А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Имеем А П (т = л) ~ У, и й,дР= ~ ),„д < ~ й„д ЛО)т-я) л 0(т-в1 лй)т=-«1 в силу формулы (5) 2 7.1. 2. Докажем, что ~ асс)Р~ ~ аа ЫР для любого А см а т. А А Повторяем доказательство микротеоремы 1: ~ иа,/ ~~ ~ ~й А »=! й п АО!т=п, а й) $п с/Р— ~ $л с(Р + »=1 ЕАО!т=й) АО!'с-».
а>л) + 1 ~„„А~- ... + 1 18РАО [с=и, а>л] АО! -п,а>й — Π— 8, !Р+ ... + ~ ~,,)Р~» АОВ=., а>18 АПВ=п, а>М вЂ” 1) ~„АР = ~к,АР. п 1 Ап!с — - с) 3. Имеется тысяча различных способов доказательства; в частности, утверждение вытекает из (зезультата п. 4б) 5 8.5. 4. Положим ти = ( [2»т) + 1)/2 /! л; ти -и т пРи и — ь ли, причем, начиная с некоторого и, ти > т.
Поэтому 8, = !пп ьт, и и и л Мэ = М )пп ьт (~ 1пп М5т (» 1пп Мбе= М8е (используем то, и-» л-и что тп — марконский момент с не более чем л.2» значениями). б. Положим т = ппп (!; шс= а или Ь); т, = с Л й/. В силу микротсоремы 3, Мш = Мш = О. Величины ш ограничены е тм по модулю константой ) а ) Н ) Ь !, и Мв = !1т Мв т йс ти — 1!п1 Мыс = О. 11о Мв, = а. Р (ге = а) + Ь . (1 — Р (в = а)), откуда Р (се = о) = Ь/(Ь вЂ” а). св)/2 саа/З 8. Р ( гпах ! а л ) > Ь) ( Мс 1 е; математическое о<с<! ожидание равно 3! есх/та "/~ лсх= (1 — с!)" '/ при с < 1/!.
.~/2п ! Минимуи (! — с1) е по с достигается при с =!/! — 1/Ь -.11З сас/1 2 (если ! < Ьс) пр Г > Ь' это выражение тем меньц1е, чем меньше с > О). Получаем Р( шах ~ га 1 > Ь) (.~/е!/б с /!зс) при е<,--1 ! < Ь' (при ! ) Ьз получается только тривиальная оценка: вероятность ( !). 7*, 8'. В задаче 7* (с берется очень близким к 1, н задаче 8*, наоборот, — очень большим. 9*. Можно повторить решение задач 7', 8*, а можно воспользоваться тем, что й ь = Гюю — другой винеровский про есс. 1О . Вытекает из задачи 9 и абсолютной непрерывности ь ц распределения 3~ на конечном отрезке относительно распределения шь (задача 15 5 5.3).
9 74 1. Полагаем Уь = У ь, где й пробегает асс целые отрицательные значения; М (3 ! Уа) — мартингал относительно этого не. убывающего семейства а-алгебр. Существование предела вытекает из теоремы 1 так же, как при доказательстне теоремы 2. Доказательство равенства интегралон еще проще, чем в этой теореме. 2*. )ю — хз~'' — супермартингал с непрерывными реализац; р М()ш — хо)"')=М()ю — х ~ )= — !х ) ' < ь>о при х, ~ О. Поэтому с вероятностью ! существуют Ит ь-ь — х ~ и конечные пределы ) шг — ха ) справа и слева в каж— ! -! о дой точке ! )О.
Отсюда вытекает, что с вероятностью 1 ( ш — хв( <со при всех!)~О, т. е. ш,~х ни при каком Г)О, Для хь = О можно взить супермартингал ( ш ) . ! ) 6 > О; так — ! как зор М)ш ) '=М)ш ) = „З! — е !"!11~)Ых < а = (2пй)з,'з Зь (х( л' < оо, то к этому супермартингалу применима теорема о сходимости, и с вероятностью 1 ю! ~ О нн прн каком Г)й) О, т.
е., в нонце концов, ни при каком положительном д Далее, (пп (ш — хо) = О почти наверное, потому что са. — ! г-ь отнетствующнй предел по вероятное~и 1пп (Р) ~ ш — х ~ ра! -ь о вен О. Это означает, что почти наверное )шь) со при 1-ьпо 5 8.1 !. Решение — просто выкладка. Матрица Р была построена как е1г -ь! = Е + (! — з) А/!! + (à — з)з Аз/2! + ..., где А = =(' ') 2.
тгн = т!ячь„; аз„= тгяа~г + а!я. 3. Переходная функция имеет вид Р( 1 1) 1 — !к-х)9!211-5!! ! Ч(2п (1 — з) ! Г при 1) з (естественно, Р(з, х, з, Г) = 6,(Г), как для каждой переходной функции). Доказать, что эта марковский процесс, легче всего, пользуясь конечномерными распределениями (см. результаты $8.2). Зо9 13 д Гь Вектпеаь 4. Нужно найти Р (ь( е Г ) У < з) Ы Р (к (и Г ~ й ), з < 1 <0 (для з = 1 искать переходную функцию, конечно, не надо, так как зто мера, сосредоточенная в одной точке — тачке выхода).
При 1 = 0 рассматриваемая условная вероятность, естественно, равна бз(Г). При з < 1 (0 пользуемся двумерной плотнсстью винеровского процесса: Ра 1 (х,У)= 1 — Уд(2( — (й -(х — д)'1(2( — зтт)) йм ~( ~/2л ( — 1) ~/2л ( — 2+1) Получаем, Рй (У)$ =х)=Р( 1 (х,д):Рй (х)= -и/(2(-())-(х-др)(2( — з+(В . Ч/2л ( — 1) )1 2л ( — з + 1) 1 — х'1(2 (- з)) у'2л ( — з) 1 ехр ( — (у — (1/з) хРД2 (1/з) (1 — 2))).
'~/2л1 (1 — 5)12 Иначе говоря, условное распределение Вг прн условии, что $, = = х, — нормальное со средним (1)з)х и дисперсией (1)з) (1 — з), 5. а) Да, Р (и, х, п+ 1, Г) = ~ р (у) йу. г б) Да, Р(л, х, л+1, Г)=~ р(у — х)йу. Г в) Нет. Действительно, при х > 0 условная вероятность а Г Р )Я. > 0! Б =О, 5+) — — х) равна интегралу ~ ~ р(у — х)Х а Х р (а — у) 2(у их и, естественно, зависит от х. г) Нет, потому что для х >О условная вероятность Р(пз > > х) т)2 =х, т)~ =0) будет другая, чем Р(т(*> х) ты =х, 21, =х): а * первая равна ~ р(х) г(г, а вторая ~ $ р(д) р(х — у) йд г(я.
а — з т. е. меньше. д) Да, Р(л; х, у; и+1) "Г) = ~ р(х — у)йа, если Г'О( —, к) à — подмножество прямой ((и, о): и = х), задаваемое условием на вторую координату а ен Г'; Р (и; х, у; з + 1; Г) = р(г — д) йх, если à — подмножество прямой ((и, о)) г'О (х.
) и = о), задаваемое условием и = а ы Г'; н Р(п; х,у; л+ 1; Г) 370 = 0 для Г, не пересекающегося с указан мн дВумя прямымн (точнее, лучами). См. рис. 40, где нзоб „два луча, на которые можно попасть из точки (х, у) ф пространства ражены Фазового п (имеет смысл рассматривать только точкфаз с у я- х). Доказательства не приводим. я 8. Изобразим траекторию случайного процесса на чертеже (рис. 4!). Зтот случайный процесс — не марковский, так как, з~ (жу) например, условное распределение Яз.з при условии, что Вз,я = и, а Яз,з = и, сосредоточено в точке 2и — о, а эта точка зависит от о, чего не могло бы быть для марковского процесса.
Рис. 48 7. Приводим только переходные функции. 2, 3, 4. Переходные плотности р(з, х, 1, у) соответственно 1/~/2п(! з) е-(з-з) 82(з — з)) 1/(2п (! з)) )2« — (з — з]92((-з) я (! — з)/((! — з) +(у — х) ). Рис. 41 5. Для процесса Р„(Р ' (!)) переходная функция Р(Я, й/а, (, Г) = ~~( С„" ) ( ) ( — ) бда (Г).
ь 7. Р(з,х, (, Г)=е (г з)3„(Г)+а(! — з)е а( *~ба+~(Г)+ + (а(! — З))'Е «('. '~((2]ба+2(Г)+ ...). 8. Матрица вероятностей перехода: (1 -(- е та (З -з))/2 (1 — е за () — з))!Я2 з) (! — 2а(à — з))/2 (! ! -2«((-з))/2 ) 9. Переходную функцию можно задать характеристической функцией прирашения 3(, — 3(, т. е. ~ Р(), х,!', я(у) е(*(" найденной в задаче !1 8 1.2.
8. Переходная плотность р(я Х ! у) — [ — П) — з)у(2(З-з)) ! -(З+к)Ч(2((-з))). ч((2я (! — я) й 8.3. 1. !! Р" )! ( 1; норма операторов в В не меньше 1, так как Рз(1 = 1; норма сопряженных операторов та же. 371 13* 8 8.4 !. Система всех А, представимых в таком виде,— и-алгебра; она содержит все события вида (яг я Г), 1 » з, Гам то, 2.
Левая часть в силу формулы ((7) $8.2 есть почти наверное Р! ь (Вг В); в силу (!) это то же самое, что Р! (В). 4 8.6 !. Переходная функция Рэ(1, х, ° ) процесса с остановкой в нуле состоит из части, сосредоточенной в точке О, и абсолютно непрерывной части; пользуясь принципом отражения, находим ее ! 1 -!Э ИЛЫ! — !я+к!дюж плотность: = (з ' — е ) Для доказательцlзяг ства того, что (ю~1, Р„) — марковское семейство, пользуемся простым марковским свойством. 2. По индукции доказывается, что т„ — марковские моменты, причем на множестве (т.
( со) выполняются соотношения „„= „+О,т,,;, „=8,(,. Далее, переходной функцией цепи цч должна быть функция Я (й, х, Г) = Р„(й е Г~, х~ы У, Г ~ У; Я(й, х, (~)) = Р„(т = ~), к != У; () (й, *, Г) =6, (Г). Марковское свойство для этой цепи состоит и том, что почти наверное должно быть Р„(ц„,ьщ Г!цг ", ц„) =()(й, ц„. Г).
На множестве (ц = ч) зто очевидно, на (ц чь *) = (т, С оч) это следствие строго марковского свойства для цепи $~ относительна марковского момента т„. Конечно, сам факт горазда очевиднее до доказательства, чем после него. 3», Характеристическая функ!гия ть — т„О ( а ( Ь, задается формулой ехр ( — (Ь вЂ” а) ц1! я ! (! — 1 зйп г)). 4 8.6 !. Если à — компакт, та переходная вероятность Р(1, к, Г) — ь -ь О при 1-ч- оь; для любой конечной меры р интеграл р(с(х)Р(1, х, Г) — ьО при 1-ьсо. Поэтому если р — конечная инвариантная мера, та р(Г) = 0 для любого компакта, и р — О.
Для меры Лебега в 1~', ) ь г ь *, г) - ( ~ (( р, *, ) ь~- дг 'ьг ~ р (1, х, д) с!х ~ Ну = ~ Ыу = тез (Г). и Еи» г 2. р(!) = 2с, р(2) = с, с ) О. 3. Любая конечная цепь Маркова более чем с одним классом существенных изменений. 4. Ограничимся случаем нулевого среднего. В силу задачи 2 $ 8.! дело сводится к тому, чтобы найти все непрерывные чис- 372 ловые функции глп ап 1~>0, ог)~0, такие, что юг+ =я'щ, 2 2 пг+з —— шгп, + пг Кроме того, требование существования гауссов. ской инвариантиой меры — скажем, с параметрами (О, оз) — дает еще условие о =т!о +по Отсюда получаем т = е, а) з 2 2 2 — а! )0; пг — — и (1 — е " ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
