А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего, оценки (5) обеспечивают возможность производить дифференцирование под знаком интеграла в формуле Р')(х) = ~ р((, х, у)((у)г(у, еl где 7' — произвольная ограниченная измеримая функ- ция, обращающаяся в нуль вне некоторого компакта: дР'((х) ( др(и х, у) д( 3 д( яг др ((х) ( др(Ц х, у) дх' 3 дхГ' г дР((х) ~ д рп,х,у) (7) дх~ дх( -) дх' дх( еГ При этом в силу требований, наложенных на плот- ность, полученные функции при любом фиксированном г) 0 будут убывать на бесконечности ие медленнее, чем сопз( ~у(х),'а значит, Р') будет принадлежать Вл. 272 Теперь возьмем в качестве 1 функцию из С~о~„; она будет принадлежать Ол, а для таких функций ди'1(х) = АР'~(х) (формула (4) $ 10.1).
По условию теоремы применить оператор А к функции Ру", убывающей вместе с производными с указанной скоростью иа бесконечности,— это все равно, что применить оператор Е; пользуясь формулами (7), переписываем это уравнение в таком виде: дз Г ) 1(у)г(у= — / ан(х) ~,.' ',. 1(у)с(у+ яl а + ~ Ь'(х) ~ ~ ',' ~ 1(у)а(у, Е дс или д( 2 2.~ ( ) дхь дх~ а и — 2 ь (и "" *, "']~(д~зт=о. Функция в квадратных скобках непрерывна по у; раз интеграл от ее произведения на любую финитную гладкую функцию равен нулю, то сама функция тождественно равна нулю.
Теорема доказана. Условия теоремы 2 можно привести к более естественному виду, если решить следуюшую задачу. 3 а и а ч а К Пусть козффициенты оператора Е удовлетворяют условиим Ь'(х)<р(х), ал(х)ф(х) -~0 при )х) — ь. со. Тогда из того, что все фиинтвые дважды непрерывно дифференцируемые функции принадлежат области определения инфинитезимального оператора, причем для ннк Л) = Ц, вытекает, что то же выполняется для дважды непрерывно дифференцируемых функций й удовлетворяюпьнх такому условию: й д)/дх', да)/дх'дх(= 0(ф(х)) при )х) — с .
4. Теорема 2 — перевод на язык дифференциальных уравнений общего соотношения из теории полу- групп гуР'~/М=АРТ'; следующая теорема выводится из соотношения ((Р'Цг(г = АРт(. Введем ограничения на коэффициенты ай, Ь'. пусть функции ао(х) дважды, а Ь'(х) один раз непрерывно дифференцируемы (ограниченность производных не 273 предполагается).
Тогда для дифференциального оператора определен (на гладких функциях) формально сопряженный оператор с.д(х)= — ~' (, (а' (х)д(х)) — ~~~~ —,. (Ь'(х)у(х)). Ц Т е о р е м а 3. Пусть (~ь, Р,) — диффузионный процесс с производящим оператором Е. Предположим, что плотность вероятностей перехода обладает непрерывными частными производными первого порядка по ( и первых двух порядков по у', у). Тогда переходная плотность удовлетворяет такому уравнению: д(, 2 дуь ду( — (ац(у) р((, х, у))— (! — ~ —,.
(Ь((у)р((, х, у)), (8) дуь др ((, х, у) 7( = ~~р((, х я"" у) — ) ац (у) 7 (у), + 2 дуь ду )-р(ь, . Ыть (р) ьь",.'~рь. дуь Разобьем интеграл в правой части иа гх интегралов со вторыми частными произвольными и г интегралов с первыми и в каждом из этих интегралов произведем интегрирование по частям. Для финитной функции 7 внеинтегральные члены пропадут, и получим [ ' '*'" — ( — С, ( к(ь)р(ь.*.ь))— др(цх,у) Р! дь д( ( 2 ду' ду( Ц вЂ” т — ', (ь (ь)р(р. *, ы))1((ырь-ь.
дуь 274 или — = ("р. др д( у Доказательство. Пусть |е-=Се~„„. Тогда) енйл, и, =Р'А)(х)=Р'Ц(х). Записывая это через др~) (х) плотность и ее частную производную по г, получаем Это означает, что функция в квадратных скобках тож- дественно равна нулю. Г! р и м е р. Для процесса п. 2а) — = — ! а — — Ьу —— др ! Г дар др д! 2Г др дд — Ьр~. др Налагая — = О, из (8) получаем уравнение для плотности д! инвариантной меры относительно меры Лебега: Е р = О. в 3 а да ч а 2.
Найдите инвариантную меру для процесса п. 2а) при Ь(0. др(а, х, б у) 1 ~т ! дар(а, л, (, р) + ь,г ~~~~ ~Ь! (з ) дд (в ." ! Р) дх' (9) и уравнение (8) — вид — (а" (Г, у) р(з, х, Г, у))— д! 2, ду ду! !! — — (Ь'(Г, у) р(з, х, (, у)). (10) ду' Первое из этих уравнений связано с дифференцированием по левому концу временнбго промежутка, второе — по правому. С точки зрения теории дифференциальных уравнений уравнение (9) означает, что плотность вероятностей перехода есть фундаментальное решение парабо- 225 б.
Уравнение (б) называется обратным уравнением Колмогорова, (8) — прямым уравнением Колмогорова, или уравнением Фоккера — Планка. Поясним, с чем связаны названия обратное и прямое уравнения. Для неоднородного по времени процесса (1ь Р,,) можно доказать аналоги теорем этого параграфа, в которых будут участвовать локальные средние Ь'(з,х) и локальные ковариации а!Г(з, х), зависящие от времени. (При доказательстве можно использовать сведение неоднородных марковских семейств к однородным — см, конец ~ 8.4.) Уравнение (6) в этом случае принимает вид лического уравнения Действительно, фундаментальным решением называется как раз функция р(з, х,г, у), з ( (, х, у ~ Яг, удовлетворяющая при каждом фиксированном у уравнению (9) и требованию регулярности того типа, что наложили мы (условия (5) н пр.), н стремящаяся к б(у — х) при з(( (что можно сформулировать так: ~ р(з, х, (, у)('(у)гту- 7(х) при з'(( для любой (' из Сф,„).
Иначе говоря, прн помощи этой функции представляется в виде и(з, х) = ~ р(з, х, (, у)г'(у) г(у а ( (, единственное ограниченное решение задачи Коши для рассматриваемого параболического уравнения с «конечным» условием и((- †,х) = )(х) (мы говорим не о начальном условии, потому что дл уравнение нида — +Ли=О решается «вниз», в отдв ди личие от уравнения вида —. = Ли; ср. 5 8.3, и. 7).
да Уравнение (10) означает, что переходная плотность является также фундаментальным решением до уравнения — = Л и. В теории дифференциальных ьп уравнений тот факт, что одна и та же функция р(з, х, (, у) при изменении роли ее аргументов служит фундаментальным решением двух сопряженных друг другу параболических уравнений, хорошо известен. 3 а л а ч а Зь. для гауссовского процесса Л(Г), О = ( ( ), с нулевым средним и корреляционной фуннцией а гт, ( — аГ докажите, что он марковсний; найдите соответствуюсцую переходную функцию; иайдитс локальные среднее и дисперсию Ь(а,х), а(а, х); выпишите дифференциальный оператор ь, связааный с процессом (перекодная плотность будет удовлетворять обратному и прямому уравнениям с оператором Д и сопряженныь1 ему). Глава 12 СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ й 12.1. Стохастические интегралы от случайных функций 1. Пусть на вероятностном пространстве (И, У, Р) задано неубывающее семейство о-алгебр У г — У, 1) 1а, и винеровский процесс пгг, 1) 1о, согласованный с семейством У г и такой, что приращения ю„— гег после момента 1 независимы от о-алгебры У'г.
(Иначе говоря, пгг — винеровский процесс, для которого выполняется марковское свойство относительно семейства о-алгебр У б см. 5 8.5, и. 1.) В качестве а-алгебр У х можно взять о-алгебры У = У х -г илн У х+, порожденные самим винеровскнм процессом; но для некоторых целей можно использовать другой выбор этих о-алгебр.
Например, о-алгебра У г мажет порождаться произвольной случайной величиной Ч и не зависящем от нее вннеровским процессом: У г =- а(гп ам з ( х] Другой пример: гаг --одна из компонент многомерного винеровского процесса, а о-алгебра У"~ порождаетси всеми его компонентамн вплоть до момента й Пусть 1тхх ) уа', допускается 1тхх =+ос. Мы определим стохастический интеграл ахах т'(1") = ~ 1" (С оз)гугв, для случайных функций 1(С со), 1о <1(~1,х, предсказуемых относительно семейства о-алгебр У г и ге ах таких, что М ~ 11(1, оз) 1зЖ < с; иначе говоря, для функций у е= Ха((уа, 1,ах„) л, ь1, Уггес(, гнев р( Р) (при 1,к= оп принимаем, что (1а, оо) — то же самое, что (го оо)). 271 Для этого мы воспользуемся уже готовой конструкцией стохастического интеграла ~ ((х) в(йх) относительно случайной меры с иекоррелированными значениями вместе с продолжением $ с полукольца— см.
теоремы 1, Р ф 2.2; но сделаем это не так, как мы определяли интеграл относительно винеровского процесса от неслучайной функции (см. $ 2.2), а хитрее. В качестве Х возьмем (йь 1 „]Х ы; в качестве о-алгебры ео на этом пространстве — о-алгебру Угед; мера т — прямое произведение глез Х Р меры Лебега и вероятности Р.
Рассмотрим систему М подмножеств пространства (йь 1 „]Х й, состоящую нз всех множеств вида (1, У]Х В, где 1,(~(У(1 ... У(оэ, а В ~ У ь Легко доказать, что М вЂ” полукольцо. Действительно, пересечение множеств из .Ф имеет вид ф, У] Х В) Д((з, з'] ХС) =(~ 'ч' з, У l~ э'] Х(ВДС), причем из того, что В ~ У о С е= У „вытекает В, С АУ, у, и В() СНУ,ч,. Теперь пусть имеется два непустых множества из,яг, одно нз которых является частью другого (1, У]ХВл(в,з']Х С; отсюда вытекает, что 1 ( з < з' ~ 1', В =~ С. Разность этих множеств имеет вид ф, У] Х В) '~ ((з, з'] Х С) = =К в]ХВ)Ц((., ']Х(В .С))()((", У]ХВ), где все три слагаемых не пересекаются и принадлежат .4 (потому что В ен У ь откуда также В я У „ Се=У, и В~,С я У,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
