А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(ср. задачи 17, 18 0<а< г ч 5 3). В частности, из формулы (1!) при Г=( — оо, а) получаем Р„(т(г) =Р„(т(г', щ, е— : ( — оо, а)) + + Р„(т(г', иг с (и, с )) =2Р,(цгг ~(и, с )) = 3 -Ч~йпс = 2 1 е" 'и хнцап ду = 2 (1 — Ф ((и — х)1 ~71 )1. (Ср. найденное распределение с оценкой задачи 6 2 7.3.) Дифференцируя функцию распределения, получаем плотность распределения случайной величины 3 а д а ч а К Пусть (юг Р ) — семейство винеровских процессов, выходягних из всех точек прямой; т — первый момент, когда ю~ достигает нуля.
Положим ю, = — ю при Г < т, юг —— О в о о пйи г ~ )т (иначе: юг —— мг л т); ато винеРовсквй пРоцесс, остановленный в момент первого достижения нуля. Докажите, что (: . и,; Р„, х ~А' „) — марковское семейство; найдите переходную о функцию 5. Теперь рассмотрим пример марковского, но не строго марковского семейства. Ясно, что это будет не цепь Маркова и не феллеровское семейство; в частности, вряд ли какой-либо нз приведенных ранее примеров. Пусть (гпг, г'.-вО; Рх) — семейство винеровских процессов, выходящих из каждой точки прямой. Изменим это семейство в одной точке следующим образом: по- 224 ложим Ь = юь если юа М О, и 5 = — О, если юа — — 0; пример траектории, выходящей не из нуля, и траектории, выходящей из нуля, представлен на рис. 25. Рис. 25 Семейство ($ь !)О; Р,) будет марковским с переходной функцией ~ е '" "им' Ыу, х ~ О, м ! р (! х !') — Ъ 2п! ба (Г), х = О.
Действительно, эта функция измерима и всем хороша; нужно доказать, что для 1, й > О, А с=9 мо Ге=Я' при любом хе- :!х' Рк(А П (1,,а е=: Г)) = ~ Р(6, 8ь Г) Рх(йй). (12) Но если х ФО, то с вероятностью 1 Ь = шб вероятностная мера Р„слева и справа та же, что для винеровского процесса, выхолив!его из точки х. При этом Р,($, =О) = Р„(ю, =О) =О, и функция под знаком интеграла совпадает с соответствующей переходной вероятностью для винеровского процесса при значении второго аргумента, не равном нулю, т. е.
почти всюду. Итак, в этом случае (!2) сводится к марковскому свойству для винеровского процесса. Если же х=О, то здесь все будет так же, как у марковского процесса, состоящего в стоянии на месте; а именно, если А содержит элементарное событие, для которого юа = 0 (и значит, 8~ = — 0), а Г ~ О, то обе части (12) равны единице, в противном случае — нулю. В то же время семейство ~~ не будет строго марковским: взяв хэви 0 и подставив в (3) т= а!и(1: $~= =0), а) = (1 — т) ~/О, А = (т ( 1), Г=Л' '~ (0), 228 8 А.
д. Вентцеаь получим слева Р„(г < 1, $,ФО) =Р„(г ~(1) = =2(1 — Ф() х()] ) О, а справа нуль. Траектории $~ непрерывны, так что мы можем быть уверены, что зто семейство не феллеровское; и действительно, соответствуюшаи полугруппа переводит непрерывные функции, вообще говоря, в разрывные (рис. 26). Рнс.
26 Разумеется, можно привести примеры, когда строгой марковостн нет из-за нарушения условия измеримости а) . "таков, например, процесс с независимыми значениями из задачи 4 $2Л; но такие теоретико-множествеюсяе тонкости н уродства неинтересны. 6. Выведем форму строго марковского свойства, которая будет касаться не событий, состоящих в попадании процесса в какой-то один момент в какое-то множество, а произвольных событий из о-алгебры 9 ма (ср. формулы (!7) э 8.2, (3) 8 8.4). Прежде всего для строго марковского семейства процессов ~~ введем операторы сдвига О„О, иа случайное время. Пусть т=к(ш)-- случайный момент, измеримый относительно У~е, принимающий значения из множества Т()(оо): В пространстве ь) определены операторы 06 1~ Т, вообще говоря, не однозначные, а ставящие в соответствие одному элементарному событию ш целое множество элементарных событий О~ш.
Оператор Й, мы определили как оператор, ставящий в соответствие элементарному событию пз элементарные события О„ш =Он„зш. Иначе говоря, О,со — результат подстановки в (неоднозначную) функцию Окн вместо первого ее аргумента функции от второго, а именно т(ш). Аргумент 1 в Онв должен принимать только конечные значения, а т может равняться бесконечности, в этом случае О,ш не определено, потому что не определено 0 вк Это означает, что оператор О, определен, вообще говоря, не на всем Й, а только на той его части 11„ где т ( оо. Множество 1)т оператор О, отображает, 226 в (2 (совсем не обязательно, чтобы все О,ю или хотя бы одно нз этих элементарных событий принадлежали ьл,), Итак, для ю ен ь), определяется множество элементарных событий О,ю, для каждого из которых К, (Отю) — = эт+г(ю). Теперь для событий А епУ гас определим О, А как прообраз при отображении О,: О, А составим из тех элементарных событий оз, для которых хотя бы один из элементов В,ю~ А (можно доказать, что прн этом автоматически все О,в~А).
Оператор О, отображает любое событие из и-алгебры У<а обязательно в какое-то подмножество ()„докажем, что это будет также событие из У'>о. Легко видеть, что все события А, для которых это так, образуют о-алгебру; поэтому достаточно проверить сохранение нзмеримости лишь для событий Д~Г), порождающих о алгебру Угле. Но О, (вя))= = Д,эт е= Г), и измеримость этого множества вытекает из того, что случайная функция й~ прогрессивно измерима. Далее, для Угла-измеримой функции т) =т)(ю) на (а определяется Отт) = т) (Отю) — функция, определенная всюду на множестве ь)т.
Доказывается, что значение т) одно и то же для всех элементарных событий Втю (см. э" 3.2, п. 3) и что полученная функция У ~о-измерима. Рассмотрим примеры. Пусть т — момент первого дсстижения процессом множества Г ~ Х: т =!п((Г: $, ~ Г). Здесь Гз» состоит из тех элементарных событий, для которых траектория вообще когда-либо достигает Г. Сделаем чертеж для случая, когда $~ — процесс с непрерывными траекториями на прямой, а мвожсство à — отрезок Рис.
27 (рис. 27). Изобразим сдвиг траектории. (Для траектории, начинающейся в пределах отрезка Г, т = О, так что сдниг траектории совпадает с ней самой; на рис. 27 изображен случай асаф Г.) 227 Форма строго марковского свойства, используюшая операторы сдвига, запишется так; для любого марковского момента т, любого события А е= 9 „ А с-гй„любого события В е:— У >о при любом х АХ Р„(АЕ, 'В) = ~ Рг (В) Р„(йо). А (13) Иначе это можно записать так; (14) почти наверное (Р„) на множестве (т < со); в форме с математическими ожиданиями: (15) почти наверное (Р„) на том же множестве или (16) МЛЕ,71 = МДМй,з1, где $ и т1 — ограниченные случайные величины, й— равная нулю вне множества ьа, и В'т-измеримая на этом множестве, а т1 — У,-измеримая.
Строго марковское свойство (13) выводится из строго марковского свойства (3) или (6) с з1=й= = — сопз( так же, как выводится марковское свойство в форме (17) э 8.2: сначала для событий В вида В=($, ~Гп..., й, ~Г„'), 0<г',<...<1„, а затем распространяется на все В ~Вг>о, причем измернмость Р, (В) по д, которая здесь сушественна, уже не нужно Для события А=(в, > О) прообраз выразится так: О 'А = = (т < со, $ > О). Мы видели, что для события В= (1ип й =О) любой его сдвиг Оа В совпадал с пим самим.
Но О В = = (т < со, 1нп вг =О), что, вообще говоря, будет лишь частью г.+ события В. Еще пример: если С=(Цте Г), то 6 'С = (т < оо, ф Г), что в данном случае является невозможным событием. Таким образом, может быть А Ф О, 6 'А = Я. В качестве примеров действия оператора От на функции рассмотрим О,т, что в данном случае равно нулю на всем множестве опрепеления, т.е. на Мт, Отн = Ч вЂ” т на Рв где и — первый момент достижения верхнего конца отрезка (см. рис. 27). Если же мы рассмотрим случайный момент р первого достижения какой-либо точки а Ф Г, то О,Р равно Р— т только в том случае, если траектория прежде достигает Г„ чем точки а.
И т. д. доказывать заново. Мы не будем проводить доказательства. Строго марковское свойство в форме ((3) — ()6) можно интерпретировать так: поведение процесса после марковского момента т при условии, что фиксировано течение процесса до момента т, †так же, как если бы процесс был с самого начала выпущен из точки й,. 7. В качестве применения даетсн Задача 2. Пусть (йгг=о,1,2,..3 Р ) — цепь Маркова на фазоном пространстне (Х, Ф). Пусть У вЂ” зс"-измеримое непустое подмножество Х.
Обозначим через т и-й момент времени, не считая нулевого, когда $, ы У; если $~ побывало н множестие У менее чем и раз при 1 ) О, полагаем т„= со. Для тех элементарных событий, для которых й«ее У, определим новую случайную последовательность Ч„, и = О, 1, 2, ...: Чю = ь«' Чл = = йтз, если г ( со, и т), =- * (дополнительное состоЯние), если т„= ««. Те элементарные события, для которых $« ~ У„выбросим; зато добавим еще одно элементарное событии ыч, причем положим т)„(ыэ) = *, п = О, 1, 2, ...
Положим Р„(ы,) =О, х св гы У; Р. (ыч) =1. Докажите, что (Ч„, и=о, 1, 2, ...; Рк, х си ~н У () (*)) — марковская цепь на фазовом пространстве (У() () (э), Ж(У() (ч))), где Ж(У()(*)) — наименьшая а-алгебра, содержащая все зсз-измеримые подмножества У и одноточечное множество (*). Смысл этой формально изложенной конструкции таков: мы наблюдаем за цепью $, только в то время, которое она проводит в множестве У, и это снова получается цепь Маркова (она может вместо У попадать в дополнительное состояние *, если возвращение в множество У происходит с нероятностью, меньшей 1).
Длн доказательства стоит сначала выписать переходную функцию. 3 а д а ч а 3'. Пусть юп 1 ) О, — одномерный винеровский процесс, выходящий нз нуля; обозначим через. т, момент первого достижения процессом точки а. Докажите, что т„а ) О,— процесс с незанисимыми прирагцениями. Найдите соответствующую характеристическую функцию. $8.6.
Стационарные марковские процессы 1. Найдем условия, при которых марковский процесс будет стационарным. Прежде всего, ясно, что стационарные марковские процессы могут обладать только однородныжи переходными функциями (ведь стационарность — это однородность по времени). Далее, введем определение. Инвариантмой мерой, соответствующей однородной переходной функции (или инвариантной мерой однородного марковского семейства)„называется мера р. 229 на фазовом пространстве (Х, гб ), удовлетворяющая условию р(Г)= ~ )ь(г(х)Р((, х, Г), 1~>0, Ге=)ю. (1) Можно рассматривать как конечные инвариантные меры, так и меры, принимающие также значение +со Для конечной меры условие (1) в наших обозначениях (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
