А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Пусть Р— замкнутое множество, о(х) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная в некотором открытом множестве, содержим(ем Р (не предполагается, что функция о или ее производнвге ограничены), Если о(х) > О, Ео(х) ( — с < О в Р, то М„т <с 'о(х). Доказательство. Введем компакты Рн = РЛ [)(х: [х~ = гт!); тл — моменты выхода из Рж Ясно, что тнут при Лг- оо.
Изменим функцию о вне Рл так, чтобы она осталась гладкой, но сделалась финитной. Оператор Š— локальныи, так что Ео(х) в Рл останется прежним. Ло микротеореме ! М,тн ~ (с 'о (х) при хенРч; отсюда М,т= )нп М„тн(с 'о(х) для всех х ~ Р. Лриведем конкретные примеры применения доказанных микротеорем. М и к рот еорем а 2.
Пусть множество Р расположено в пределах полосы (х: [х'[()т); пусть коэффициент диффузии вдоль первой координаты а" (х) не меньше ао > О при х е Р, а коэффициент переноса (з!(х) не превосходит по модулю константы В. Тогда М„т конечно и ограничено в Р. Доказательство. Лоложим о(х)=сЬС)т— — сЬ Сх', где С вЂ” константа (а сй — гиперболический косинус). Функция о(х) неотрицательна в Р; найдем 327 Е.о (х): г.'з Во (х) = — — ап (х) с)1 Сх' — СЬ ' (х) з)1 Сх'. 2 Положим С = 4В/ао тогда будет с' с е.о(х)«~ 2 аос)1СХ + 4 воз)1С) х ) ~« с Св 4 о 4 « — — аос)1Сх' « — — ао.
Отсюда по микротеореме 1' М„т« — 'С, ( ВСŠ— 1) «ВВ хр(4В)С)',). о,С Второе применение — к задаче 4» $ 12.1: рассматриваются двумерный диффузионный процесс с производящим онератором 1 дз д — — — Р = ((х, д): 1 х)( Ьц/А+ у ), и функция 2 дхз ду' о(х у) = Ь'(А + у) — х' 2. Перейдем теперь к задаче Дирихле. Будем говорить, что Р— замкнутая область, если множество Р замкнуто, множество его внутренних точек связно и любая точка Р— предельная для внутренних точск (М и р а ид а, 1957, гл. 1, 9 1).
Границу дР области будем называть гладкой, если в окрестности любой своей точки она представляется уравнением х'=1(хя, ..., х'), или хв=)(х',ха, ... ..., х'), ..., или х' =1(х', ..., х' — '), где 1 — трижды непрерывно дифферснцируемая функция. Имеет место следующая теорема существования и единственности (М и р а н д а, 1957, гл. Ъ', $ 36, теорема 36.1); если Р— компактная область с гладкой границей; коэффициенты оператора В непрерывно дифференцируемьц причем матрица (ау(х) ) строго положительно определена; функция у, заданная в Р, непрерывно дифференцируема, а функция ф, заданная на дР, трижды непрерывно дифференцируема, то существует (причем единственное) решение задачи Дирихле Ео (х) = — д(х), х е= Р; (5) о(х)=ф(х), хендР, (6) 'дважды непрерывно дифференцируемое в Р вплоть до границы, Теоремы, касающиеся возможности гладкого продолжения функции за пределы замкнутой области, где она определена (М и р а н д а (1957, гл.
11„$1б) ), дают нам возможность утверждать, что решение о(х) при выполнении указанных выше условий может быть продолжено до дважды непрерывно дифференцируемой функции в открытом множестве, содержащем Р. Ми кро теор ем а 3. Пусть коэффициенты диффузии и переноса диффузии (5о Р„) непрерывно дифференцируемы, матрица диффузии невырождена; пусть Р— компактная область с гладкой границей„и пусть в Р задана непрерьино дифференцируемая функция й', а на границе дР этой области — трижды непрерывно дифференцируемая функция ор.
Тогда о — единственное решение задачи (5) — (б). До к а з а т ел ь с та о. Решение задачи Дирихле, как уже было сказано, существует; нужно доказать только, что оно есть среднее от указанного функционала от траектории $ь Продолжим функцию о на все пространство дважды непрерывно дифференцируемым образом, сделав ее финитиой. Определим случайную функцию по формулой (2); тогда имеет место формула (4). Переходим в этой формуле к пределу при Т-, учитывая, что случайная величина под знаком М, мажорируется случайной величиной 1(о~~+ +Ки~~т (математическое ожидание которой конечно по микротеореме 2): Микротеорема доказана. Частные случаи: и(х) = = М,ф Я,) удовлетворяет уравнению 1.и = 0 с граничным условием и ~оп —— ~р; о(х) = М„~ а(в,) аз — уравнео иию Си = — д с нулевым условием на границе; гп(х) = = М„т — уравнению ным условием.
Егн = — 1 с нулевым гранич- 3. 3 а д а ч а 4. Пусть (юг, Р„) — семейства одномерных винеровских процессов, т — момент первого выхода ю~ из отрезка [с, д). Докажите, что Рх (ют = а) = (х — с)((д — с); Мхт = = (д — х) (х — с) для х ~ (с, д). 3 а д а ч а 5. Для произвольной одномерной диффузии с коэффициентами диффузии а(х) ) 0 и переноса Ь(х) найдите вероятность того, что процесс выйдет из отрезка (с, д( ~ роз праный конец.
3 ада ч а 6. Пусть (юг, Р„) — семейство двумерных винеровских процессов, О. кольцо между двумя окружностями д~ = (х: (х) = г) и дз =- (х: (х( = 7(), т — момент ныхада из О. Докажите, что Р„(юг щд) =(!и)7 — 1и (х ()((1п )7 — (п г). Предельным переходом при А со получите отсюда вероятность когда-либо достичь ди предельным псреходоч прн г ( Π— вероятность достижения точки О. 3 а д а ч а 7. Найдите те же вероятности для трекмерного винеровского процесса. Из результата задачи 6 можно вывести, что траектория двумерного винеравского процесса с вероятностью ! рано или поздно проходит сколь угодно близко к любой точке плоскости; это же будет справедливо для любого невырожденного диффузионного процесса, для которого суп!естнует функция и, удовлетворяющая уравнению ьи = 0 вне некоторого компакта и такая, что и(х) -» со при !х( -» со.
Из результата задачи 7 ныводится, что (ач( †» со при 1 оз (почти наверное); мы уже получили зто с помощью супермартингалов (задача 2 6 7.4) 3 ад а ч а 8. Найдите математическое ожидание времени выхода г-мерного винеровского процесса из ~пара (х: (х( ( )7). 3 а д а ч а 9». Найдите математическое ожидание времени выхода двумерного винеровского процесса из угла ~ (х, у)г( у ~ ( а ) (х 1и — !. 3 а д а ч а 10*.
Конечно ли математическое ожидание времени выхода трехмерного винеровского процесса из актанта ((х', х', х»): х' > О, х» > О, хз > 0)7 4. Йзвестио (Ми р аида, 1957, гл. 1, 6 !0), что решение задачи Дирихле (5) — (6) может быть записано в виде дО о (х) = ~ О (х, у) д (у) ду+ ~ (х, у) ф (у) дау, для о оо дО где Π— функция Грина для задачи Дирихле, — — ее произдлу водная по внутренней нормали в точке у границы, до, означает интегрирование по поверхностной мере на дВ Каков вероятностный смысл этой формулы? т Первый интеграл есть М» ~ у ($г) ди отсюда можно вывести, о что математичесное ожидание времени, проведенного процессом в множестве Гы0 да момента т, равно ~ 0(х, у) Иу. Второй г интеграл равен Мхф (вт); отсюда получаем, что случайная точка имеет плотность распределения относительно поверхностной дб меры на дР, равную — (х, у) (х — точка, из которой начидиу нается процесс, у — точка, в которой берется плотность) 3 а д а ч а 1!е.
Пусть ш~ — двумерный винеравскнй процесс; О = ((х', х'): х' ) О). Докажите, что распределение значения вт пеоной координаты в момент выхода из 0 задается плот! пастью р,,„,(у) =и 'хз)((хз)з+(у — х')') ((х', х') — точка, нз которой начинается процесс). 5. Для замкнутой области с гладкой границей момент т выхода из области совпадает с моментом то первого достижения границы (он же — момент первого выхода из внутренности замкнутой области). Действительно, то — марковский момент (задача 3 66.!). Продолжим решение т(х) задачи Ет = = — 1, т )оп — — 0 на дополнение Р и применим формулу (7) к функции т и марковскому моменту та. Получим т(х) = М то. В то же нремя т(х)=М„т, т. е, М,(т — то)=0. Но та(~т для всех ы, поэтому почти наверное то — — т.
6. Диалоги задач 3, 7 6 !3.1. 3 а д а ч а 12. Пусть (вь Рх) — произвольная феллеровская диффузия, 0 — произвольное замкнутое множество. Если и — дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная в некотором открытом множестве, содержащем О, неотрицательная в О, 1.и = 0 в О, и(х) = ф(х) на дР, то Мхф(вт) ~(и (х) (если т =ты вместо ф(йт) берем 0). Если о — дважды непрерывно дифференцируемое в открытом множестве, содержащем О, и неотрицательное в 0 решение уравнения ) о = — у в О, у ) О, то Мх ~ д ($з) дз ( о (х).
о 3 ад ач а 13*. Пусть 0 = ((х', х'): х' ) 0). Найдите наименыпее неотрицательное решение задачи Ли = 0 в О, и(х', 0) = = 1/(! + (х')') на дР. Укажите бесконечное число других неотрицательных решений. 7. Раз речь уже зашла о неограниченных областях, читателю предлагается решить необязательную задачу.
3 ад а ч а 14*. Докажите следующую теорему типа Фрагмена — Линделефа для гармонических функций (о теоремах этога типа см. Е. М. Л а н д и с. Уравнения второго повадка эллиптического и параболического типов, — Мл Наука, 1971, гл. 1, 5 6): если и(х, у) — непрерывная функция в угле 0 = ((х, у): )у) ( (х16 а/2), гармоническая внутри угла и равная нулю на стон/уз ранах, и если и (х, у) =а ((.Угхз+ у') / при .~/хз+ уз -ь са, где () > а, та и (х, у) = 0 Указание. Положим Р =О() ((х, у): ~/хз+ уз ()7); — первый момент выхода двумерного винеровскаго процесса Я 331 псс из (За.
Функция з'чн — аналитическая в угле рб Йе(к+ + су) Р— гармоническая функция в том же угле. Пользуясь этим, пср выведите оценку Р„в ( ~ ы ! = се) <(.угла+ ух) с ~(йнср сов (на/(2р))). Далее использУйте фоРмУлУ и (х, У) = Мх, у" (гвт ) тл) В. У нас есть три способа использования марковских моментов: равенства, связанные с мартингалами, стохастические интегралы и строго марковское свойство. В этом параграфе мы показали, как применяются два первых способа; интересные результаты можно получить и при помощи строго марковского свойства.
Э а д а ч а 15*. Пусть (ыс, Р„) — семейство винеровскнх процессов, (З вЂ” произвольное замкнутое множество, à — борелевское подмножество его гранины. Докажите, что р (х) = Р„(аст си Г)— гармоническая функция внутри ст 9. Какой вид принимают результаты п. 2 для вырожденных диффузий и параболических уравнений? Рассмотрим только случай диффузии с производящим ! дз. д оператором — — + —., т. е. двумерной диффузии 2 дх' ду,' (свс, т( =т)а+1). Пусть 0 — замкнутая область вида ((х,у): О = < у < Т, (с(у) < х < 1з(у)), где )с и )з — трижды непрерывно дифференцируемые функции (рис.
33). Рис. ЗЗ Теорема существования и единственности (Ф р идм ан, 1968, гл. 111, 9 3), Пусть в криволинейном четырехугольнике 0 задана непрерывно дифференцируемая функция д(х, у), на боковых сторонах — триждьс непрерывно дифференцируемые функции срс(у) и фз(у), на верхнем основании — трижды непрерьсвно дифференцируемая функция цс(х), причем выполняются условия согласования: грс(Т)+ + — р" (сс(Т)) + д((с(Т), Т) =О, с'=1, 2. Тогда суще- ствует единственное решение о(х, у), (х, у) ~ П, урав- нения до 1 д'о д (х, у)+ й д, (х, у)= — у(х, у), (х, у)~Р, (8) удовлетворяющее на боковых сторонах и на верхнем основании условиям о()';(у), у)=ф,(у), 1=1, 2; о(х, Т)=ф(х), (9) (! О) причем это решение дважды непрерывно дифференцируемо вплоть до границы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
