А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Выражения в левых час~ах (2), (3) — не что иное, как «урезанные» математические ожидания и ковариацин Мх(сг — хг), Мх (ьг— — х ) (йг — х ) (собственно, для получения ковариации нужно еще вычесть произведение математических ожиданий, но оно имеет порядок 0(П) = о(Г)).
Условия (2), (3] означают, что эти величины имеют первый порядок относительно ! при малых й Коэффициенты пропорциональности Ь'(х) и ач(х) поэтому называют соответственно локальными математическими ожиданиями (локальнмми средними) и локальными ковариацияии (в одномерном случае, а также при ! = / — локальными дисперсиями).
Другие названия: для коэффициентов Ь' (х) — коэффициенты переноса (илн сноса, или дрейфа; или вектор Ь(х) называют вектором переноса); для матрицы аг!(х) — яатриг!а диффузии (в одномерном случае а(х) — коэффициент диффузии). Эти названия связаны с физической интерпретацией диффузионных процессов. Для броуновского движения в однородной и нзотропной среде, когда на частицу не действуют никакие посторонние силы, кроме ударов молекул, естественно считать коэффициенты диффузии и переноса не зависящими от х и инвариантными относительно вращений, т. е.
Ь(х) = — О, (ач(х]) — аЕ; это означает, что такое однородное симметричное броуновское движение с точностью до множителя — аинеровский процесс. Доказательство теоремы. Пусть ) с= Ср~~„„, б — произвольно малое положительное число. Выберем е ) 0 так, чтобы приращения всех вторых частных пронзводных Г нз отрезках длины меньше е были меньше б; поэтому е выберем )г) 0 тзк, чтобы прн 267 1 «" Ь все о(~) в (1) — (3) было по абсолютной величине меньше 6 1 для всех х. Воспользуемся разложением Тейлора: ) (у) = ) (х) + ~~ —,. (у' — х() + 1 т-~ д'7(х) + — 2 . (у( — к()(у( — х')+а)у — х)2, дх( дх' ы 12 где ) и!=!а(х, у) ! < — 6 при ~ у — х) ( е.
Подставим это выражение в формулу Р)) (х) — ) (х) = ~ Р((, х, ()у)(~(у) — ) (х)) = ()'(у) — ) (х)) Р((, х, ((у) + У (х) + $ [)'(у) — )" (х)]Р(г, х, ((у), ) ч(~) вернее, в первый интеграл в правой части; получим Р')' (х) — )' (х) = —,. (х) (у; — х') + — ~~,. (х) (у( — х() Р, У (к) $/ Х(у) — х))+а~у — х)2 Р(), х, ((у)+ + ~ () (у) — ~(х)) Р((, х, ((у). ) е(х) В силу (2), (3) первый интеграл будет равен —,(х) Ь((х) 1+ — ~~ ~,.
(х)ап(х)(+ о(() дх' 2 дх( дх) ) (/ плюс слагаемое, не превосходящее и в силу выбора )г этот интеграл будет отличаться от 1Ц(х) менее чем на Второй интеграл в силу (1) оценивается по модулю величиной 2)~До(1), и при ! (Ь он не превосходит 2!у!~%.
Значит, [! — 1(Р7'(х) — ~(х)) — Ц(х) [ ие превосходит при малых ! скольких-то б; так как б произвольно мало, то получаем, что эта разность равномерно стремится к нулю при !~0,т. е. 1 с= сзл и А1= Ц. Пример — вычисление инфинитезимального оператора винеровского процесса (задача 4 2 10.1).
В условиях теоремы 1 ($ь Р„) оказывается диффузионным процессом с производящим оператором Ь ,(если сделать траектории непрерывными). 2. Условия теоремы 1 слишком ограничительны*); из них, в частности, вытекает, что коэффициенты Ь, аи ограничены во всем пространстве (иначе для некоторых !'~С~~~,н оператор Т. будет давать неограниченную функцию Ц). Эти условия можно ослабить, если ограничиться фииитными функциями 1.
Те о р е м а 1'. Пусть (~о Р,) — марковское семейство на (1с', Я') такое, что условия (1) — (3) выполняются при 1~0 равномерно по х в пределах каждого ограниченного множества, и для каждого ограниченного К существует ограниченное множество К'~К такое, что (4) Р (1, х, К) = о(1) при г40 равномерно по х я 1с",К'. Тогда инфинитезимальный оператор определен на всех функциях 1 ен ен Сф~~~„(дважды непрерывно дифференцируемых финитных), и на них он равен Ц.
Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть ~ — гладкая финитная функция, обращающаяся в нуль вне компакта К; выбираем К':> К по условию теоремы. Нужно доказать, *) Настолько ограничительны, что мы не смогли привести ни одного красивого нлн интересного с точки зрения приложений примера, кроме винеровского процесса что ! г(Р!)(х) — )'(х)) — Ц(х) при ЦО равиомерио по хе-=)с'. В случае хеп К' действует доказательствотеоремы 1; в случае х Ф К' — условие (4).
П р и м е р ы. а) Для однородного по времени гауссовского марковского семейства (задача 2 $8.1 в однородном варианте) переходная плотность задается формулой (! х ) = е 1в "гчоох1Ч!го'!01 ц(2п и (!) где гп(!), г ) О, удонлетворяет уравнению т(!+ з) = пг(!)ш(з), а пз(!) связано с этой функцией уравнением а'(!+з) = = тг(!)пг(з) + па(!). Можно доказать, что общее непрерывное решение системы этих уравнеий имеет вид т(!) =- еьпз, и'(!) = = аЬ-'(еь' — 1) при Ь Ф О, па(!) = а! при Ь = О.
Легко проверяетсн ныполнение условий (1) — (3] (равномерно в пределах каждого компакта) н (4). Локальное среднее и локальвая дисперсия оказываются равными Ь(х)=(~ш! 'М (1,— «)21, „(Вг — х)— = 1пп ! М„(3! — х) = 1пп ! (т (!) х — х) = —, х, -! . — 1 Ь гьо " гьо 2 а(х)=пгп! М„(й,— х)гу,, Д вЂ” х)=иш! !пг(1)=а, с хо СЬо а „Ь производящий оператор Ц (х) = — 1" (х) + — хр (х).
2 2 б) Еще один гауссовский пример (на этот раз двумерный): с (гвь $~), где ш! — винеровскнй процесс, Цг= — йэ+ ~ ш,йз. Расо пределение в момент ! прн начальной точке ше = х, $ч = у— нормальное с математическими ожиданиями (х, р + )х) и матРнцей коваРиаций ( г 2 13 з ) (см. задачУ 19 $ 2.1). локальные математические ожидания и локальные ковариации раины произволным зтнх функций в нуле (интегралы по (ге(х, р) отличаются от интегралов по нсей плоскости лишь на о(!)).
Отсюда Ь'(х, у) = О, Ь'(х, у) = х, а" (х, р) — = 1 а" = и" = 1 Оз( = а'з =. О. Производящий оператор есть (1(х, р) = — — + 2 дх' ду + х —. Оператор оказывается не зллнптическим, а иырождаюдр щимся в параболический; и соответствугощий процесс, как мы видим,— тоже в каком-то смысле вырожденный: случайность не отпущена ему полной мерой — вторая координата полностью определяется первой (н начальной точкой). в) Положим $~ = ф(ш~), где ф(х) — гладкая возрастающая функция (ф'(х) ) 0), растущая иа ~со быстрее, чем е~" при любом с; шг — винсровский процесс.
Математическое ожидание Мха! при ! ) 0 не существует, но локальное среднее и локаль- 270 1 ная дисперсия существуют и раины Ь (х) — Ф (гр ' (х)), 2 а (х) = (ф' (ф ' (х)))т, ц(х) = — (Ч' (Ф ' (х)))з!" (х) + 1 1 + — Чз" (ф '(х)) р (х), Этот оператор можно представить в виде 2 1 дз( — — где и(х) =~у ' (х). (Докажите.) 2 ди'' г) Посмотрим, каким диффузионным процессом можно приблизкть процесс изменения численности особей какого-то вида (см.
З !!.!). Пусть коэффиценты рождаемости и смертности (среднее число рождающихся и погибающих в единицу времени особей в расчете на одну особь) зависят от общего числа л особей (потому что от него зависит, хватит лн всем пищи) и равны соответственно г(л), !(л).
На малом отрезке времени можно считать л(Г) яа л, а значит, г и ! — тоже приближенно постоянны. При этом естественное приближение к реальности состоит н том, чтобы считать числа рождений и смертей за малое время независимыми пуассоновскими процессами с параметрами л.г(л), л Цл). Отсюда ййл (л 0) — и) ж л (г (л) — ! (л)) 1, а дисперсия ж л(г(л) + !(л) ) !. Получаем Ь(л) = и (г(п) — !(л) ), а(л) = = л(г(л) + !(л)); процесс связан с дифференциальным операто- 1 изг а'( ром ь!" (л) = — л(г(л) + 1(л)) — + и (г (л) — ! (л)) —. Функ- 2 да' дл цию пн(й л), выражающую вероятность того, что в момент ! (не малый) число особей будет (7ч', если все начиналось с л особей, ди можно найти как решение задачи Коши: — = Еи; ах(О, л) = д! и' = ! пРи л О, пх(О, л) = О пРи л ) ЬГ. Разумеется, хорошим диффузионное приближение может быть только при больших л.
3. Теорема 2. Пусть инфинитезимальньгй оператор диффузионного процесса определен и совпадает с производящим оператором Е на всех дважды непрерывно дифференцируемых функциях 1, убывающих д/ дз! вместе с производными —, на бесконечнодхг дх! дх! сти не медленнее, чем некоторая функция <р(х) (ьО при !х! -оо). Предположим„что переходные вероятности диффузионного процесса задаются плотностью.
Р(1, х, Г) = ~ р(1, х, у)г(у, где функция р((,х,у), Г определенная на (О, оо) х' ,гсг Р',)сг, непрерывна по всем трем переменным вместе с первой частной производной по ! и частными производными первых двух порядков по х', хй Пусть, наконец, имеют место оценки (р), ~ — ), ~ —,. ~, ~, ~~(С(1, у)!р(х), (5) 271 где С(7,у) — непрерывная положительная функция на (О, ео) Х хс. Тогда переходная плотность удовлетворяет следующему уравнению; дР((,х, У) ) Х и д'Р(их, У) д( 2 х дх' дх) + ~~~~ Ь'(х) р ',.' у, (6) дх' 1 или, короче, — =7.,р.
(Индекс „означает, что опедр ратор применяется к плотности при фиксированных 7, у как к функции от х.) Условия теоремы довольно громоздки, например, требуется, чтобы плотность и ее производные оценивались функцией С((, у)ср(х), а не просто С(у)ср(х); но здесь ничего нс поделаешь„потому что соответствующее распределение прн ()О сходится к распределению, целиком сосредоточенному в одной точке (на языке обобщенных функций: р(С х,у)-+-6(у — х) при ()О для любого х е= К'), и плотность не может не расти, когда ( приближается к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
