А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 61
Текст из файла (страница 61)
12» 339 Если решение задачи «си = 0 внутри Р, и(х) -»ю(х») при х-» х«для всех регулярных точек х«границы Р» единственно, это значит, что мы нашли, как следует ставить задачу Дирихле для областей с плохими границами: в регулярных точках требовать определенных пределов, а в сингулярных ничего не требовать. Однако, вообще говоря, единственности здесь нет (пример — задача 13' $13.2; можно построить пример и для ограниченной области, ио с сингулярной точкой на границе).
Для единственности нужно еше требовать по крайней мере ограниченности и. Не будем обсуждать этого вопроса здесь; отоп!лем читателя и нниге И т о и М а н и и н а (!963, $7.!2), где рассматривается случай многомерного винеронсного процесса и от»рытов области. С вопросом о правильной постановке задачи Дирихле в случае наличия сингулярных точек связан результат следующей задачи. 3 а д а ч а 3.
Обозначим через 5 множество сингулярных точен границы Р Докажите, что Рк (3«ш 5) = 0 для любого к ш Р. 3. Мы упнделн теперь важность понятия регулярности граничных точек. Рассмотрим некоторые примеры, связанные с этим понятием. Критерий Пуанкар е: для многомерного еинероеского процесса, если точки хо е= дР можно коснуться снаружи области маленьким конусом К (рис. 86), то зта точка регулярна.
Рис. 36 Доказательство. Предположим, что точка хо сингулярна; тогда с Р„свероятностью 1 момент т» первого достижения вннеровской траекторией внутренности конуса К положителен (потому что т» ) т). Построим так много конусов К!, ..., К, конгруэнтных К, с вершиной хо, чтобы они закрыли целую окрестность точки х,. Из инвариантности винеровского процссса относительно вращений следует, что Р, (т > 0) = 1; иначе говоря, с вероятностью 1 процесс в течение положительного времени не достигает ни одной из точек внутри какого-либо из конусов, т.е.
остается в точке хо. Но этого не может быть, хотя бы потому, что Р„(гп! =хо) =0 для любого ! > О. Более тонкие критерии и примеры см. Ито и М а к к и н (1968, гл. 7). 340 3 а д а ч а 4. Найдите регулярные и сингулярные точки границы квадрата ((х, у): (х(, )у( ( !) относительно диффузии < .ь). и о этого квадрата нужно задавать граничные условия для уравне- ! дзи ди ния — — + х — =01 2 дхз ду О.
А. Олейник (О задаче Дирихлс для уравнений эллиптического типа//Мат. сб. — 1949. — Т. 24.— С. 3 — 14) доказала, что регулярные (сингулярные) точки будут одни и те же для операторов г.= — ~ а",. + ~~ Ь! — —, 2 дх! дх' дх' 2 дх' дх! дх' (матрица (ап) предполагается невырожденной). Этот результат можно получить, воспользовавц!ись теорией случайных процессов. А именно, мы уже говорили (9 12.5), что распределения соответствуюп(нх случай- НЫХ ПРОЦЕССОВ йо йг В (()С') ', (Я')! ' !) абСОЛЮтнО непрерывны относительно друг друга; значит, нз событий, определяемых по конечному промежутку времени, для них одни и те же имеют вероятность О. В частности, это относится и к событиям (т = О), (т ) О).
Локальный закон повторного логарифма (задача 9* й 1.3) — утверждение о регулярности или сингулярности точки Р .31 (О, 0) для определенных обла- Рнс. отей относительно диффузии (шь ил = Чс+!) (рис. 37). Результат теоремы 3 переносится и на этот процесс, что дает возможность перевести закон повторного логарифма на язык дифференциальных уравнений: для любой непрерывной функции ф на границе области () = ((х, у): О < у < ус, )х 1."= (1 — е) З/2у !в 1 1п у ! ), 1 д'и ди в ) О, существует решение уравнения — — + — = 0 внутри 2 дх ду (), принимающее на д() граничные значения ~р; 341 для области г-К*.
гц осгчг, ~*~чз+ ргич тже~) существует непрерывная функция ф на д)) такая, что решении 1 дзи ду задачи: — — + — = О внутри О, и = цг на д0 не существует, 2 дх' ду Результат статьи И. Г. Петровского (Епг егз1еп Капдмег1- ап!Каье бег %агше!епппнзй!е!сьппй))Согпр. МасЬ. — 1935.— Вб 1 — Я 383 — 419), касающийся необходимых н достаточных условий существования непрерывного решения краевой задачи для уравнения теплопроводности в областях вила, изображенного па рис.
37, оказывается в то же время решением теоретико-вероятностной задачи: пусть шг — одномерный винеровский проПесс, выходящий из нуля; для каких функций )(Г) с вероятностью 1 )ан) ( )(1) при достаточно малых 1? Читателю, который хочет узнать больше о связи днффузнй с уравнениями в' частных производных н теорией потенциала, полезно прочесть гл. 7 — 8 книги И т о н М а к к н н а (1968) . 3 ад а ч а 5". Постарайтесь понять, каков теоретико-вероятностный смысл неравенства Харяака; для любой открытой облости )) и любых ее двух точек х, у существует константа С токая, что для любой неотрицательной гармонической в Й функции и(х) вьгполняется неравенство С 'и(х) ( и(у) ( Си(х).
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Нужно доказать, что длн любого множества С щ лг" и любых действительных Ь, (ь ..., ( Р ((Асов(п (П + 6) -(- ф), ..., А сок (О(гл+ и) + ф)) щ С) = = Р ((А соз (пт, + ф), ..., А соз (Отл + ф)) щ С). (л) Обозначим через В множество троек (х, у,х), х ~ О, у ~ О, хщ см [О, 2я), таких, что (х сов(ут, + а), ..., х сов(у(, + а)) щ С; это множество-- борелевское.
Для любого действительного х поло. жим (а) =з — 2лй, где й- — целая часть от а/(2п). Тогда (ч) перепишется в виде Р (А, и, (ф+ с)Л) „) еа В) = Р ((А, т), ф) щ В). Теперь учтем, что (А, О) и ф независичы, т. е. их совместное распределение представляется в виде произведения двумерного и одномерного: р = р Х и, — и воспользуемся теоремой 4че ля е' Фубини. Получим, что требуется доказать равенство ~ рл (пх оу) р (з: (х, у, (з+ уй) ) щ В) = о а (пх г(у) р (х: (х, у, а) щ В), о о Но множество под знаком рф в левой части получается нз множества в правой части сдвигом на уй и приведением по модулю 2л; распределение р — равномерное, т.
е. не меняющееся при сдвиге, обе части равны, и все доказано. 2. Функции м,(Г) — неубывающие; из сходимости последовательности неубывающвх функций к непрерывной неубывающей функции на всюду плотном подмножестве отрезка, включающем его концы, вытекает равномерная сходимостгп значит, достаточно доказать, что Р (пл (Г) . мт) =! для всех Г = АУ2 . Для и ) гл имеем М (ал(г) — г)а= 24-2 ", М ~ (ал (г) — г)' л-о М (ал (() — ()з < оо.
Раз у суммы ряда ~ (пл(() — ()з л=е 343 конечное математическое ожидание, то с вероятностью 1 он схо. дится, и а,(!) — 1-лО 4. Достаточно проверить, что для любых О ( !! ( ... ( („ независимы слУчайные вектоРы !хы1, ю1, ..., ы ь ..., (и!! ы~, ..., оэ! 1. Их совместное распределение — гауссовское, и, чтобы установить независимость, достаточно проверить, что любая координата 1-го вектора и любая координата )-го, !' -ь !' некоррелированы.
5. Легко проверить, что й! — — (ю!+ оэ! !1 у 2 — также винеэх! l ровский процесс; поэтому л †! 1.1.т. ~(ю! — ы! ) (ю! — ю! ) = !=о л-1 л — 1 1-.а о-=о' л — 1 - );(41„,--!)')= !=о 1 = — [2 (Ь вЂ” а) — (Ь вЂ” а) — (Ь вЂ” а)) =- О, 2 6. Для О ( !! < ... ( ! находим плотность: где хо=го=О. 7. Расслютрим случайные векторы т1. =)З(, ! ° (ь,), ..., у... ($!)), 1 ( !' ( л. Легко видеть, что (- ° Я Па)1 л (ц/л у (1,), ..., угл Гл(1„)) == ~~ (т!! — Мт! ); ло многомерл 1=1 ной центральной предельной теореме для одинаково распределенных слагаемых распределение этого вектора сходится к нормальному с нулевым средним и такой же матрицей ковариаций, как у т)!.
(Что касается последней, то сот(2. -! . (й!) — 161 2( „,,ю) (й!)) == з Л ! — з!.) 8. Берем разбиение Х = Х, () Хо() ... () Х () ... множества Х на непересекающиеся множества конечной меры; рассматриваем конечные меры ло!(А) = лт(А () Х,); с помощью счетного числа независимых величин т!,$п,$!о, ..., тьво! йоо ., тляп я!ь строим независимые пуассоновские меры и! со средними ть Полагаем п(А) = п(А!) + !1(4о)+ 344 9.
Рассмотрим построение пуассоиовской меры и со средним т пРи помощи независимых слУчайных величин т, $ь Оь .., Чтобы и-мера какого-то одноточечного множества была больше 1, необходимо, чтобы совпали какие-нибудь две величины Ц= $ь ! /<т. Ио Р (О! а!) = (т эс т) ((х, кЦ = ~ т (х) т (бх). Для случайной меры, по которой строится пуассоновский процесс, т = а.глез, и утверждение вытекает из того, что мера Добеги от одноточечного множества равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
