А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 58
Текст из файла (страница 58)
цесс с непрерывно!ми траекториямщ ш! и св! — ! — мортингалв!, 2 то гв! — винеровский процесс. 3 ад а ч а 8". При помощи какого стохастическаго уравнения можно задать гауссовский процесс 3(!), О = ! < 1, с нулевым средним и корреляционной функцией т р! з — ШЭ Приведенные результаты непосредственно здесь не применимы, потому что процесс неоднороден по врелщни. 5.
Мы видели (задача 15 й 5.3), что при помощи стохастических интегралов выражается плотность распределения гв!+ ф(!) относительно распределения винеравского процесса. Аналогичная формула имеет место для плотности распределения одного диффузионного процесса на конечном отрезке времени относительно распределения другого диффузионного процесса, отличающегося от него только сносом. Для простаты ограничимся одномерным случаем. Пусть $!— решение стахастического уравнения й5л = а(5!)бы!+ Ь($!)а( с с / начальным условием 5о — — х; $! — решение уравнения йй! = и ("!) йгвг+ Ь (в!) йг, зо —— х.Пусть п(х) Ф О.
Обозначим через )с распределение в пространстве (а!о т! вт!о, т!) соответствующее случайному процессу й!, О < 1 < Т, через !т' †распределен случайного процесса $г, О < ! < Т. Тогда плотность распределения р' относительна тс задается формулой Т вЂ” ($ ) = ехр ~ а (5 ) (Ь' (Ц ) — Ь ($ )) йгв!— хо Т вЂ” !!Е 'В ум — ьрк,з'н~. о (См. И. В, Ги р с а н он.
О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры, Теория вероятностей и ее применения. — 19бО. — Т, 5, № 3. — С. 314 — 330, Существенный пункт доказательства — проверка того, что математическое ожидание выписанною выражения равно единице; ср. с задачей 4* $ 3.) 1! А. д. Вентцель 321 Глава И СВЯЗЬ ДИФФУЗИИ С УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Мы уже знаем, что диффузии связаны с задачей Коши для уравнений в частных производных параболического типа: решением этой задачи являются, например, функции вида о(1, х) = М, ~ дф,)о(з, о (см.
~ 10.3, а также 5 11.2). В этой главе мы будем говорить о связи диффузнй с задачей Дирихле для уравнений эллиптического типа: решением этой задачи оказываются функции типа и(х)=М„~р(~,) или гп(х)= М„т, где т — первый момент выхода процесса из области. В одномерном случае эллиптическиеуравнения превращаются в обыкновенные уравнения второго порядка, но для них рассматриваются ие задачи с начальными условиями, а краевые задачи.
В случае вырождения диффузии, т. с. не строго положительно определенной матрицы диффузии (аи(х) ), вместо эллиптических уравнений получаются параболические; часть результатов может быть отнесена к иим. Сначала мы рассмотрим уравнения для функций, связанных с моментом выхода из области, в случае дискретных цепей Маркова; это нам поможет ознакомиться с возникающими проблемами на более простом материале. 5 13.1. Уравнения, связанные с дискретными цепями Маркова 1.
Пусть ($ь Р,) — цепь Маркова на конечном или счетном пространстве Х; через Р будем обозначать оператор Р', связанный с вероятностями перехода за один шаг; Р((х)=М„)5,)= ~ р(1, х, у)1(у). Пусть Р— подмножество Х; т — первый момент выхода из Р: т = ппп (ди $„ф Р). 3 а д а ч а 1. Пусть ~р(х) — числовая функция на Х' Р; положим и(х) =- М„гр(й,) (предполагается, что математическое ожидание существует; для тех элементарных событий, для которых т= ос, т. е.
~„не выходит из Р, вместо ~р(й,) берем О). Докажите, что функция и удовлетворяет уравнению (Р— Е) и (х) = О, х ен Р, Уравнению (1) удовлетворяет, в частности, вероятность того, что в момент выхода из Р цепь попадает в определенное множество Г к Х'чР: ведь функция и(х) =)»„($, ен Г) представляется в виде М кг(хт)' В случае, когда множество Р состоит из конечного числа элементов хь ..., ххч задача (1) — (2) сводится к системе и уравнений (1) с и неизвестными и(х,), ... ..., и(хн): н и (х;) — 2 р(1, хь х;) и(х;) = р(1, х;, х)~р(х), «=1, ..., и. (3) к ми о Решение задачи (1) — (2) (или системы (3)) существует для любой ограниченной функции <р, но может быть не единственно. Это будет в случае, когда может навсегда остаться в множестве Р.
3 ад а ч а 2. Докажите, что функция и (х) = Рх (т= со) удовлстворяст уравнению (1) в В и дополнительному условию н(х) = О при х~нд',В. .,грлллпа"Я Рис. 31 и «граничным условиям» и(х) = <р(х), х с= Х ', Р. (2) Если Х, например, — рсшстка на плоскости, причем переходы в цепи возможны только в ближайшие соседние точки, то функция и(х) в В действительно зависит от значений ю(х) в точках «границы» В, если в нсс включать точки, нс принад.чсжащие В, но соседние с какими-либо точками В (рис. 31). В случае бесконечного Р решение может быть не единственно и в случае Р„(т = оо) = О.
Пример: симметричное случайное блуждание по целочисленным точкам прямой (р (1, (, 1+!) = Р (1, 1, 1 — 1) = 1/2, остальные р(1, !',1) — нули); О =(1,2, ...); и(1)=! при 1) О, и(() = О при 1~ О. Здесь (Р— Е)и(() = О при 1 ~ 0; граничное условие в нулевое. 3 ад а ч а 3. Пусть функция ф неотрицательна. Докажите, что иа (х) = Мхе Ят) — наименьшее неотрицательное решение задачи (1) — (2). 2. Теперь рассмотрим функцию о(х)=М„~ д5,). 3 а д а ч а 4. Докажите, что функция о — решение задачи (Р— В) о(х) = — д(х), х ги В; (4) о(х) =О, х щ Х '~, В (5) Частный случай д = 1 дает нам уравнение для математического ожидания времени выхода т(х) = = М„т: (Р— Е)т(х)= — 1, х ни 0 (если М,т < со).
3 ад ач а 5. Если В конечно и Р„(т ( оо) = 1 для всех х са В, то М„т < со. Докажите. 3 а д а ч а б. Найдите математическое ожидание времени выхода из В = (1, ..., л — Ц для симметричного случайного блуждания на прямой. 3 а да ч а 7. Докажите, что т (х) = М„г — наименьшее неотрицательное решение уравнения (Р— Е) о(х) = — 1, х ~и В (среди решений со всевозможными неотрицательными значениями вне В). 3 ад а ч а 8.
Найдите математическое ожидание времени выхода из В = (1, 2, ... ) для несимметричного одномерного случайного блуждания (р(1, йг+ 1) =р, р(1, й 1 — 1) =о, р+ о = !). 3. Для первоначального ознакомления с вопросом о связи между марковскими процессами и уравнениями данных нами задач достаточно; следующая задача не обязательная. 3 а д а ч а 9*. Выведите уравнение для функции т -1 л †! 1-о л=а 3 13.2. Случай решений, допускающих гладкое продолжение О. В случае непрерывного времени и непрерывного фазового пространства мы уже не можем брать множество 0 произвольным, а должны ограничиться каким-нибудь более или монсе узким классом множеств. 824 Мы будем рассматривать замкнутые множества В, а затем еще далее сузим этот класс.
Моментом (первого) выхода процесса й! из В будем называть т= =(п((й $! Ф х)) *). В случае диффузионного процесса ппп(П йгф0) не достигается: в момент т процесс находится еще в Р, а именно на границе д0 этого множества. Мы установили (Э 6.1, задача 4), что момент первого выхода из замкнутого множества будет марковским моментом относительно семейства о- уу алгебр У <г+ для любого чт процесса $г с непрерывными справа траекториями. Сделаем общий чертеж для всего этого па- Рис. 32 раграфа (рис. 32).
1. Мы уже понимаем, что стоит прежде всего заняться вопросом о конечности т. 3 з д з ч в 1. Пусть ($г, Рх) — мзрковскае семейство, и пусть существуют канствнты Т и б х> О такие, что Р„(т < Т) > б для всех х ы Р Тогда для всех х Рх(т) нТ) (1 — б)", и = О, 1, 2, ..., и Мхт ( Т)Ь. 3 яд з ч з 2*. Пусть ($г, Рх) — феллеровское мвркавскае семейства с непрерывными справа трзектариями. Если х! — компакт и Р„(т < са) > О для всех х ~ )), то выполняются условия задачи 1, и М„т конечна и ограничена. Это — аналог зздзчи 5 $ 13.!. Пусть теперь в г-мерном пространстве задан дифференциальный оператор с непрерывными коэффициентами У = — ~~ а '(х),, + ~~ Ь (х) —,.; ($г, !! Р,) — диффузия с производящим оператором Предположим, что это марковское семейство — феллеровское, т. е.
соответствующая полугруппа переводит непрерывные ограниченные функции в непрерывные. М икр отеор ем а 1. Пусть  — компакт, г — момент выхода из него. Пусть о(х) — дважды непре- ь) Почти такие же результаты можно получить для открытых В и моментов т !п (Г: Ц Ф О) (см. И т о и М з к к и н (1968, гл. 7)). Разница касается толька более тонких результатов. 325 рывно дифференцируемая функция, определенная в Я', обращающаяся в нуль вне некоторого компакта, содержащего Р, и неотрицательная в Р, и пусть Ео(х) ( — с ( О ари хан Р. Тогда М„т ~~с 'о(х) для любого х ~ Р.
До к а з а тел ь ство. Функция о принадлежит области определения инфинитезимального оператора диффузии; поэтому, согласно задаче 15 $ !0.3, случайная функция ц =об,) — ~ Т. (5,)дз о (2) потому что т Л Т вЂ” марковский момент относительно семейства о-алгебр 3"~ы.. Из (3) получаем Учитывая, что здесь енР Ро(ч,)( — с, о(яхт) =ьО, находим о(х))~сМ,(т Л Т). Переходим к пределу при Т вЂ” ь (пользуясь монотонностью т Л Т как функции от Т); получаем о(х))~сМ,т, что и требовалось доказать.
будет мартингалом относительно семейства о-алгсбр У~~ (и любой из мер Р„). Это будет также мартингал относительно семейства о-алгебр У м1з., потому что диффузия Кь Р„) обладает марковским свойством относительно этого семейства о-алгебр (в силу непрерывности траекторий и феллеровости; см. $9.2). Из микротеоремы 3 $ 7.3 вытекает, что для любого Т~ О М„ц„д. = М„т~ь = М„о (Е ) = о (х), Приведенное доказательство можно обобщить на феллеровские марковские процессы с непрерывными справа траекториями. 3 а дача 3". Пусть $~ — семейство пуассоновских процессов с параметром о, выходящих из всевозможных точек прямой; Ч, = йц — а(; О = [О, !); с = !п!((: Ч, Ф (1).
Докажите, что М»т < о 'х ((+ 1 — к). Доказательство мнкротеоремы 1 можно было бы провести, пользуясь не задачей 15 $10.3 и свойствами мартингалов, а стохастическими интегралами. Если процесс $~ задается стохастическим уравнением Вй~ = о(й~)вы~+ Ь($!)ги, где ы~ — винеровский процесс, то случайная функция т)ь определяемая формулой (2), есть почти наверное о (йв) + ~ !Б (я») Ыщ», где си — непрерывная е ограниченная векторная функции (см. $12.5). Так же, как в 5 12.2, получаем, что почти наверное Ч, д т — — и (ьз) + т + ~ !Б ($,) Х т (з) г(щ»; беря математическое ожидание М» от о обеих частей, получаем (3). Микротеоре ма !'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
