А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Имеем: Аз=А! ПА2, А( =(Аг '», Аг)()(А2', Аг)! почти наверное 2 (А г) + О (Аг) = ь (А ~ '~, Аг) + О (А П Аг) + $ (Аг '', А ~ ) + + В (А, П Аг) = В ((4, '; Аг) () (Аг ', А|)) + 2К ( 4г П Аг) 2. Достаточно доказать существование конечного (а» ог,) (5л 2(,). л-ь (в 3. Задачу во много раз проще решить самому, чем смотреть в ответ. Равенство (с вероятностью !) стохастнческих интегралов докажите сначала для простых у. 4. Прежде всего нужно проверить, что оба интеграла имеют смысл.
Для стохастического интеграла в левой части: ь 2 ~ ((х, у) г(у гп(г!х) ((Ь вЂ” а)' ~ шах (((х,у)(глг(»(х) < оо. а~у~о Для интеграла в правой части достаточно проверить, что 1(х, у) к(((х) — непрерывная в среднем квадратическом слу- Х чайнан функции от у. Имеем: М 1 ~ [(х, у') $ (((х) — ~ [(х, у) к (бх) [к К = ~ [[(х, д') — [(х, у)[г т (г(х).
х При у'-еу функция под знаком интеграла стремится к О, причем она мажоригоуется интегрируемой по мере га функцией 4 гпах [[(х, у)); поэтому предел интеграла равен О, и а<у<а 1.1,гп. ~ [(х, у') й (((х) = ~ [ (х, у) й (((х). Х х Для разбиения о = уа < у( « ... у, ( < у, = Ь отрезка от а до Ь положим )(х, у) = [(х, д() при у! < у < уг+, Ясно, что ь л — ! ~ [(х,у)$(((х) ~ ((у =1.1. и(.
~~( (уг, — у!) ~ [(х, у!) $(г(х) = а [.К (-.з х л — ! =1. !.гп. ~ ~~( (у,. — у.) [(х, у,.) й(((х) = х -о -[[[ ""1 " х а прн измельчении разбиения; докажем, что этому же пределу Г ь [ [ [ ((*, (а) ! ((*(,— х а Снова пользуемся формулой для дисперсии стохастического нн теграла: )- ь е ь 1 г М ~ ) [ (х, у) ((д к (((х) — ~ ~ [ (х, у) ((у к (((х) Х а К а ь г ~ [1(х, у) — [ (х, у)[((у т (((х). Х а Функция под знаком интеграла здесь также стремится к нулю (при измельчении разбиении), и она мажорируется функцией 4(Ь вЂ” а)г шах () (х, у)(г.
Нужное нам предельное соотношение а<д<Ь доказано, а с ним доказана и вся микротеорема о возможности перемены порядка интегрирования. 5. Положим (*(Г) = )(зг) при )г( ( < й ю (((зч) в точ ке а); тогда рассматриваемая интегральная сумма есть Ь )'(Г) б5П Имеем а Ь Ь г а а ь г ь '* (г)) "' = Ъ () ( — '(г)) (") (а)) гаах гпах ()(Г) ) О<г<л цам(Г что стремится к нулю при измельчении разбиения. Вывод правила интегрирования по частям: 1)(г) ~~,=( - Х)(г.)~5,.„-5,~= л г=а а.-1 ~ю(»ь — г(>ь — г„ь, де„а — гг,з1= г О =)(ь) йь — )(а) йа- ~ 5/'(г) ма Е Для любого пространства с конечной мерой (Х, гь, р) в пространстве ег(х, Ф, и) всюду плотно множество функций Вила 1 (Х) =- Хл Сьаа (Х), А г= М'.
ЕСЛИ П-аптсбРа ГО ПОРОжЬ Ь ! дается алгеброй зб (го = о(Ф)), то всюду плотно и множество линейных комбинаций индикаторов множеств Аашза. В данном случае в качестве ль можно взять систему множеств вида К' "' М '1. 2. Легко видеть, что всюду плотно множество случайных величин вида )(нг, ..., яг 'ь г, ...,( гы т, где 1 — функция не только измеримая, а непрерывная и ограниченная. Выбирая (~ ггн Тс, Г~~ г — » Г, прн й-ьсо, получаем 1(йг, ..., 5г ) = !пп (Р)гу5 ~ьр ..., 5 <ь>).
Но для последовательности огра- а352 ниченных в совокупности случайных величин нз сходимости по вероятности вытекает сходимость в среднем. Зто доказывает пашу микротеорему. Сенарабельность Ьг~ теперь выводится из сепарабельности пространств ьз(йрг 1 ).
1"' л 3. Зто будет так для величин вида со+ с1ьг +... + с $1 л (потому что любые линейные комбинации случайных величин, имеющих совместное гауссовское распределение, тоже будут иметь гауссовское распределение проще всего это доказывается, по-видимому, с помощью характеристических функций).
Если 01 =1. !. гп. 1)1, где т)! — величины указанного вида, то сходи!И !а! а+ ' мость имеет место также и по вероятности, и «по ~1аспределе- иию», т. е. совместные распределения т)1, ..., цл сходится 1а> гь к распределению (цн..., т),). Остается заметить, что слабый предел последователыюстн гауссовских распределений -- тоже гауссовское распределение. 4*. Из непрерывности в среднем $1, (щ Т, вытекает сепара- бельность пространства Н . Если Нг конечномерно, то выбив о раем в нем ортогональныи базис т)1, ..., 1), и получаем, что имеет место прсдстанленис первого рода.
Если же это простран- ство бесконечномерно, то оно нзоморфно Ез[0,1)! зафиксируем некоторое изоморфное соответствие. Обозначим через ю1 случай- ную величину из Нг, соответствующую при атом изоморфизме о функции )Г(о г!. Величины ю1, 0 < Г < 1, образуют гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляцион- 1 ной фУнкЦией Мю ю = ~ )(!о 1! (и) )(!о,! (и) г(и=а Л Е т. е.
о вине(1овский процесс. если определить [(Е ) как функцию в Е [О, 1), соответствующую случайной величине Е1, получаем искомое представление. б. ( !!щ «и=и)= П Б П ([йл — а~ < !(т) при любом л.» т=-1 лз=а л=л, натУРальном л„Здесь все событиЯ ([ й„— п [ < 11и1) 1— = У - а, так что (!цп $„=а) гыУ >а при любом й, т. е. ( !нп ~„= а) я л-» л» гы У Для второго события пользуемся представлением П 0 П П ([й.— Е«[< !(-) т=.1 из=а л=лз л л„ 6. А щУ>+, а значит, АеУ !! з >.
Зта и-алгебра парождаетсн алгеброй Ц У 1, л!! значит, для любого а > 0 л 1 сУществУют натУРальное л=л и событие А щУ !! л! такое, что Р (А>)Ае) < а. Раз А пРинадлежит ~>л+ > — п-алгебРе, независимой от У 1, „1, то А и А независимы: Р(АА ) = Р(А) Р(А ). Левая часть отличается меньше чем на а от Р(А); правая — от Р(А)'. Отсюда ) Р(А) — Р (А)з) < 2а, а так как а произвольно, то Р (А) = Р(А)з (А не зависит само от себя). У этого квадратного уравнения два корня: Р (А) = О и Р (А) = 1. 7.
Для любого х имеем Г (к) =Р(!нп й„<х) =О или 1; а определится как точка, где Г' делает скачок. 8. Для стохастически непрерывного процесса У'1> г.> содержит, во всяком случае, события, отличающиеся лишь на множества вероятности О от событий и-алгебры У =и так что в случае вннеровского процесса для У 1, >+> закон Π— 1 не будет выполняться. Для того же винеровского процесса и и-алгебры У'<от вЂ вЂ У >о о+1 'в $ 9.2 доказывается закон 0-.1 Блюменталя, Для пуассоновского процесса тривиальность и-алгебры У о+ доказать совсем легко. Еше пример. Процесс с двумя траекториями: Р (Ч = Р(Ч> = >) =1!2 У>о,о+>=У>д>э>=У-г " в каждой из этих и-алгебр есть события вероятности 1/2 ~ О, 1.
9. Н(, з > порождается ортогональными векторами 1, $ь йь ...; произвольная случайная величина Ч ~н Н. + ортогональна $ь вь ..., а значит, пропорциональна 1. в 3.2 1. Самому так самому. 8 8.8 1. Последовательность Ч = яр» Ч имеет ортогональные прин ращения: она ограничена по норме: 1(т>„11 < (!т>1!.
Значит, существует предел Чед обозначим его Ч . Из Чл ш Н„= Н вытекает, что Ч са Н . ь>тобы доказать, что т> = пр» Ч, остается проверить, что (т> — Ч, Ч) = О для т> ш Н . При т ~) л имеем (Ч вЂ” Чть Ч)=О дла ЧгпНгб УстРемлаа гл к со, полУчаем, что (Ч Ч Ч) =О для т> ш Н„. Это означает, что (т> — т>, т>) =О для всех Ч ~ Ц Н„, и доказательство заканчивается переходом л=-! к замыканию. 2. Расстояние от вектора до его проекции непрерывно зависит от вектора. 4.
Ианлучшая оценка: Ч =1. !. пт. М (Ч ) а>, .... а> ) прн не. л-ь котором выборе последовательности >ь ., >„,, ш Т Но в случае совместно нормально распределенных случайных величин условное математическое ожидание одной из них относительно других есть линейная функция от иих. Иначе говоря, проекция г) на л(г г ) совпадает с проекцией г) па 2 лг,г г, и принадлежит Ггг. Значит. также и г! ш11г.
го- л) 1. Производная стационарного в широком смысле процесса, если существует, всегда имеет нулевое математическое ожидание. 2. В случае непрерывного времени с, 2 ! И ф г(Š— ш !х — 1~ 3 г,-г, =2(тх — 1~) !((е ~ [(!х — Г,) — и] К(и)г(и-ьО, о г если только йш ! ' ~ К(и) пи =О.
г-э о 3*. Смешанный момент находим как г, ! ! й, Кч(з) = Мц,+„ц„— Мч,+„М)„= К(Г)'+ К(.)' + + К (з + Г) К (з — !) — К (Г)' = К (з)' - К ( + П К ( — П вЂ” О прн ь -э оо; рассматриваемая оценка состоятельна. й 4.2 1. Спектральная мера складывается из дискретной меры со значениями тх/4 в ' точках ~Л и из абсолютно непрерывной ! ! с плотностью — ! (Л+ Л) + — ! (Л вЂ” А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
