А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Вытекает лн нз условий задачи 4, что т(х) н я !.1 независимы? Глава 1О ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 5 10.1. Инфинитезимальный оператор полугруппы 1. Мы уже говорили Я 8.1, п. Зг)), что типичной для марковских процессов является такая ситуация, когда мы знаем переходные вероятности за малый промежуток времени М с точностюо до о(А1), и что этого при известных условиях регулярности достаточно для того, чтобы восстановить всю переходную функцию. В этом параграфе мы введем инфинитезимальный оператор — как раз такую характеристику, которая задает полугруппу операторов, связанную с марковским семейством, с точностью до бесконечно малых выше первого порядка.
Что она однозначно определяет переходную функцию, мы увидим в Э !0.2. Инфинитезимальный оператор определяегся для любых полугрупп (также и групп) линейных операторов в банаховом пространстве, независимо от того, связаны они с марковскими процессами или нет. Пусть в банаховом пространстве Е задана полу- группа ограниченных линейных операторов Р', 0 ( =1<во Р =Е. В отличие от операторов Р', инфинитезимальный оператор (мы будем обозначать его А) будет определен, вообще говоря, не всюду на Е, а только на некотором его подмножестве Ол, и это не будет ограниченный линейный оператор.
По определению (~ 0л, если существует !пп1 (Р1 — 1) в смысле сходимости соо по норме; этот предел и есть по определению значение оператора А на элементе 1: А~ = ! пп 1 ' (Р ( — (). с+о Иначе говоря, А! — правая производная от Рс! в нуле: Ас'= — „1 Р'(!с о. 240 Разумеется, область определения А, Ол — линейное подпространство (хотя, вообще говоря, незамкнутое), а А — линейный оператор. 2. Рассмотрим примеры (связанные с марковскими процессами). Инфинитезимальный оператор полу- группы Рс), связанной с марковским семейством, будем называть инфинитезимальньсм оператором марковского семейства.
Если вспомнить, какую норму мы рассматриваем в пространстве В, определение АЕ можно переписать в виде АЕ(х) =)пп( '(Р 1" (х) — 1'(х)) =!пи ( (М,Е" (йс) — 1(х)), сьо сев причем )' принадлежит области определения 0л, если этот предел равномерсн по х. а) С детерминированным процессом движения вправо с единичной скоростью на првмой связана полугруппа сдвигов: Рс)(х) = )(х-1-1). Имеем Л) (х) = Нгп1 (1(х+1) — Е (х)) = . (1) д )(х) с+о ах Однако не нужно забывать, что это правая производная должна существовать равномерно по х. 3 а д а ч а 1. Из того, что предел (1) существует равномерно по х, вытекает равномерная непрерывность функции й Докажите. Более того, функции 1-'()(х+1) — Е(х)), стало быть, тоже ограничены н равномерно непрерывны, а значит, и их равномера~) (х) ный предел ограничен и равномерно непрерывен.
Отдх сюда вытекает, что функция 1 дифференцируема не только справа, но и слева. Окончательно получаем, что Есх состоит из тех и только тех функций й которые ограничены н равномерно непрерывны вместе с первой производной: )см Ср и Л)(х) для них равно Р(х). и! б) Рассмотрим еще один детерминированный процесс — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ехс — = Ь (х ) в г-мерном простравстве. Не будем здесь находить дс в точности область Етх определения инфинитезнмального оператора: заранее ограничимси непрерывно дифференцируемыми финит- ными функциями ((щ Слепя).
Длн таких функций при 1) 0 и! ) (хС (х)) = ) (х+Ь (х) 1+о (1)) = 1' (х) + ~ (х) Ь' (х) 1+ о (Е) д!' дх с ! равномерно по х, так что )~м(З, и ЛЕ(х) =~ Ьс(х) —.(Х). д! л' дх! ! ! 241 в) 3 ад а ч а 2. Найдите инфипитезимальный оператор (матрицу) для полугруппы задачи 1 з 8.1. г) Для марковского семейства со счетным множеством состояний с траекториями, непрерывными справа, сушествуют Х(1) гц [О, оо), пь такие, что Р; [т(1) (1, К 1и — — /) = !1 = [1 — е х1г1г] ч; (см. задачи 4, б* з 9.2). По ним можно построить (бесконечную в случае бесконечного счетного фазового пространства) матрицу (ач): ан = Х(1)по при 1 чь й ан = Л(1).
Если знр л (1) < «о, то /Зх совпадает со всем В (пространством ограниченных последовательностей), и инфинитезимальный оператор задается матрицей (ач): А/(1) = ~ аг /(/) (2) ! (докажите) Если зпрк (1) = оь, то сумма (2) для некоторых /шВ не! ограничена. В случае ограниченности Х(1) (или, что то же, ач) можно доказать, что данной ма~рице соответствует единственное марковское семейство (единственное в смысле конечномерных распределений). В случае неограниченных ан и это может быть не так. Это будет для тех марковских семейств, которые могут за конечное время совершить бесконечное число перескоков из состояния в состояние, проходя через бесконечное число различных состояний (непрерывность справа этому не препятствует).
Связано это с тем, что матрица (ан] определяет поведение цепи прн перескоках нз состояния в состояния (йь =1, 8~=~ге =/), а информация о том, что с ней делается после «ухода на бесконечностьь (когда Кь. не существует), в матрице (аь) не содержится. 3 ад а ч а 3*. Приведите пример двух марковских семейств со счетным множествам состояний с разными конечномерными распределениями, с одной и той же матрицей (ач): а„= — 1з, аь ью = Р (остальные нули).
д) 3 а д а ч а 4". Для полугруппы, связанной с г-мерным винеровским процессом, докажите, что множество Ср „всех функ- 121 ций /, ограниченных и равномерно непрерывных вместе с производными первых двух порядков, содержится в /)ю и для таких 1 функций А/= — й/ (б — оператор Лапласа). 2 е) 3 а д а ч а 5*. Докажите, что для семейства процессов Коши, т.
е. для марковского семейства с перехбдными плотностями р(1, х, у) = и Ч/(гз+ (у — х)з), инфинитезимальный оператор определен на всех функциях из С „н (на не только на (21 них), и для /с С А/(л) =и ~ [/(у) — /(х) — /'(х) агс18(у — х)]/(р — х)зг/у. (Вместо функции агс1и г можно взять любую другую нечетную ограниченную функцию, равную г+ 0(аз) при и — ьб.) ж) Обратимся к примеру п.
3 г) 5 8.1 (пооцесс, связанный с системой массового обслуживания). Предположим, что появ- 242 ляющаяся там функция 1(х)/(1 — Е(х)) равномерно непрерывна и ограничена. Возьмем функцию ф, принимающую произвольное значение в точке 5 и принадлежаисую Ср,„на ]О, со). Получен- 01 ные нами формулы для переходных вероятностей за бесконечно малый промежуток времени Л! превращаются в Рагф (5) = ф (5) [1 — а ЛГ] + ф (0) а Л! + о (Л!), Р~~ф(х) =ф (х+Л!)]1 — .
Л(~]+ +ф(8) Л!+о(Л!), хш[0, ), 1 (х) 1 — Р (х) откуда Аф (5) = а [ф (О) — ф (5)], Аф (х) = ф' (х) + [ф (5) — ф (х)]. 1(х) 1 — Р (х) з) До сих пор мы не имели случая подчеркнуть чрезвычайную важность об засти определения 0л. Оказывается, инфинитезимальные операторы, отвечающие совершенно отличным друг от друга марковским процессам, могут задаваться одной и той же формулой и различаться только областями определения. 3 а д а ч а 6. Инфинитезимальный оператор А семейства винеровских процессов с отражением Уг (задача 6 $8.!] на [О, оо) определен на функциях [ш Ср,1,„таких, что 1'(О+) = О, и для 1 вих А1 — = — 1"; инфинитезимальный оператор А' семейства ви- 2 о перовских процессов на [О, оо) с остановкой в нуле шг (задача ! $8.5) — на функциях 1сн С1з! „, для которых 1" (О+) =О, и 0 1 А01 — 1' 2 Конечно, зти марковские семейства близки друг к другу, но различны (в смысле конечномерных распределений).
и) В примере п. 7 6 8.8 можно доказать, что решение уравнения (!0) с граничными условиями (11), дважды непрерывно дифференцируемое по х и один раз по ! вплоть до границы полуполосы, существует дли любых конечных условий 1зм С'ю [О, 1], 1'(О+] = 1'(1 — ) = О. Отсюда вытекает, что все такие функции привадлежат области определения инфинитезимального оператора А соответствующей полугруппы, и для них ! А1= — 1". Мы увидим (й 10.2, задача 7), что Оз не только 2 содержит С"'[О, 1[ (] (1: 1'(О+) = 1'(! — ) = О], но и совпадает с зтим множеством.
3. Рассмотрим важное понятие, связанное с полу- группами и иифинитезимальными операторами; ограничимся случаем сжимающей полугруппы на пространстве В ограниченных измеримых функций, Введем в В подпространство Во, состоящее из функций, для которых 1Р1 — 1"1' — ~0(1,) О); зто — функции, на которых полугруппа Р' сильно непрерывна справа в нуле. То, что Во — линейное подпространство, очевидно; но, кроме того, оно еще и замкнуто, а значит, является баиаховым пространством.
Действительно, если ~„— ~~, ), с= Во, то 11ш 11 Р') — ) 11 ~11ш 11 Р') — Р')„11+ +1сгп1Р 1'„— 1„с1+ 111„— 1'1); (3) сьо второй член в правой части равен нулю, а 11гп ~~ Р') — ФЦ = 11 и 1Ф (1 — ).) ) ~! 1 — ~Л сОо соо Так как зта норма мала, левая часть (3) равна нулю, н с' е:- Во. Оказывается, если 1~ В,, то функция Р'1 со значениями в нашем банаховом пространстве равномерно непрерывна по 1 на всем луче 10, ао): для з (1 Р'1 — Р') '), = =11Р'(Р'-') — )))((~~Р' ') — )11 О (1 — з- О). Отсюда, в частности, вытекает, что пространство Во будет инвариантно относительно операторов Р'.
для ) е Во будет также Рс)с= Во, так как Р"Рс) = Рс+о)— — с- Рс1' при Ь(,0, С инфинитезимальным оператором пространство Во связано так; Оя о: — Во (из существования предела '(Р'~ — ~) следует ((1'(Р') — )) )!=О (1), с1с1Р') — 1'(!= = О (с)- 0 пРи 1„' 0); значит, длЯ )се: Ои имеем Р1 ~ ~ В,, 1 (Р ~ — )) он В,, а значит, Аг=(пп1 (Р ) — 1)он соО ~ Во.
То есть и область значений АВд инфиннтезимального оператора также входит в Во. 4. Мы знаем, что А) — правая производная Рс1 в нуле в смысле сильной сходимости. Докажем, что если ) ен Р,, то и Рс) ен О,, и АРс~ =РсА1 =йРс~ (4) 244 в смысле той же сходимости. По определению ЛР ) = )пп Ь (Р Р 1 — Р ))! пользуясь полугруппоаФо вым свойством, получаем, что зто выражение — не что иное, как )[гпЬ (Р +) — Р !), т. е. правая производ*оо ная от Р'( (существование АР''у равносильно сущел' ствованию — Р ), и если они существуют, то равоч ны). Еще раз воспользуемся полугрупповым свойством: РьР'( — Р'( = Рььь) — Р') = Р'(Рз~ — () — и докажем, что )пиР Ь (Р ( — 1) =Р А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
