А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Это — сдвиг влево на ! — о", оператор этот, естественно, переводит непрерывные функции в непрерывные, т. е. семейство таких процессов — фсллеровское. Чтобы понять это, можно было и не строить семейства операторов, а просто заметить, что распределение Р (з, х, 1, ), сосредоточенное в точке х + ! — з, зависит слабо непрерывным образом от х. Теперь рассмотрим такое семейство процессов на (!х', Я'): на левой полупрямой — движение влево с единичной скоростью, на праной полупрямой— вправо; а траектория, начинающаяся в пограничной точке О, идет с вероятностью !/2 влево и с вероятностью !/2 вправо.
Запишем это формально с помощью вероятностей Р,,: Р,„Ц,=х+! — з, 1)~э)=1, х)О; Р,,(ч,=х-(1-з), 1==э)=1, х<О; Р., о Й ~ = ! — ь, ! » )з) = Рв о (Ъ~ = — (! — з) !=э э) = 1/2. Легко видеть, что это — марковское семейство; соответствующие ему операторы Р" задаются формулой 1(х+ (! — з)), х > О; )(х — (! — з)), х < О; 1 1 — ! (! — з) + —, ) ( — (! — з)), х = О.
2 2 На рис. 24 показано, как действует оператор Р" на произвольную непрерывную ограниченную функцию 1. Функция Р"~ терпит разрыв в нуле, значит, рассматриваемое семейство — не феллеровское. Это можно было видеть сразу: распределения, соответствую1цие 209 А начальной точке 0 и близким к ней справа и слева точкам, далеки друг от друга, а именно: первое сосредоточено поровну в точках ! — в и — (! — з), симметричных относительно нуля; распределение, соответствующее начальной точке, близкой к нулю, но лежащей справа от него, сосредоточено вблизи точки 1 — в, а слева — вблизи точки — (! — з). Конечно, легко построить примеры феллеровских и не фсллеровских марковских цепей.
Р-т Рис. 24 6. Любому феллеровскому марковскому семейству соответствует семейство операторов Р" иа пространстве С, удовлетворяющее требованиям а) — е) п, 1. Сейчас мы докажем для случая компактного фазового пространства обратную теорему. Т е о р е м а. Пусть Х вЂ” компактное метрическое пространство, Ж =Як. Пусть на пространстве С непрерывных функций на Х задано семейство операторов Р", в < 1, з, 1е Т а )т', удовлетворяющее требованиям а) — е) и. 1. Тогда существует феллеровское марковское семейство Дь 1е- :Т; Р, „), которому соответствует данное семейство операторов.
Д о к а з а т ел ь с т во. Достаточно доказать, что Р"~ представляется в виде Р"((х) = ~ Р(з, х, С йу)1(у), х (8) 2!О где Р(... ) — функция, удовлетворяющая многократно упоминавшимся ранее условиям 1) — 4) и. 1 5 8.1. Зафиксируем з, 1, х; тогда Р"1(х), согласно условиям а), б),— линейный ограниченный функционал на С (с нормой =1), и, значит, он представляется в виде интеграла от 1 по некоторой мере со знаком.
Обозначим эту меру — она, конечно, зависит от з, 1, х — через Р(з, х, С .); мы получили формулу (8), остается установить свойства функции Р(з, х, 1, Г). Как функция последнего аргумента это — мера в силу условия в); это — вероятностная мера в силу условия г). Условие д) превращается в условие 3) (Р(з, х, з, Г) =6„(Г) ). Что касается условия 2) и уравнения Чэпмена — Колмогорова (которое должно появиться из условия е) ), то тут необходима некоторая техника.
Условие 2) состоит в измсримости по х функции Р(з,х,1,Г), или, что то же, ~ Р(з, к,1, Ыу)уг(у). х Это — выражение того вида, что и (8), но только вместо непрерывной функции 1 в нем стоит разрывная. Пусть сначала множество Г замкнуто. Известно, что для любого замкнутого множества Г в метрическом пространстве Х можно построить непрерывную функцию 1 на Х, равную единице на Г и лежащую строго между нулем и единицей вне Г. (Иапример,в качестве такойфункции можно взять)(х)= ехр( — р(х, Г)), где р — расстояние.) Функция )" принадлежит С для любой положительной степени и, поэтому функция (Р"(")(х) = ~ Р(з, х, 1, с(у))" (у) х непрерывна и стало быть, измерима по Борелю. Устремим п к бесконечности; получим, что функция Р(з, х, 1, Г) = ~ Р(з, х, 1, Йу) у (у) = к = ~ Р(з, х, 1, г(у) (пп 1'"(у) = йгп ~ Р(з, х, 1, г(у))" (д) х и-+ "'+ к измерима по х как предел сходящейся в каждой точке последовательности измеримых функций.
Чтобы персйти от замкнутых Г к произвольным борелевским множествам, мы пользуемся леммой 1 8.2. При операциях сложения непересекающихся множеств, вычитания из множества его части и монотонного предельного перехода измеримость функции Р(з, х, 1, Г) сохраняется, поэтому она имеет место для наименыпей системы р(замки.) множеств, содержащей все замкнутые множества и замкнутой относительно указанных операций; пересечение замкнутых множеств замкнуто, р(замки.) =о(замки.) =О(откр.) = =Ях, и измеримость установлена. Теперь покажем, что выполнено уравнение Чзпмена — Колмогорова.
Имеем ~ Р(з, х, и, с(г))'"(г) =(Р'"[")(х) = Р" (Р'"1") (х) = х = ~ Р(з, х, (, Ну) ~ Р ((, у, и, с(г) 1'"(г). Переходя к пределу при п- оо, получаем Р(з, х, и, Г) = ~ Р(з, х, (, гзй) Р(1, Го и, Г), (9) х Здесь в качестве Г можно взять любое замкнутое множество. Чтобы перейти к произвольным борелевским множествам, можно воспользоваться той же леммой, что и выше, а можно тем, что обе части (9) являются мерами как функции Г.
7. Приведем пример применения доказанной теоремы. Рассмотрим параболическое уравнение с частными производными ди(з,х] + 1 д'и(з,х) =О, х =[0,1), (!0) де 2 дхэ с граничными условиями дл(з,х) [ дя(з,х) [ дх [с-о дх [х=! Уравнение (1О) описывает распространение тепла в стержне, причем граничные условия (11) соответствуют случаю тсплоизолированных концов стержня.
Существует единственное решение задачи (10), (11) и полуполосе (з, х) ьа( — со, !) К[0, 1), удовлетворяющее при з = 1 условвю (12) и (1, х) =1 (х), где [ — данная функция из С = С[0, 1) Обозначим через Р")(х) значение рец1ения и задачи (!0)— (12) в точке (з, х), з " 1, х щ [О, 1). При з = 1 имеем Р"[(х) = = [(х), т. е. оператор Р(* равен сч при з ( т функдия Р"[(х) дифференцируема по х и, следовательно, непрерывна; значит, оператор Рн переводит С в С.
Ясно, что зто линейный опсратор. Далее, этот оператор является сжимающим и сохраняющим положительность — это следствие принципа максимума для параболических уравнений; с физической точки зрения это соответствует тому, что тепло в процессе теплопроводности не может переходить от более холодных участков к более теплым, и, стало 212 быть максимальная температура с течением времени не увеличивается, а минимальная не уменьшается. Легко видеть, что д! 1 д'1 д! ! д! Рм! = 1 потому, что — + — —, = О, — ~ = — [ = О, дз 2 дх' ' дк !»=о дл Ь-~ Наконец, для того чтобы найти и(з, х), если дано, что и(и, л) = = [(л), можно реши~ь уравнение во временнбм промежутке [й и), а потом решить его во временнбм промежутке [з, 11 с тем н(1, х), которое было получено; иначе гоноря, Р'"[=Р*'(Р™[), [ гн С, или Р" = Р"Р'д Итак, выполнены все нужные требования, и семейстну операторов Р" соответствует марковское семейство Впоследствии мы унидим, что класс марконских семейств, связанных с уравнением теплопроводносги и другими параболическими уравнениями,— очень важный класс (это так называемые диффузии).
Заметим, что здесь нам првходилось говорить о решении уравнения в полуполосе ( .оа, 1] УС[0, Ц, а не в полуполосе, бесконечной вверх, как это нам привычно и как, разумеется, следует делать, если рассматривается не уравнение (10), а уравнение дн ! дн — — — — = О. Это связано с тем, что мы хотим, чтобы опедт 2 дх ратор Р»" представлялся в виде произнедения операторов, где первым применясзся оператор Р'", а вторым Р*0 Для операторов, действушших на меры, порядок как раз противоположный; ди 1 ди поэтому они связаны с решением уравнения — — — — =0 дт 2 дог чвверх», а не уравнения (10) «вина». К этой теме мы еше вернемся в гл. 11.
$8.4. Однородные марковские семейства 1. Переходная функция Р(э, х, 1, Г) называется однородной (по времени), если она определена для з,1е= Т=)г!, йг+ (=[О, со)) Х! (=(, — 1 О, 1, 2, ...)) или Хе (=(О, 1,2, ...)) и если она не меняется при сдвиге вдоль временной оси: Р(а+ 6, х, 1+ 11, Г) = Р(з, х, 1, Г). Такая переходная функция зависит только от разности ! — э (~ )тгь или 2 ь): можно ввести такую функцию Р(й х, Г) от трех аргументов, что будет выполнимо равенство Р(з, х, й Г) = = Р(1 — з, х, Г).
Условия, которым должна удовлетворять функция Р(1,х, Г) (для процессов с непрерывным временем 1~ [0, оо), для цепей Маркова 1 — целое неотрицательное; х я Х, Г ~ "мг),— следующие: 1) Р(1, х, ) — вероятностная мера на (Х, У)1 2) измеримость по х; 3) Р(0, х, Г) = 6 (Г); 4) уравнение Чэпмена — Колмогорова: для з, 1 = 0 Р(1+ э, х, Г) = ~ Р(1, х, с(п)Р(з, у, Г). х 213 Значение Р(1, х, Г) называется вероятностью перехода из состояния х за время ~ в множество Г. В случае дискретяого времени говорят также: за 1 шагов. Болыпинство рассмотренных ранее переходных функций были однородными; но, например, переходная функция процесса за~ачи 2 ~ 8.1 — неоднородная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
