М«[> «>М~ >] ->2М~[>Ь'Щ~ ] Первое математическое ожидание равно Е М (и,'(ч))'(« — з) ~ «%'М (1+ ! ц !з)(« — з); «« второе— ~ М (Ь' (»))' (« — з)' ( «К'М (1 + ~ т> >>) (Š— з)'. « Итак, М [х>п х>0>[г(2й.аМ(> ( ~ »(>)(г2(«з) ( г(( з)~) (7) Теперь при п О М[В; — Ц [=М ~[.Р„~)-.(Р„.— 1] ( „+ + ~ [Ь(я>„">) — Ь(В>„" и)] «>«и ( 5 ! .-2~~ ~ М [о«Я>о) о«(-м-п)]2оц+ ««5 ->2~и()р «>„> — п«>Г- >>~,].
>я> Используем условие Липшица: [Ь'(~.") — Ь Р„"-»)], [ «(Д„.) — .Р— )[~ ( ) ] ~>в> ~>п — >> [ Первый интеграл в правой части (8) не превосходит А~ ~ М ]в>„'о — $>„"-п[2о«и; для оценки второго интеграла зов пользуемся неравенством Коши — Буняковского: т г м([!ага 1 — ь'В: 11~ ) ( с (М 1 [,Ь'~<„"1) — Ь'Д~~-~)1гс(и. (! — з) ~ г < Лг (! — з) ~ М ! Р~ — 9'„"- '> /г с/и. 5 Отсюда М [ "(л-ь в ~м) (г ~ т (2/г(тг+ т(! з)) ~ М)$< ) м-о!гни, (9) Из (У) и (9) находим следующую оценку: М [р! гп>1г.-- < 2/.г(тг+ г (! — з)) 2КгМ (1+ ! т1)г) Х Х $ [гг(и — з) + г(и — з)г! с/и.
с Здесь (гг+ т (! — з)) ~ [т'(и — з) + г (и — з)г[ с/и = (г'+ + г (! — з)) [г' (! — з)'/2 + г (Š— з)г/3) " [гг (! — з) + + г(! — з)г)г/2. Ясно, что при интегрировании здесь каждый раз будет появляться множитель 1/(и-[-1). По индукции получаем М ~ Цм+в ьгм) (г ( 2КгМ (! + [т1 [г)(2/г)" [г'(! — з) + г(! — з)г[" ~'/(и+!)!. Расстояние в пространстве Ег(1г) между 9~,"+и и В<,"> не превосходит сопз! -(Е.
(/2 1/тг(! — з)+ г(У вЂ” з) ) /~/(п+ 1)1; ряд из этих расстояний сходится. Отсюда немедленно получаем сходимость последовательности ~~"' в среднем квадратическом, причем равномерную в любом 309 конечном отрезке изменения 1. Более того, Цю(ес) при почти всех ес сходится равномерно на любом отрезке (г, Т1.
Действительно, Р ( ~,„ах с$сл+сс ~й)~ -~ 1с2~11 е ,~с~т Первая вероятность оценивается с помощью неравенства Колмогорова (ведь стохастический интеграл— мартингал); она не превосходит т тсТ з ~ М ~ ~сссс — Г(л- с) (е с1и . (2"+ с)с сс сс 5 Вторая вероятность оценивается с помощью неравен- ства Чебышева: она не больше т т (~ссс" С вЂ” ьСс — С/с )сст"~< 5 т 2 (м((~ьСс С вЂ” ьв.-'~с ~с ) сс"'с( 5 Так как факториалы стремятся к бесконечности чрезвычайно быстро, то ряд из вероятностей (10) сходится: по лемме Бореля — Кантелли щах ~ асс" +сс— с~с(т — Ц">~ < 1/2", начиная с некоторого и, и с вероятностью 1 существует равномерный по любому конечному отрезку предел цс =!'пп всс"'.
(Для порядка, если предел не существует, положим яс равным, скажем, т1.) Этот предел имеет место также (Р шах (сссст + Р гпах 1г<с~т (всс"с- сс'-"ссс(Ссе С вЂ” се -"ССс )сСс"'ф. СссС 5 т е-.т1У~ М (вс„"' — $с" сс)'с(и(Т вЂ” з) . 4"+'. н в среднем квадратическом равномерно по любому конечному отрезку.
Реализации случайной функции $с с яероятностью 1 непрерывны; она предсказуема при 1) э как предел предсказуемых сл!асчайных функций; $, = ть так как Ц"с=т! при всех п. Докажем, что $с — решение уравнения (1) (оно же (3) ). Для этого перейдем к пределу в формуле (6). Левая часть сходится к ~с! интегралы в правой части сходятся в среднем квадратическом к соответствующим интегралам с яс вместо есс"с: 2 ~ оЯа!) 2ю — ~ в( ) с(ис 5 ~ М [о'(6<„"!) — о,'($„)[а с!и ~( сС а (г'Е.а ~ М (Вс„"! — К„(ас!и- О, 5 с с 2 М 1ЬЮди — ()Ьтс(и 5 а ( Б М [Ь с 6с„"!) — Ьс Рла с(и (! — 5) - О- с В Получаем $с — — т1+ ~ о Я„) с(ш„+ ~ Ь ($„) с1и. а 5 Теорема доказана.
3 а д а ч а 2. Докажете оценку: м 1 $ с 1' ( 2!а! 1! + 1 ч 1'1 Х Х 1! + (К/С.)' екр (4Ь' (сс (С вЂ” а) + с (С вЂ” а)'1)1. 2. Теорема 2. Если вьтолнено условие (4), то решение уравнения (1) с начальным условием я =т! единственно с точностью до эквивалентности. Доказательство. Сначала докажем, что если $с и Ц вЂ” решения (!), $,=я,'=т1, и М($с(а, М1$с[а ограничены на любом конечном отрезке, то при !~)з 3!! почти наверное $',=$г Имеем Ц; — Б,=~ ~~(й'„) — о(Б„)1дш„+ ~ [б|'„) — б(й„)1«., 5 5 и М ! еь' — ть, )~ «»2У.т(ге+ г(т — з)) ~ М ! с' — $ (те(и, М (Ц вЂ” Ь, ('» М ~'„' — ь„~'Х тмим 1 Х (2(.' [гт (1 — з) + г (1 — з)т[)и(п1. Так как и произвольно, получаем М [с', — с, ~' = О Теперь пусть й,, Ц, 1-«з, — произвольные решении (1), $, = $„'=ть Введем марковские моменты т ° = = ппп [1 ~ [з, оо): ~ и, ~ + [Ц ~ = Рт); из непрерывности реализаний ь,, с', вытекает, что почти наверное т —. оо при ту" — ьсо.
Имеем почти наверное с ь, =т1+1о(Ь„)У-, (и) Ъ„+1Ь(ь„)Х ( ) Я 5 й', л, —— т1+ ~ в Я) ум, (и) д „+ ~ Ь (~'„) Хм, (и) ди. 3 ад а ч а 3. Докажите, что при всех Ж, и М ~ Ц, — ~,, ~' » «Лl'(2Л' [г'(1 — ) + (1 — )и])")и); выведите отсюда, что $, =ь, почти наверное. 3 ад ач а 4. !1усть $~ — решение (1) с начальным условием Ф т / 3 = Ч, р~ — с начальным условием В = Ч . Докажите, что М [ 1~ — Б~ [ «» ЗМ) Ч' - Ч ! екр (ЗЬ [с (1 — л) + с 11 — л) )).
3. Теорема 3. Пусть выполнено условие (4). Тогда суи4ествует функция $~(х; ш) от У и= [О,,с ), х еи я К ш е= ьг со значениями в тс' такая, что а) функция Ь(х; ш) на множестве тт'Х [О, оо)Х ьг измерима по (х,1,ш) относительно о-алгебры Я'Х Х Ягес(1 б) при фиксированном х 5~(х; ш)', ~ ) О, является решением уравнения ()) с начальным условием $о(х; ш) = х. 312 Дока за тельство. То, что решение уравнения (1) с начальным условием $а = х существует, нам уже известно; нужно только доказать, что решение можно выбрать определенным регулярным, измеримым образом. Для этого достаточно проследить, чтобы все предельные переходы, осуществляемые при доказательстве, проделывалнсь каким-то одним, регулярным способом.
Часть этой работы мы уже проделали в ф 12.2 (теорема 2). 11рименим эту теорему к нашим последовательным приближениям. Нулевое приближение Цм(х; е) = =х обладает нужными свойствами измеримости. Если Ц"'(х; в) обладает этими свойствами, то они переходят к о[ (~',"'(х; в)) и Ь'(~',"'(х; е)). Условие М / о,'. ($',"'(х; в)) — о! Я~,"~(х; в)) !-' ~(К(х, Т)~1 — 3 ~ при хе= )с', з, 1( Т вытекает из условия Липшица: это математическое ожидание не превосходит Т2М ~ Рл)(х е) Рю(х щ) ~а ( (21.п ~ ~ М [а! ($ы п(х," м))~~~1и+ и + 2Т.' ~ ~~ М [Ь' ($~„"г'и(х; в))[ес1и(1 — з) ! 5 (2Т~(г'+гТ]К'[1+ гпах М!з~" и(х; а)Ц(1 — з) о<имг (счнтаем з(1; при и=О эта выкладка не нужна).
Из теоремы 2 ~ 12.2 вытекает, что существует вариант стохастического интеграла ~ о (~~„"'(х; е)) йа„, о обладающий нужными свойствами измеримости. Измеримость относительно Я'Х.У'геН лебегова интеграла ~ Ь(~~„"'(х; м)) с~и о 313 вытекает из его непрерывности по верхнему пределу и измеримости функции под знаком интеграла. Итак, с й>и+Н(Х; О>) =Х+ $ О(й>л>(Х; Ш)) С(ГП + ~ Ь(й>н>(Х; Ю)) ди о а обладает нужными свойствами измеримости. Полагая й>(х; ю) =!пп й>>">(х; ю), если этот предел л-э существует, и, скажем, $г(х; ш)= х в противном случае, получаем искомый вариант решения стохастического уравнения. 4.
3 а м е ч а н и и. Метод последовательных приближений— не единственный л>етод, применимый к стохастическим уравнениим; результаты, касающиеся существования, единственности, оценок решений, можно получать другими методами, при других препположениих относительно коэффициентов. Полученные рез>льтаты без изменений переноситси на случай, когда размерности винеровского процесса ш~ и решения 1~ не совпадают (матрица а' в этом случае не квадратная).
$12.5. Диффузии, задаваемые стохастическими уравнениями 1. Пусть шг =(шг>, ..., и>,') — и-мерный винеровский процесс, выходящий из нуля. Основное вероятностное пространство будем обозначать (ьа, У, Р); Рис. ЗО пусть о-алгебра У порождается винеровским процессом: У =У п>~о. Положим 3. >=У,, ->, обозначения У ~>, У ~> зарезервируем для о-алгебр того процесса, который мы построим при помощи стохастических уравнений. Предположим, что каждому вен ьа и й ) О соотВетствует грьш ~ Ьа такое, что Ф>(грьш) = — н»+л(03)— — ша(ш) при 1) О (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
