А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 55
Текст из файла (страница 55)
«) Впрочем, доказательство со всеми формулами годится и ы1 де в многомерном случае, если понимать под Ы, я ", — векторы, дх ю д«Р а под й 1«'~, — матрицы м множить ик в нужном порядке, дхз транспонируя то, что следует. Итак, требуется доказать, что Р (1, 5,) — Р(з, $,) = ~ — (и, $„))(и, в) Ъ„+ (5) (из предположений теоремы вытекает, что стохастический интеграл имеет смысл). Возьмем последовательность ступенчатых функций р«~ о=х,о(усев), сходящихся к ) в этом пространстве, и последовательность ступенчатых предсказуемых йн«~(и, в), сходягцнхся при почти каждом в к и(и, в) в среднем в первой степени на отрезке (О, г) (как это можно сделать, показано в задаче 6 9 12.1).
Положим Кв' = К + $ ~<«'(и, в) ~Хи + ~ йв~ (и в) г(и. о о Задача 1. Докажите, что Ц«', О(а~1, равномерно сходится к $, по вероятности в том смысле, что для любого е ) 0 Р ( шах ~ $~,"' — в ! ) е) -+ 0 (и — оо). о<«~г Отсюда вытекает, что достаточно доказать (5) лишь для ступенчатых функций. Действительно, пусть доказано, что с р(1, фв)) р(,, $в)) = ~ " (и ура)) )ч«)(и в),1„ + ~ ~ д~ (и, Ц,">) + д (и й1«)) ~(«) (и в) + + 2 дк~ (и, ь'"') г'"'(и, в)'1«и. (6) При п- о левая часть (6) сходится по вероятности к левой части (5).
Стохастический интеграл в правой 299 части — тоже, и даже в среднем квадратическом. Действительно, М~ ) — (и ~(л)) ~~л)(и в)г(в Г дл 8 Ф вЂ” ~ — (и, $„))(и, в)Нсо„~ = = ~ М ! — (и, В~„"') ~в>(и, а) — — (и, К„)1(и, в)~ г(и. (7) Среднее под знаком интеграла здесь не превосходит 2М ~ — (и, Ц~л>) ! ~ ('л>(и, в) — 1'(и, а) 1л+ + 2М ! — (и, ~~„"~) — — (и, $„) ! ~1(и, в) 1'. Первое математическое ожидание пе превосходит Ф сопя( ° М! )чв(и, в) — 1(и, в) Г, и интеграл ~ от него 5 стремится к нулю. Во втором математическом ожидании первый сомножитель сходится к нулю по вероятности, и оно стремится к нулю для всех и, для которых случайная величина сопз1.1((и, в) ~з, мажорирующая всю последовательность, имеет конечное среднее, т.
е. для почти всех и. Интеграл от з до 1 также стремится к нулю по теореме о мажорируемом предельном переходе. Итак, выражение (7) стремится к нулю прн л- о, Что касается обычного, не стохастического интеграла в правой части (6), то он сходится к соответствующему интегралу в (5) по вероятности; но мы не будем доказывать в точности это, а покажем, что некоторая подпоследовательность этих интегралов с номерами лл- о будет сходиться с вероятностью 1.
Последовательность лл мы выберем так, чтобы ~ 1( л)(и, в) — 1(и, в)~ пи — л 0 не только в среднем, но о и с вероятностью 1 и чтобы 51'ь)-ь$„равномерно по и - Г также с вероятностью ! (для этого достаточно ЗОО выбрать ил так, чтобы ~' Р ( »пах )$("л) — $„~) 1/2 ) < А 0<и<» < оо). Функции й("л)(и, о») с вероятностью 1 сходятся в среднем в первой степени к д(и, от) уже по нашему первоначальному предположению. При этом с вероятностью 1 функция под знаком не стохастического интеграла в (6) с номером пл сходится в среднем при и -о к такой же функции в (5), а из этого вытекает сходимость интегралов.
Раз левые и правые части (6) с номерами пл сходятся по вероятности к левой и правой частям (5), то из (6) получаем, что почти наверное выполнено (5). Итак, будем доказывать (5) для ступенчатых 1, »г. Достаточно доказать эту формулу для одной ступеньки, т. е. для случая, когда !(и,а») = — т»(от), д(и,о») =— — = ь(от) при з < и < 1, т! и ь измеримы относительно У о М !»»1» < о . Требуется доказать, что почти наверное г" (», $») — г" (з, $,) = ~ — (и, $„) т!»(ш„+ 1 д»Л + ) 1 д» (и, Э„)+ д (и, ~„)~+ о д~д (и, $„)т»1»(и. (8) 5 Функция под знаком стохастического интеграла с вероятностью 1 непрерывна по и, а значит, и непрерывна в среднем квадратическом (так как она мажорируется случайной величиной сопз1 )т!!енх.х(л))); поэтому « вЂ” » д (и' х")т»»(ш"=!"'ш'Х д (!' ~»»)т»(~»»+» ш4 дл дн »са (9) при измельчении разбиения з = », < !» «...
!» < <! = й Из сходимости в среднел» в (9) вытекает сходимость по вероятности (мы заранее переходим к «об»дему знаменателю», потому что из лебеговского интеграла появится сходимость с вероятностью 1). и-» Представляем»о(», $») — г(з, я,) в виде ~, (г" (1„», »-о 301 $!.~.) — Р(~т, $т,)); требуется доказать, что хотя бы для какой-то последовательности измельчающихся разбиений л †! ! гп(Р)~ ~й((„ь ~, ) и(ть т,) т=о ( '(+ т)! а д! ( ь)~и+ Г ан 5 ь„)Гт(и + от — —;(и, а„) !!то~и; (10) Г ! атл 5 — д„(~т, в !)ч дР + ~ — (и 5 тогда (8) будет доказано. (Мы могли бы вынести ~, т!о из-под знаков интеграла, но нам это не нужно.) Воспользуемся, как мы наметили, разложением Тейлора Г(~т,!, йтт+!) =Р(~! Вт!)+ д! (Гт, Ктт,!) (~т,! — Г!)+ дх т " тЛ '!+! т!) + + — —,„, (~о Ей) (Вй„— ви)'- л — 1 т-о + ах ( ! "-' ) ~ ( т" ') + ал +- — т(«, Йт!)(Ч'(ютт„— ~т!) + +2Ч~(те!то! ит!)(!!! ')+ь ('~' л — ! о — ! Здесьсуммы~ — (тт,Кто~!)(~т+! — Г!) ~~' а, (~! тт!))~ дн дг т о т-о Здесь т! — точка между 1! и 1т„, $т, — между 5! и $т! з Вспоминая, что в„=в,+ т)(в„— тв) + ь(и — з) .
— вт, = т~ (ю!.. — тай) + Г(1! ! — 1!), приводим левую часть (!О) к виду р, Цсс+,— сс) с вероятностью 1 сходятся к з! — (и, $„)Ии, Г дЕ с дР д (и, $„) ьс(и, хотя первая из них — не интегральная сумма (используем то, что ступенчатые функции дЕ со значением — (сс, $с..) при ие=(гс, !с~,] сходятся !дл к ' —,(и, а,) равномерно по и от з до г). Суммы, содержащие (сасс,, — щ,,) (!се, — 1с), (Сс, — сс)', стремятся к нулю при измельчении разбиения; например, первая из них: ! о — с „~т '," оо ь)С,„, —,,Со„,— ч!( с=о ~ доР (! с1~! гпах ~ — о(и, х) ~ щах ! в ис !(1 я) сх!~ -(!о! о — й< ь если гпах(йы — й) ( й; и зто выражение стремится к нулю при Ь вЂ” 0 в силу равномерной непрерывности в, з~и(й Остается доказать, что для какой-то последовательности разбиений и-1 д, (Сс, Ис)(сасс с — щ,,)' — ~ —,(и, Ь„) ' .
(!1) с. о Возьмем разбиения, осуществляемые точками вида с/2'" (с — целые), где т = 1 для первого разбиения, т = 2 для второго и т. д. Для простоты предположим, что з и 1 двоично-рациональные (ясно, что достаточно доказать все только для отрезков с двоично рациональными концами). Согласно задаче 2 2 1.2, ломаные о-с ......---- ---(с-. т.
С-ц,п,.— с-о — „,с) ~ ~ о о по и ен (з, 1). Сумма в (1!) — не что иное, как 6 (и, в)с(а (и, в), где 6 (и, в)= д, (г/2, физв) з при !/2'" ( и «(!+ 1)/2'". Сходимость (11) с вероятностью 1 получается из задачи 2 $1.2 и следующей задачи. 3 а д а ч а 2. Пусть а~(и) — последовательность монотонных функций, сходящаяся к и равномерно по и еи (з,1), 6 (и) — последовательность функций, сходяп1аяся равномерно к непрерывной функции 6(и).
1 ! Тогда ~ 6 (и)с(а (и) — ~ 6(и)с(и прн т-эоо, Теорема доказана (в одномерном случае). Единственное, чем нужно дополнить доказательство в многомерном случае,— зто проверить, что при А~т 6„(и, в) с(а~'"(и, в)-+ О (и — оо), где а~ (и, в) — ломаная с вершинами в точках Мы можем нс приводить отдельного доказательства, а применить тот же прием, что прн решении задачи 5 з 1.2: представить а„"в виде а~ (и, в) = ! 1 =а (и, в) — — а~'(и, в) — — а в(и, в), где а~~, а„ л 2 о 2 о Л а„— ломаные, построенные по суммам квадратов приращений винеровских процессов !е~, ш„и Й„= = (!в„+ !е„')/.у!2. 4.
Теорема Г. Результат теоремы 1 сохраняется, дс если даже частные производные — не ограничены, дк! но с 2 М~ ) ~~ —,(и, $„))!(и, в) Ни < оо, о 1-! б) За кача 3. Докажите, что если (ш,(.э((0, Т! ХИ, Угег(, пса Х Р), то т т и ~[[~|,, )~,— — '[~о, ) о)!кк чо о 3 а д а ч а 4. Докажите, что если при этом ! ! (С и) ! ( С < оо, о *. - [[~о.
)~.,— — [~о, > 2 о о 6. Мы рассматривали стохастическне дифференциалы для (~ [О, о ). Совершенно так же мы можем рассматривать случайные функции, обладающие стохастическим дифференциалом лишь при ! ~ [з, со) или при ! ~ [)и (а]. й ! 2.4. Решение стохастических уравнений методом последовательных приближений !. Пусть в пространстве )сг заданы две (измери мые) функции: а(х), значения которой — квадратные матрицы порядка г; о(х) = (о,'.
(х)), и г-мерная векторная функция Ь(х)=(Ь1(х), ..., Ь'(х)). Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение а$, = о (~с) г(гв, + Ь ($~) й, ! ) з, (!) илн, в координатах, — систему уравнений с(Ц = Х а' ($,) аъ[+ Ь' (в,) Ж, 1 ((( г. (2) ! Напомним, что уравнение (!) по определению означает, что функция ~ь () з, предсказуема и почти наверное ~,=~,+~ а„) Ъ„+~Ьа„)б.
(3) Ясно, что правильная постановка задачи решения стохастических уравнений должна включать еще задание начальньах условий. 300 Мы применим к решению стохастических уравнений метод последовательных приближений. От коэффициентов мы потребуем, чтобы они удовлетворяли условию Липшица. Естественно, если не накладывать на коэффициенты п(х), Ь(х) никаких ограничений, нельзя утверждать ни существования, ни единственности решения. Здесь та же ситуация, что длн обыкновенных дифференциальных уравнений, и ясно почему: ведь при и = о (1) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
