А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Имеем ьФо )! 'Ь '(Р"( — )) — Р'А))!= =~!Р'Ь '(Р") — () — АЛ~!» «)!Ь '(Р") — )) — А))~=О (Ь ~ О). Чтобы доказать (4), нам остается проверить, что н левая производная от Р'! равна тому же выражению. Имеем )~( — Ь)-'(Р' "~ — Ю вЂ” Р'ММ с-а( )-~ (( и)) Р~ — ь4)(~+ ~~ ~ -ь ) Р~А(1 Первая норма не превосходит !!Ь вЂ” '(Рз! — !) — ЛЛ вЂ” ьО (Ь40), вторая стремится к нулю потому, что Л(~ Во.
Если Р'! обозначить через н,, то для п~ получаем днфференНн пнальное уравнение з — лн с начальным успеваем ич = Ь Частный случай этого, прн надлежащем изменении обозначеннй, — уравнение (1О) с граничными условиями (11) нз примера и. 7 5 В.З. Переводя (4) в интегральную форму, получаем Р ) = ) + ~ ЛР'~ Нз = ~ + ~ РзА) с(з. (5) 5. Для полугрупп на В, связанных с марковскими семействами, имеет место очень важный 'Принцип максимума. Если функция (' имеет абсолютный максимум в точке х (т, е, Ях) ) у(у) для всех у е= Х) и ( е= (лл, то А((х) = О.
245 Доказательство. Имеем М„у($с) =1(х), А) (х) = !нп ! ' (М„~ ($с) — ~ (х)) ( О. с+а 3 в да ч в 7. Для того чтобы полугруппв сжимающих линессных операторов Р' нв В удовлетворяла условию Р'1 = 1, необходимо и достаточно, чтобы 1 са !Зю А! = О. 6. Важный класс примеров полугрупп на произвольном банаховом пространстве Е задается формулой Р =е ' =Е+!А+ ! А сс2+ ... + 1"А"!и!+ ..., (6) где Л вЂ” опредеяснный всюду на Е ограниченный линейный оператор. Сходимость в (6) можно понимать не только как сильную сходимость — сходимость в применении к любому ! е:- Е, но и как сходимость в смысле операторной нормы; она обеспечнваетсн тем, что члены ряда мажорируются по норме членами сходЯщегосЯ числового РЯда 2 (!!)Л!!) ссп!.
ПолУгРУп. повое свойство сводится к тому, что есссзсл = е"е"', и легко проверяется (вообще ельв = елен, если операторы А и Е коммутируют). То, что у полугруппы (в действительности даже группы) е'л инфинитезимальным оператором будет именно А, проверяется так: l! г (е ! — 1) — А) )! = =!(1Л О2+ ... +!" Л !/п!+ ...!(я ~ (1!! А !! !! !' !У2 + ... + !" !! Л !!" !! ! !!1и! + ... ( ( 1!! Л !!'!! сс !! (1 + 1!! А !!+ (1 !! Л !!)'+... ) = =1!! Л !!'!!! !((! — 1!! А !!) — О (1,) О). При помощи формулы е'" была получена матрица с' — 1 !Х задачи 1 2 8.1; матрица А=( ) была подо- 2 — 2) брана так, чтобы выполнялся принцип максимума и А! =О.
7. Для полугруппы Р', действующей нв меры (точнее, счетновддитивные функции множества), мы также можем рассматривать инфинитезнмвльный оператор (его можно обозначать той же буквой А, но писать ее справа от обозначения меры): рА= !'ю С (рР— р) сьа 246 в смысле сходимости по вариации; его область определения будем обозначать л0. Из (иь Р'1) = (рР', 1) следует, что дли 1 я 0ю Ие л0 (р, А() =(иА, 1). 2 10.2. Резольвента. Теорема Хилле — йосида 1.
Резвольвентой полугруппы операторов Р' называется семейство операторов )хгх, определяемых фор- мулой КЛ= ~ е хгРЧй( о Это — преобразование 7!апласа полугруппы. Уточним это определение. Интеграл (1) можно определить для полугруппы в произвольном банаховом пространстве, но мы для простоты ограничимся случаем пространства В. Пусть (йь О:=:7 < оо; Р„) — марковское семейство, причем процесс йг прогрессивно измерим относительно семейства о-алгебр 9 гиг. Тогда функция Рг((х) измерима по (1, х) для любой функции )я= В (см. 2 8.5, п. 2). Р!олагаем для )е= В, хе Х )7~~(х) =- ~ е -хгР'~(х) Ж о (2) Здесь интеграл сходится, во всяком случае, при Л ) О (в этой книге мы не будем рассматривать резольвенту при комплексных Л); сходимость вытекает из )Р')(х) ((~Я.
Функция )хгх)' измерима (теорема Фубини) и ограничена: ~Яф!( Л вЂ” '~ф~, т. е. Рх) ~ В. Ясно, что 1(х, Л ) О,— линейныс операторы, оии ограничены: ЫД(Л вЂ” '. Семейство операторов 1(х называется резольеентой полугруппы Р' (или соответствующего марковского семейства).
247 Это епхе не вполне значит, что оператор А, действующий на меры,— сопряженный к опера~ору А, действующему на функции. 3 а д а ч а а*. Пусть из того, что (рь !) = (рг, В для всех 1 ге но, вытекает рг = рз. докажите, что р щ х0 тогла и только тогла, когда существует т, принадлежапгее пространству ро сильной непрерывности полугруппы, действующей на меры, такое, что <р, А)> = (т, 0 длп всех ! щ 0ж при этом рА =- т.
(То есть оператор А, действующий на меры, — оператор, сопряженный к опера~ору, действующему на функции, суженный ло оператора в пространстве хго.) При любом х функция 1(»1(х) является преобразованием Лапласа от числовой функции Р')(х), е:-(О, оо).
Знание )сх)(х) при всех ),) О позволяет восстановить функцию Р'1(х), 1) О, с точностью до функции, отличной от нуля лишь на множестве значений 1 лебеговой меры О (см. Колмогоров и Фом и н, 1968 (гл. ьг1П, 9 6, также 9 3, 4) ). Если (е= Во, то функция Р'1(х) непрерывна по 1, и она восстанавливается по А»1(х), ) ) О, в точности однозначно. Это означает, что по резольвенте )сх однозначно восстанавливается полугруппа Р' на пространстве В, ее сильной непрерывности. Пусть пространство Во содержит достаточно много функций — настолько много, что из (ч,))=О для всех )с=Во вытекает ч =О; например, в случае, когда фазовое пространство (Х, У') — о-компактное метрическое пространство с о-алгеброй Я» его борелевских подмножеств в качестве зс, достаточно, чтобы В, = С или даже Во=»С„,„.
Тогда по резоловенте однозначно восстанавливается переходная функция, а значит, и все конечномерные распределения марковского семейства. Задача !. докажите, что из равномерной стохастической непрерывности марковского семейства (см. $9.(, п. 2) вытекает в лС„„. 2. Йайдем резольвеиту для семейства одномерных винеровскнх процессов: 1 1 ~ 1 «,1 о где плотность р (б к, у) = (2я!) из е' !" "! нзг!. Воснользовав.
шись справочником интегралов (например, И. М. Р ы ж и к и И. О. Градш тейп «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений» (Мз Физматгиз, !962)), найдем е — м (2нс) — Пз е — (д — «! /зг,(! — ъ зх ! У вЂ” к ! о Чг2)« Итак, й 1(х) = ~ е ~ ~ '" ' Е (д) еу. ч(2)« 248 3. Пользуясь теоремой Фубини и полугрупповым свойством, доказываем: Р Касс (х) = КЛР сс (х) = ~ е Р ~ сг (х) с11.= о =е ~ е 'Р'1(х) дз, (4) К„йх)=(р — Л) ЯЛ1 — Кк1), Л, р > О, р ыь Л.
(5) В частности, опеРатоРы Р", )сх, йск пеРестановочны. Формула (5) называется резольвентным уравнением; ее можно переписать в виде схксхх = схлс(и = = ()с — Л) "а ()хх — сх' к) . Резольвентное уравнение дает возможность установить, что область значений оператора )сх одна и та же при всех Х ) О: КхВ = )хс„В. Вообще говоря, не любую функцию из В можно представить в виде Рх1"; но если мы ес представили в таком виде, то она также представляется в виде схп!1 + ()с — Л) хх1) Задача 2.
Докажите, что )с В': — В„. 3 а да ч а 3. Докажите, что для любого 1 сы Вс (6) 1'пп ЛЯЛ1. х-+ Раз преобразование Лапласа однозначно задает Р'1, все свойства Р' должны найти отражение в свойствах тх . Тому, что 11 Р' 11 < 1, отвечает () Н ((~(Л '; из того, что Р' сохраняет положительность, вытекает, что и операторы Сс сохраняют полол '"л жительность: й 1~)0 для 1 > 6. Полутрупповому свойств) Рсь'= ух = Р'!" соответстнует резольвентное уравнение; (6) отвечает свой- Л( ству Р' = Г (точнее, тому, что с4а па Р'1 = В1 = 1). В и В У 4.
Оказывается, опера- Рис. 29 тор )хсх, если его рассматривать только на В,, является обратным к оператору ХŠ— А, определенному на йл. Иначе говоря, эти операторы осуществляют обратные друг к другу взаимно однозначные отображения В, на 0л и обратно (рис. 29). 249 Нужно доказать, что для уя В, функция гЦе= Рл и (кŠ— А)К4=~ и что для ~~Рл будет )тх().!— — А))=(. Достаточно, конечно, рассмотреть А)сх( и )схА(. Для ) я= Во в силу формулы (4) АЩ = !пп Ь ')Р"Рх( — Щ1 = лФо =!!пой е ! е Р)д! — ! е-ыРг)д! аоо вычитая и прибавляя ~ е-хгР'~а), получаем, что Айл1 = — ) + Мх1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
