А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 67
Текст из файла (страница 67)
(Случай се = 0 — это процесс, тождественно по 1 равный одной и той же гауссонской случайной величине.) Корреляционная функция К (т) = о е ; спектр также т -га)т . легко вычисляется. 1. Во-первых, С~:-Аю любая непрерывная на [О, со) функция равномерно непрерывна на любом множестве вида Тэ() [О, /У[. Далее, если А =. С, А щ Я'~'(Х!ц !), то Аэ а А. Действительно, предположим„что х. щ Аы что означает, что для любого й) функция хь / щ Тэ [) [О, й/), равномерно непрерынна. Продолжим эту функцию непрерывным образом на всю полупрямую [О, со); обозначим полученную функцию через х .
Так как принадлежность функции множеству А определяется лишь ее значениями ! на Те, а х ~:— С ~: — А, то функция х., совпадающая с х на Та, также принадлежит А. На нам и нужно было доказать, что из х. ы Аэ вытекает х. щ А. 2. Равенство между множествами доказывается всегда одинаково: из того, что функция х. принадлежит одной части, выводится, что она приналлежит и другой. 3*. Доказательство этой оценки н всей теоремы 2 (а также следующих за ней теорем 3, 4) можно прочесть а книге Д ы нкина (1959, гл. 6).
См. также Гихиан и Скороход (1965, т. !Ч, й 4). й 9.2 1. Достаточно проверить, что для любого А ы У <т+ (в частности, для А =(З) А() [т<»1) щ У ы Но для 0<»1 < 1/2" это событие вообще невозможное; для больших !, так как т„ принимает только значения, кратные 2 ", имеем (т„<» Г) =- = (т«(»й/2 ) = [т < й/2"), где й/2" (»! < (й+ 1)/2".
Поэтому А [) [) [т«»<1) = АЛ(т < й/2") ен У „(здесь используетсн ре< я/т зультат задачи 5 4 6.1), а эта и-алгебра является частью У < ю 2. Если 1 т/, то Зт — ьЦ для всех нп в силу непрерывности / ктсе /(З, ) — ь/(й ), и, пользуясь ограниченностью «) осуществляем предельный переход; Р "/(х) = М./ [ьг ) — ' -ь М„/(~,,) = Рг/ (х). 3. "„[г(х)=«, й, )~Г) =Р„[$, = ...
= З„!=х $„~ е Г" [хЦ = Р (1, х, (х))" Р (1, х, Г'~, (х)). 4. Положим т«=ш!п(й/2«: 5 «~ хт! легко доказать, что з/з т" 4т(х) при всех ы (используется непрерывность справа). Пря ЗТЗ 1 ) О имеем (т (х) ) 1) = П (тп) 1)! позтаму Р [, (.) .1) В Р [, »~~1) ! ш Р (к»~~ [2»1[г2») л.+ о л -+ — 1пп Р,($ и — ~ л ... 3[ л [7» — х)— !1ш Р (П2« х, (х))[т г[= Вш Р (1)2», х, (х) )з г= п.ь л-+ с =! Р„(.(.) ~ 1Н!. Получаем показательное распределение с параметром Л (х) 1)ш 2л 11п Р (1/2« х [х))[ л-+ 2+ е — 312 б.
Имеем Л(1) = !пп 2» 1п = Вгп 2»[ !п [!в л-+ 3 и.+ — 1/2«+ о (1/2»)[[= 1; аналогично Л (2) =2. 6*. Воспользоваться тем, что Мхт( „1>г [($1„!)= = 1пп Мх)( л [Га «1, где [шС, а обозначение тп — то же, — ° (. ~г) (,) что при решении задачи 4. % 10.1 1. Элементарно 2. А=( ). 3«, 4», б*. Решения не приводятся; чта касается задачи 4, см. доказательство теоремы 1 $ 11.2. 6. Продолжим произвольную функцию [, заданную на [О, со), четным образом на левую палупрямую, положив 1(х) = [([х[), х ш Ю Легко проверить, что полугруппа Р', связанная с вине. ровскими процессами с отражением, задается формулой г Р [(х) = Р 7 (х), где Рà — полугруппа, связанная с семейством обычных винеравских процессов на ( — со, со).
Если см Срт1„„[0, со), 7'(О+) =О, то 7 зи Сгз! ( — со, со), откуда вытекает, что определено А[ (х) = Вгп( ! (Р 7 (х) — [(х)) = !та =1ппг г(Рг[ (х) — [ (х)) = — [и (х) = — [" (х) при х ~ [О, оо). сеа 2 2 Аналогично для процесса с остановкой в муле: полагаем [с(х) =[(х) прн х вО, [с(х) =2[(0) — [( — х) прн я<0; палугруппа, связанная с ш~гз, задается формулой Р '[(х) =Р [ (х); для [смС(~! [О, со), [п(0+)=0 функция [ее С(з) ( — со, со), откуда все следует. 374 Р 1 = Ро! + 7. Необходимость ясна; достаточность: + ~ Р А! оз = 1.
о й !02 2. Для ! <и В требуется доказатзч что Р зхх) — ь )7х!' прн Ь О О. Имеем Ра)! 1 )э )=ела ~ е-хзРз)лз ~ е-хауз!з(з л о Добавим и вычтем ~ е ~~Р~! оз; получим И )) гио — | ! с а" — а $ ) .-'ты ге .- ) ~ *-'тт з $ с ((еье — 1) Д ))Щ + Ь $))! эмО (й ф 0). 3. Выберем б ~ 0 так, чтобы !) Р') — !' ! ( е/2 при ! = б; тогда о ! зз — П )~) '!зч — ~!ч с ) '1га — Очз а о + й ~ е х'!) Рг) — ) 1) о(! ~ е)г + -зл. 2 (!) )!. При достаточно больших )а зто будет меньше е. 4. Во~ й В~ Л!хВо; ЙхВо всюду плотно в В, а )!  — и подавно.
5. Что )Ул => С1„1,„, мы уже выяснили (задача 4 з 10.1); нужно доказать, что !зл ыСр,„н. Прежде всего любая функция, (2) задаваемая формулой (3), равномерно непрерывна, потому что )! Г(х) ~ о ч6х !и-к)зйп (у х) 1(у) пу и эта производная ограничена по норме константой у!2~Я))з!!. Отсюда Во щ Ср.„(см. предыдущую задачу). Для непрерывной 375 ограниченной [ получаеи далее 2(2 — В [(х) = 2(хз = — 2((х) + ц/2Л ~ е «»эл!""'"1[(у) ау.
Любая функция Р~()л представляется в виде К2 (, (шВΠ— С Р»ВИ' откУда 2 У = ЛУ вЂ” [»н Сра»к' г ен Ср»вн 7. Ясно, что !из 17», А) =- О. Далее, в пространстве С[0, 1] всюду плотно множество С~'-' [О, 1]; докажем, что в этом множестне всюду плотна область определении (7» = С"'[О, 1]П ([: ( (О+) = — ['(1"-) = 0). Существует Функция й 2= С~21(0, О»), лежащая | между точками 0 и 1, равная тождественно единипе в какой-то окрестности точки 0 и нулю вне неко~арой большей окрестности точки О. Пусть 2 2ш С"'(О, 1]; «исправим» эту функЦию, пОлОжиВ 12 (х) = ((х) .. ([(х)— — ((0)]й(х/е) — (((х) — ((1)] й((!в — х)/е) Эта дважды непрерывно днфференцируемая функция близка к [, а в некоторых окрестностях точек 0 и 1 обращается в константу (рис. 42). Выведем принцип максимума. Если [(х) максимально во внутренней точке отрезка, то в точке максимума (' = О, (" ..
О, ! А[ = — (»(~ О. Произвольная функция из С"'(О, 1] может 2тринимать максимум в граничной точке и при этом иметь положительную вторую производную; например, [(х) = х+ хй Но от функций из 71» требуется ('(О) = ('(!) = О; поэтому, скажем, вблизи точки 1 имеем ((х) = ((1)+ (х — 1) 2("(1)/2+ о((х — 1) ), и если бы [" (1) ) О, то в окрестности точки 1 было бы ((х) ) ~ ((1). Докажем, наконец, существование решения уравнения 1 ЛУ вЂ” Аг" = (, т.е. уравнения ЛК вЂ” — У" =(с граничными усло- 2 виями Е'(0)= г"'(1)= О, для любого [~С.
Какое-то решение 1 уравнения Лг — —, г»= [, конечно, существует, но спо не удо- 2 влетворяст граничным условиям. Обозначим произвольное решение этого уравнении через Р и будем искать г" в виде г" плюс 1 решение соответствующего однородного уравнения Лу — — у" = 2 = О. Обозначим через дь уз любые два линейно независимых решения однородного уравнения. Мы хотим найти функцию '76 Р(х) = Р(х)+сгуг(х)-1-свуз(х) такую, что Р'(0) = Р'(1) = О. Отсюда для сь сз получаем систему линейных уравнений сгу1 (0) + сзув (0) = — Р (О), с~у, (1) + сзуз (1) = — Р (1). Мы могли бы выписать йо уг в явном виде и проверить, что определитель этой системы не обращается в нуль при Л ) 0; но это вытекает из более общих соображений, а именно из того, что в силу принципа максимума решение единстг~енно. Значит, решение существует при л1обой правой части.
и 10.3 1. Выделим конечное покрытие пространства Х окрестностями (/е/з(х~), ..., (/ /з(хч). Для каждой точки х, возьмем неотрицательную функцию /;с=Вж равную нулю в (/мз(хг) и положительную вне Ес„/з(х,.). Для любого б г 0 существует йа ) 0 такое, что )/ (Р /, (х) — /; (х)) — Л/г (х) ! < б гиги (/г (У): Усы Ут,/з(х.)) при 1<(1<~о, хсиХ, /<(/г . Если х ив (//з(х ), то /г(х) =О, А/; (х) = О, н Р'/; (х) < /б ппп ((г (У): У ~ )гзз/з (хз)); отсюда Р(Г, х, У (х))(~ Р(Е х, Усе/з("г)) < б/.
2. Проверяется условие микротеоремы 2 (рис. 43). ДКД Рнс. 43 3. Вытекает из ))Р~/ — /)) = ~ Р'Л/г(з <Г))А)) )1/1). 'з с й. При ге 0 имеем Р (1, х, Г) = Ргйр (х) = (Е+ /А + о (1))Х Х хг (х) = )(г (х) + /А (х, Г) + о (г). согласно задаче 4 4 9,2, Л(х)= (пп 2")1пР(1/2",х,(х))) =)А(х,(х)))= — А(х, (х))„ л-ь Далее доказывается, что Р, (й 1„> щ Г) = 11гп Р (1/2", х, Г)/[1— — Р (1/2", х, (х) )), где à — измеримое множество, не содержащее х. Числитель здесь равен (1/2") А (х, Г) + о (!/2"), а знаменатель эквивалентен (1/2") Л (х). Отсюда и (х, Г) = А (х, Г)/Л (х). 7.
Представляем Л в виде  — аЕ, где В/(х) =а/(х+ 1). Р)меем сгл егв-агд е-агвегв „,— ег(Е 1 /В 1 (зВх/211 отсюда е л/ (х) = е вг (/(х) + а// (х + 1) + а 1 / (х+ 2)/21 + ...) = ~ Ч(а/)ЭЕ-ес/(й)) /(Х+ й). а=в Этой полугруппе соответствует семейство пуассоновских процес- сов с незавнсимымн приращениями. ! ч 9. Нужно найти меру р такую, что ~ р(с(х) — Сч(х)=0 2 о при всех С ~ Рл. ! Возьмем усы С[0, 1) н положим дз(х)=у(х) — ~ у(у) ду, о к Ь (х) = ~ дз (у) ду, ( (х) = 2 ~ Ь (у) ду.
Легко видеть, что С си Р, о О ! потому что Ь (1) = Ь (0) = О. Поэтому 0= ~ р(!Сх) уз(х) = о ! ! ! = ~ р (Ик) у (х) — р (О, 1) ~ у (у) ду, нлн, иначе, ~ у (х) (и (дк)— О О о — р(0, 1) дк) = О. Так как у — произвольная функция из С, то мера со знаком р() — р(0,!)Слез( ° ) равна нулю, т.е. инварнантная мера с точностью до множителя есть мера Лебега. 11. — д! Р удз=Р йй с другой стороны, А д! Р д Из = д ( Я дС 3 О О 1 [, ('„. )гэь~ ИФО О О 1+О 1 1+3 л ках здесь равна ~ Рзудз — ~ Рзддз = ~ Раас(з — ~ Рза Из, Л о 1 о 1 откуда А ~ Рай да = Р д — д. О Единственность решения. Положим о (х)чч = ~ е ~ о(С, к)!СС! интеграл скодится при Л) О. Прн пре- О образовании Лапласа задача (4) †(5) превращается в уравнение Лох — Ась — — Л ~у, решение которого единственно.
ГС .!- г!*!-г!!*!!- ч,(...((.С!Сл~-фС!! < О ((е11с1 — 1)!!С((. Отсюда 11ш ~~ Р~) — ()) 1пп )) Р ) — Г!), н мно- СОО С+О Оуй жества функций 1, для которых эти пределы равны нулю, одни итежедляр иР, -с с г' яе-я,[-,)11 Ва«)~ПС+ о с 7 +( ~() зо~ )«ц)«*1. о с 15.
Ясно, что интеграл предсказуем и имеет ограниченную вариацию на каждом отрезке (О, 1), Докажем, что 1(ь«)— с — А)(В«) аз — мартингал. Во-первых, эта случайная функция о измерима относительно У < Р Во-вторых, м ~~п) — (Ак~ю~ $«,1- Π— — ) «чц~ +я,яцз~«,1 — м ~) «чщ«,~«,~ (ч О 5 почти наверное", в силу марковского свойства второе и третье слагаемые равчы соответственно Р «1(я«) и и« вЂ « С вЂ” « — М1 ~ ~ А)(~ ) Ии ~ = — ~ Р" А)(~,)аз. Пользуясь тем, что о о Рг «1(у) — 1(у) = ~ РяА1 (у) ~Хи, получаем, что имран«ение («) о й 1!.2 2. Уравнение для плотности ипварнантной меры имеет такой йр откуда а — — бур = сопз1, (у + 01.
Неопределенный интеграл 1 а Г «(р вид: — — ~ а — — Ьур1 = О, 2(у~ ду р (у) =Езя(1та1 ~С $ Е Ьяуфю 1 379 почти наверное равно 1($ ) — ~ А)(1 ) «(и. о Если выполнено марковское свойство относительно какого- нибудь неубываюптего семейства и-алгебр У т ~ У -г (см. п. О с 5 8.5), то ~ А1'(а«) ыз оказывается компенсатором (Я~) относио тельно У «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
