А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 68
Текст из файла (страница 68)
при а > О, Ь < 0 не огран ичен ни сверху, ни снизу, поэтому из положительности меры вытекает С = О. Отсюда р(у) = Ре "/! ) т.е. бв'/!за) с точностью до множителя это — нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией а/(Ь). При Ь > О конечных инвариантных мер нет. Зт. При фиксированных з, х, ( переходная функция р (з, х, С ) — нормальное распределение со средним х(1 — !) с : (1 — з) и дисперсией (1 — !) (! — з)/(1 — з); Ь(з, х) = — х/(1 — з), а(з, х) — 1; с процессом связан дифференциальный оператор д 1 дс х д — + — †. — — †. Уравнения для переходной плотности дз 2 дхв 1 — в дх' р(з,х, й у): др 1 др х др — + — —— =О, дз 2 дх' ! — з дх Результаты 5 1!.2 не применимы непосредственно, потому что процесс не определен прн ! ) 1 (с этим легко справиться) и потому что коэффициент сноса имеет особенность при з = !.
Однако достаточно легко проверить, что уравнения все же выполнены (возможный пусси заменой переменных превратить полуинтервал (О, 1) в (О„ов)). Контрольный вопрос: какому уравнению удовлетворяет функция и (з, х) = М (/(2(1/2)) ) 2(з) = х) прн х < 1/2? $12.1 1.
Пусть 0~(1~ < !з < ... < !л; функции т, . (!) принимает на каждом из полуннтерввлов (О, !,], (!р Я ..., (!„р 1„] постоянное (случайное) значение, а прн ! > сн тождественно равна л нулю, Имеем (считая ?,=0): ~ у< (!) двс = ~~ у(, с ) Х О ! з Х (всс „! — вс,). Когда т принимает значение гн стохастнческий интеграл оказывается равным (вг — вс ) + /вс — вс ) + о) ( з с) + (всс "г,,) = в!с 2. Пример: т — первый момент достижения точки 1; Мвс = М 2 3. Если Мт < со, то Мс =Мв =МЬз(А + с)=ЬвА+ ЬзМс. При Ь < 1 получаем Мт = ЬхА/(1 — Ь'), при Ь > 1 — противоречие. 4*. Сначала доказать, что М(т Д М) <.
РА/(1 — Ь'). б. Повторяетси с очевидными изменениями решение задачи 5 $2,2. 2 12.2 1. Требуется проверить, что г" мв,.англ-чь ти[[ !с. )гц, ) *~я ы]. ьс Имеем: М [%-~г.! УГ) = М [т1г4г + (Ъ- Чг ) ~г + + з1Г(1г 1г ) +(Чи т1п)(~м С~ ) [ У и[= = т1,,"и + йпм [ти — т1, ~ У и) + з1,,м [кг.
— "„, ~ У и) + +М [(т1ы — ен )(~с ь~ )[У с1; далее пользуемся тем, что М [т1,„— т1Г ) У Г] = М [~~ — ~ и ! У и) = Гь 2. Без ограничения общности мы можем считать, что 1' = ГГ, 1" = Г, Проверяем (4): рассматриваем Представляем это условное среднее в виде суммы по г', 1' условных средних отдельных слагаемых. Слагаемые с 1(1 представляем в виде условного среднего от условного среднего относительно о-алгебры У , и они обращаются в нуль; точно так же слагаемые с 1:ь 11 Слагаемые с 1 = / дают ! М [[ ~С„° ).(. ° >Г,~ е,ы].
в!23 1. Для стохастических интегралов используем неравенство Колмогорова: ° М $! 1Ю1 (и, ы) — 1(и, ы) [эйли/(е12)~ — >О: О 381 для лебеговских; 3 8 .Х ... ~(,,.-,. („...,.„!,.,~, ~ о~а~ 1 ~ 1о о ч.((~гп,..н-гь,е~..ь1~~ О. Са с 2. ~ Оы(и) Нам(и) — ~ 6(и) г(и ( 3 з г 1 Ч ( ~ ~ ( ) — з( ) ~ ь ~,) + ) з(,) ~, ( ) — 1 г( ) /. Первый интеграл ие превосходит знр) Ом (и) — О(и) ((ат (1)— и — ага (з)) -ь б при лт-ь со; разность интегралов по ам и по и стремится к нулю, потому что функция 6 непрерывна, а из равномерной сходнмости функций распределения вытекает слабая сходимость. г 3.
Применить формулу Иго к ехр 4 ~ 13 (з) Нюз— (о с 2 — — гзд (з) г(з, где г = гп1п 1~(Т: ) Нге— 2 3 ~тм о — — ~ гзбз=У 1 Г 2 о $12.4 1. Предсказуемость стохастического интеграла кан функции верхнего предела — см. $ 2; обычного — задача 3 $ 6.2. Оценка М ( е(н1(з, М ! 31н1 !з ~ 2 г 2 ~ЗМ(ц (з+ ЗМ ~ а(фф '))г(ми + ЗМ ~ Ь(51и" ~1)г(и 3 3 ~ (ЗМ ) т) )з+ 3 (гз + г (1 — з)) Кз ~ г(1 + М ! $1и" Ц Ц би (аналогичные оценки проведены подробно при доказательстве теоремы 1). 2. По неравенству Коши — Буняковского (2 М( +[ [и (о>)+с ш> (1))+ ... + [В(+ ) — 2М))+ ...
Р(М [(Ч(2+2[В(') — 2(О) [2+ +4[~(2) ~(1)[2+ +2 +1[Ц( +1) ~()[2+ [У )(' [1+ 1/2+ 1!4+ ... + 1/2л~~+ ...) »(2М [! + ) т) [ ] Х х[~«Б с«с«Ьлс'« — с«с' — 1«" 'Сс.-.'~н. л 0 3. Имеем с 2 М ~~', — ~с ~2<2М ~~о[4.) — о($ )]Х(т (и) бшл + .««л [1~(1:)- (1.)1« „11«(« (ЛЯ » (2Б' (г' + г (С вЂ” з)) М ~ ) 5„ — Кл ! ((и »( С (2 '("+" (' — ')) 1 М!В Л вЂ” Ь Л Гс(н. Начиная с неравенства ~СЛтм-И Лт,~'»(Л'* по индукцнн получаем нужное неравенство. Из него получаем М[2 л — ссл ~ 4 0 (так как л можно взять сколь угодно большим). Значит, почти наверное с(=ос прн С(»тл, а так как ЛС тоже можно взять сколь угодно большнм, то и прн всех г. 4.
пусть $(л), з — последовательные приближения, сходя«(л) шиеса к зс, вс соответственно (хзс = — Ч, з = — Ч ~~ Имеем l Г (в) «(а) с') с(л+1) (л+ и 12 ( Вс »(ЗМ [Ч вЂ” Ч [ + ЗА (г +г(С вЂ” з)) ~ М ~~„' ) — ~(л)~ с(м, откуда по индукции получаем М ) ~г — ~[г! ( (ЗМ [ г!' — тг( [! + 31. [г (1 — з) + г (1 — з) ~+ + (31.' (гт (1 — з) + г (1 — з)з))а12!+(ЗЕ.а (гз (1 — з) + г (1 — з)з))"/л!]. Предельный переход приводит к нужной оценке.
$ !2.5 !. Сначала докажем формулу (!) ллв функций 1, являю. щихся индикаторами множеств из Я' Х У: требуется доказать, что почти наверное Р [ыг (т)(ы), ~рг(ы))гп А [ У г) =. Г г(т!), (*) где х" „(х) = Р (ы: (х, ы) оа А), А ьч Я' Х У . Правая часть измерима относительно У г! по определению условного среднего (*) означает, что длн любого С гп У г Р(С()[кс [г) (ы), ~р (я)) гн А)) = ~ х" (т!) Р (г(ы). (ее) с Обе части здесь -. меры как функции от А, так что достаточно доказать эту формулу для множеств А из некоторого полукольца, порождающего о-алгебру Я'ХУ. В качестве такого полукольца возьмем систему множеств вида ((х, .)гх !';юг (и) Г!, ..., Ыг ( ) -1'н[ где Г, Гг..., Ä— борелевские множества.
Для множеств из этого полукольца Р(х)=дг(х)Р(ю гырп ..., ю, гпГн); (* е) принимает такой вид; Р(СПут)г=Г~П[юг г югг=Г!, ..., нгг„г ю щГ ~)= =Р(юг ГГ ..., юг Г„~ ~ )(Г(г)) г(Р, с и истинность этого равенства вытекает из независимости приращений и однородности винеровского процесса. Произвольную неотрицательную измеримую функцию 1(х, ы) представляем в виде монотонного предела линейных комбинаций индикаторов: ла — ! ! Д.з 2" (а12 (1((а+!!12 ) а о 384 л»-Л л-! т Ь * /[ ."-х '-"-. а Л-о ~(ЬС зпр М ! Ь (Чи) Ь (Чл) ) еч -зО.
1«-л ((ЛС« га«, «~л+Л 3. Ьл (Ь, х) (4М ) йл (х; ю) (с+ 4 ( х )'+ л †! о + 4М ~ а(8ЛЛС« (Х; Ю)) [Ю!Л+!» ЛС« ЮЛЛ»л) + Л О л — ! + 4М ~ Ь (о„л»л (х; ы))— Ь Для первого слагаемого оценка уже получена; третье равно г «-! Е [Е «1,,'О, „»!' г1«~чл' „л!!.!, ! ьл=о четвертое слагаемое не препосходнт л — ! ~[~ » -.
1-"]= ""- О<и~в С-! л-о а М ! Ьл (х! ю] )з уже оценено. 4. Из формулы (! !) получаем ))Р) — ))) С))Е))! О (С) О). 5. Из той же формулы получаем )) С '(Р~) — С) — Е))) = =С ' ~(РзЦ вЂ” Ц),з ~ )(Р'Ц=Ц()- О(!)О). 0(з(С о 6. Стохастические уравнения: дю» = д»е», дй» = гв» д»! ноэффнцненты! Ь = О, Ьо(х, у) =х, о! = — 1, прочие — нули. Отсюда 2 аы = — 1, а'о=аз'=аз»==-О; ! дз д Е= — — + х —. 2 дх' ду' 7.
Из оценки М ) й» (х; ю) — Кс (у; ю) )' ~( 3 ) х — у )з ехр (3Е'Х Х (гч+ гсз)) вытекает, что 1пп (Р) йс (у; ы) = $» (х; ы)! из схо-. В-ьх димости по вероятности следует слабая сходнмость распределений: Р (», у, ° ) -ь Р (С, х, ° ). Это и есть феллеровское свойство. 385 6'. Коэффициенты диффузии и сноса суть соответственно 1 и — х/(1 — з) (см.
задачу 3' 6 11.2); полагая о = 1, выписых (!) наем стохастическое уравнение; б7 (!) = бшг — — г«! (это 1 — ! случай, не рассмотренный нами: неоднородный по времени и с особенностью в коэффициенте сноса). $13.1 Решения задач этого параграфа можно получить, воспроизводя в более простой обстановке решения задач н доказательства ыикротеорем следующего параграфа; но полезно сначала заняться задачами, связанными с цепями Маркова, а потом только обратитьсн к диффузионным процессам.
6. Уравнение: гл(х+1)/2 — т(х) + т(х — 1))2 = — 1, О < < х < л; решение: т(х) = х(п — х) для О < х < и. 6. Уравнение о(х+1)р — о(х) +е(х — 1)д = — 1, х> О; общее решение: о(х) = х((р — о) + Сэ+ Сз(д/р)" при х > О, р Ф д, о(х) = — х'+Сг+С»х при х ~ )О, р = д = 1/2. При р > д неотрицательных решений нет, и, значит, М» т = о»; прн р < 4 наименьшее неотрицательное решение есть п«(х) = = х/(д — р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
