А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Г и х м а н и С к о р о х о д. Теория случайных процессов. Т. 1.— М: Наука, 1971, гл. 11, $2). Услоние неотрицательности в теореме отбросить нелгая; пример — вннероеский процесс. 3. Доказанную теорему мы можем перенести и на несчетное множество Т вЂ” для случайных функций с реализациями, непрерывными справа (или слева); утверждается существование с вероятностью 1 конечных пределов слева (справа) в каждой точке, на +оо и на — оо (если имеет смысл о них говорить).
Другой вариант перенесения теоремы на несчетное Т: для стохастически непрерывного супермартингала существует стохастически эквивалентный ему с реализациями, непрерывными справа и имеющимиконечныйпредел слеВа В КаждОй ТОЧКЕ (И На -1-оо). 4. В качестве приложения докажем теорему — вариант «в узком смысле» задачи ! $ З.З. ТеоРема 2.
ПУсть «тгЯУа«= ... с:-Як~ -.. ... с=от — неубывающая последовательность и-алгебр; обозначим через Ят наименьшую о-алгебру, содержащую все Зсл. Пусть й — случайная величина с комеч- ным математическим ожиданием. Тогда почти наверное М(51У )= и М(5)У „). (4) л-е Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать (4) только для неотрицательных случайных величин, ибо, если это выполняется для случайных величин = в ~/О и 5 = ( — 5) 'ьг О, оно выполняется и для 5. Если г, =» О, то, согласно теореме 1, предел в (4) почти наверное существует.
Обозначим через П случайную величину, равную этому пределу, если он существует и конечен, и нулю в противном случае. Эта случайная величина измерима относительно У ; она интегрируема как предел равномерно интегрируемой последовательности случайных величин (см. введение); поэтому достаточно проверить, что (5) для любого множества А ~ У . Достаточно доказать (5) для произвольного множества А из порождающей У алгебры ( ( У „. Для А е= У „имеем ~ т) АР = ~ Игл М ($1У л) дР = л л" = 1нп ~ М (5 1У ь) ЫР =- 1нп ~ $ дР = — ~ 5 НР .
Здесь мы воспользовались равномерной интегрируемостью и тем, что А ~ У ь, начиная с й = и, и интеграл от М($1Уь) равен интегралу от 5. Частный случай только что доказанной теоремы— соответствующее утверждение относительно условных вероятностей одного и того же события. 3 а да ч а 1. Пуст~ У1 ~ Я а =— '... и ГУ, =о... — невозрастакь щая последовательность и-алгсбр; обозначим через Я пересечение нсех этих о-алгебр. Пусть 5 — — случайная величина с конечным математическии ожиданием. Докажите, что тогда почти наверное МК1гг )= Пго М(К~У„).
5. Еще одно применение теоремы о сходимости мартингалов — к плотностям мер — см. п. 2г) ф 7.1, а также в Э 5.3. Так как пОслеДовательность тсг л неотрицательный мартингал, то с вероятностью 1 существует те* = (пп гсг„. и-ь Этот результат — некоторое ослабление и в то же время обобщение известной теоремы Лебега, согласно которой лкзбая монотонная функция действительного переменного почти всюду дифференцируема. Действительно, пусть на отрезке (О, 1) задана неубывающая функция Д будем для простоты считать, что )— функция распределения Дифференцируемость в точке х означает, что существует !пп (! (») — ) (р))/(» — у). Из нашей конкахх, «як струкции мы выводим существонание почти всюду не этого предела, а Пш (г' (йг2") — !' ((й — ! )/2ь)) /(1!2«), где (й — 1) /2" в -+ Сх~(й!2".
Для этого достаточно взять в качестве р меру «!ебега, в качестве р' — меру, соответствующую неубывающей функ. цин й а в качестве о-алгебр У„конечные алгебры, порождаемые полуиитервалами ((!г — 1))2", й)2" ], й = 1,, 2". 6. 3 ада ч з 2'. Пусть юь Г = О, — трехмерный винеровскнй процесс с непрерывными траекториями, выходящий из нуля. Докажите, что с нероятностью 1 существуез 1нп ) ю )= ю и что г -+ для любой точки х« ~ )г«с вероятностью ! процесс юг ни при каком значении Г не попадет в ха (при х« = 0 — пе вернется в нуль ни при каком положительном 1).
Глава 8 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 5 8.1. Марковские процессы и марковские семейства В теории марковских процессов используется терминология, заимствованная из физики: пространство, в котором принимает значения процесс, называется фазовым пространством (или пространством состояний), а его точки — состояниями. Мы будем предполагать, что фазовое пространство — измеримое пространство (Х, В'), в котором все одноточечные множества измеримы.
1. Сначала определим, что такое переходная функция. Пусть имеется множество Т ы )г'. Функция Р (з, х, С Г), определенная для з, 1е— = Т, з < 1, х с= Х, Г ~ го, называется переходной функцией (марковской переходной функцией), если 1) при фиксированных э, х,1функция Р(з,х, С )— вероятностная мера на о-алгебре го (вероятностная — т. е. Р (з, х, 1, Х) = 1); 2) при фиксированных з, 1, Г функция измерима по х (относительно о-алгебры ю); 3) при э =1 это — единичная мера, сосредоточенная в точке х: Р(э,х,э, Г)=бл(Г) (т. е.
это мера, равная единице, когда Г =э х, и пулю, когда Гф.х); 4) для любых з, 1, и е= Т, з < 1 - и, х е= Х и Г е= У Р(з, х, и, Г) = ~ Р(з, х, С йу) Р(С у, и, Г). х Последнее равенство называется уравнением Чэпмена — Колмогорова. Это — самое сложное из условий 1) — 4).
Прежде чем приводить примеры, рассмотрим частные случаи дискретной и абсолютно непрерывной пеходной функции. В дискретном случае для задания меры достаточно задать счетный набор чисел — меры всех одноточечных множеств. Поэтому переходная 183 функция определяется заданием матрице! вероятностей перехода (или переходной матрицы) Р", зависящей от двух моментов времени з ( 1: Р" = — (Р(з, х, 1, у), х, у ' Х), р(а, х, 1, у) = — Р (еч х, ц (у) ) (элементы матрицы мы обозначаем буквой р маз!ое, строки и столбцы нумеруем элементами Х).
Легко проверить, что условия 1) — 4), налагаемые на персходную функцию, в дискретном случае превращаются в следующие: 1) матрица Р" — стохастичеепая, т. е. она состоит из неотрицательных элементов с суммой 1 в каждой строке: ~ р(з, х, 1, у) = — 1; я 2) — -отпадает как тривиально выполненное; 3) Р" = Е (Š— единичная матрица); 4) Р" = — Р"Р!к при з --- 1( и. В случае несчетного пространства Х иногда имеет смысл говорить о плотности вероятностей перехода, или переходной плотности, т. с. о функции р(з, х, г, у) такой, что Р(з, х, 1, !') = — ) Р(з, л., г, у) т(с(у) для всех !' з', х, 1, Г, з .с: 1 (для з = Е конечно, не имеет смысла говорить о плотности, потому что все распределение сосредоточено в точке х).
Здесь т — некоторая фиксированная мера на (Х, Ю), например, мера Лебега в случае евклидова пространства или его части. Услония 1) — 4) можно заменить на следующие: 1), 2) р(з, х, 1, у) измеримо по (х, у) относительно М';к', У'„р(а, х, 1, у) ) О, ~ р (з, х, 1, у) т(йу) =-1; 3) — отпадает, потому что при з = ! плотности нет; 4) р (з, х, и, у)= — ~ р(з, х, 1, а) р(1, з, и, у) т(йа), х 3 а д а ч а !. Проверьте, что матричная функция (2+ е зи '!)/3 (! — е за з!)/3 Рз! (2 — 2е ! '!/3 (1+ 2е зп а!)/3 удовлетворяет условиям !) — 4) и, таким образом, задает пере- ходную функцию на фазовом пространстве Х = (1, 2).
134 Каким образом была построена функция Рм>, станет нсно позже, когда мы болыие узнаем о марковских процессах. 3 а л а ч а 2. Пусть Т вЂ” произвольное цодмножестио прямой, и лк>бой паре его злементоа з ( Г сопоставлены Лейстаитсльиое число т„ и неотРицательное число оз>. Дли з ( 1 нз Т, .г ев йг 2 определим Р (з, х, г, .
) как нормальное раснрелеченос со срсдням лзнх и лнслерсисй о,, Павлито услоаия на н>,> и о",>, необходимые и лостаточные лля того, чтобы выполнялось ураане. нис г)зпмена — Колмогороаа (то, что аьшолнены условия 1), 2), ясно; яля услоаия 3) необходимо и аоста>очно ьчз = 1, о,. = О). 2. 11усть 5>, ) е== Т, — случайнь>й процесс на вероятностном пространстве (11, У, Р), принимающий значения в измеримом пространстве (Х, М').
Мы говорим, что й>, ус= Т, †.-марковский процесс с данной переходной функцией Р(з, х,), Г), если для любых 1, и е= Т, 1~ и, Г ~ зо' почти наверное Р(вас= Г)У м>) =. Р(ц с>, и, Г). Условие 2) п, ! сразу обеспечивает вьщолнение одного из требований в определении условной вероятности — измеримость относительно У,-г. Это определение непосредственно выражает идею заг>иег>мг>сти будущего от прошлого только через настоящее настоящее здесь выражается значением процесса в момент времени 1, будуи)ее — значением $а, и ) г; а прошлое — о-алгеброй У -. >. Из определения сразу следует, что Р (й„г:— Г ', цг) — -- Р (1, х>, и, Г) (2) (точнее, правая часть — один из вариантов этой условной вероятности).
Действительно, воспользуемся формулой Р (А ) Я) = М (Р (Л ).:4) ) Т)), справедливой для любых о-алгебр Ф ~ мг, беря,4 = У <с, го = — о (вг): Р Д„е.= Г ~;->) = — М(Р(1, 5> и, Г),'$>)=Р(У, й„и, Г). В другом виде с тем же смыслом формула (2) переписывается так: Р (в„е= Г ) й> = х) = Р (1', х, и, Г). (3) Это позволяет находить переходную функцию, соотнетствующую данному процессу. Эта интерпретация переходной функции делает также понятными условия 1), 3), 4) переходной функции (хотя вывести их из (1) можно лишь для всех х, 185 за исключением множества меры О; 2) — чисто техническое условие: просто мы никогда не рассматриваем неизмеримых функций).
Теперь мы можем понять, о чем, собственно, данная выше задача 2. Мы знаем, что в случае двумерного гауссовского распределения условное распределение одной координаты при условии, что другая приняла значение х, — гауссовское со средним, линейно зависящим от х, и дисперсией, не зависящей от х. Итак, задача 2 — залача о переходных функциях гауссовских марковских процессов. Поговорим немного о терминологии. В связи с формулой (3) для значения переходной функции Р(в, х, (, Г) используется такое словесное выражение: вероятность перехода из точки х в момент з в множество Г в момент б Марковский процесс, определенньгй на множестве Т, состоящем только из целых чисел, — т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
