А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 60
Текст из файла (страница 60)
На нижнем основании никаких условий задавать не нужно. Микротсорем а 4. Пусть т — момент выхода процесса (шит)~) из Е). Тогда функция г х о(х, у) = М, „~~ д(ш,, т),) дэ+ у ф(ш,) + о + )1(ч,<т. и;1, (п,))% (з)х) + Х(ч,<т, и;1, (ч,))фз (т)ч)1 — единственное решение задачи (8) — (10). Доказательство состоит в том, что мы продолжаем решение с сохранением гладкости за пределы области П, применяем к о(шоу+ 1) формулу Ито и пользуемся формулой (4) с нужным изменением обозначсний. 10.
Результаты п. 2 касались уравнения 1.о = — д и математических ожиданий функционалов от траекторий диффузионного процесса ф(й,) + х + ~ у(йх) дз. Чтобы найти распределение ~ у(йз) Ыз, о о нужно рассматривать математическое ожидание вида Зная связь краевых задач со случайными процессамв, мы можем лучше понять, почему не нужно задавать никаких условий на нижнем основании Рн точка (шо чд просто ие может оказаться принадлежащей нижнему основанию.
Столь же понятен и факт из теории дифференциальных уравнений, состоящий в том, что о(хо, уо) не зависит от значений у(х, у), ф~(у) при у ( уо. ЗЗЗ Микротеорема 5. Пусть ($о Р,) — диффузия в )с' с производящим оператором Т.; с(х) — непрерывная действительная функция на Я', Пусть ш(х)— дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная в открытом множестве, причем в компакте Р она является решением задачи Дирихле Лш(х)+ с(х) ш(х) = — д(х), х онП; (1!) ов(х) =~р(х), х а= дП. (12) Пусть м,1 Р(21 вой*~( о .' ( о Тогда ь)=и.~ *Р(1 оо~ ~й~о-~ о,о .
с +(.»р$).о)а.*фоооо1. * о, оз> о о Доказательство проведем для диффузии, задаваемой стохастическим уравнением Ы$~=оЯ~)сто~+ + Ь(~ь)Л. Положим с „= о>.*,((.о>ь~- о. о с Я вЂ” 1-о 1 оош.~~к о.н-.оо аоь. о о Применим формулу Ито: дт1, = ехр ~ ~ с (В,) дз ~ ~ ') —,. ($,) о' (Ц) о(ов! + ео дх + Еж(ДДоу+ ов(Ц) с(оы) й — (Тле(во)+ с(Вс) ш(оы)1 оУ Члены с Ж сокращаются. Отсюда получаем о.-ч~. (х,лоыо11 вз~*~х о чо Х~~ ф(Ц,)о,'Р,)дм, 334 < т и,(. ю(ю( ЮюЮю*)юю). о о Берем М от обеих частей, получаем пю (х) = М„з)в = М т)„ откуда вытекает (13).
г ......, ...„...,. ч. ) ... ( ю ) .ююн и ~ . о о но, во всяком случае, когда с(х) < 0 и Мхт < со, Оно также выполняется для с(х) < сю, где сю — достаточно малая положительная константа, если выполнены условия задачи 1 (потому что распределение т мажорируется показательным). Зто хорошо согласуется со следующим результатом из теории дифференциальных уравнений (Ми ран да, 1957, теоремы 21. 1, 21. Н, 2!. Н1, 36. 1!): для фиксированньюх непрерьювно дифференцируемых ай[х), Ь'[х) и области 1? с гладкой ераниней можно указать положительную константу сю такую, что решение задачи Дирихле (!1)--(!2) существует для всех непрерывно дифференчируемых с(х) < сю. Константа с, может быть выбрана сколь угодна большой, если выбрать область Р с достаточно малой мерой Лебега.
3 ада ч а 16. Найдите преобразование Лапласа распределения момента т выхода одномерного вянеровского процесса из полупрямой (? = (О, ью), т. е. и х (х) = Мхе" т, Л > О. 3 а дача 17'. Докажите, что если М„т < К < сь в [), то Мхе'т (~ 1+ сыхт/(1 — сК) пРи 0 < с < К К выводу микротеоремы 5 можно было бы применить теорему п. 4 $ 10.3 и результаты, касающиеся мартингалов, 3 ад ач а 18'. Сохраняется ли результат микротеоремы 5, ( т --.и.( (ю(ню,+с- ---.--- о о Мх ~ ес' й[ < ьь, сю ) с (х)? о й 1З.З. Регулярные и сингулярные точки границы 1. В этом параграфе мы будем говорить для про.
стоты о задаче Дирихле для однородного уравнения (.и=О. В случае невырожденных диффузий и областей с гладкой границей и(х) = М„юр(й,) непрерывно во всей замкнутой области (). Оказывается, для областей с негладкой границей точки дО делятся, вообще 336 говоря, на два класса: регулярные точки, при приближении к которым функция и приближается к !р(х), и сингулярные, для которых это не так.
Определение регулярности можно дать и на языке дифференциальных уравнений, и иа языке случайных процессов. Возьмем за основу вероятностное определение. ПУсть (йо Р„) — фсллеРовское маРковское семейство с непрерывными справа траекториями, П вЂ” замкнутое множество, т — момент выхода 9! из него. Точка хо е= дг) называется регулярной точкой границы Е), если Р„(с=О) = !. Точка хо~ дг) 'ьуигулядлая называется сингулярной, сели тлрулл эта вероятность равна нулю. Иначе говоря, сингулярная точка — это такая, что траекРис.
34 тория $г, начинающаяся в ией, непременно хотя бы маленький промежуток времени проведет в Т) (рис. 34). Согласно блюменталевскому закону Π— 1 Я 9.2, и. 4), Р„,(т = О) не может быть строго между 0 и 1. Примером регулярной точки может служить любая точка гладкой границы в случае невырожденной диффузии: из результатов п. 2 предыдушега параграфа вытекает, что М„т = О для ха я д0. Пример сингулярной точки: Зада ча 1. Пусть 0 — единичный круг ((х, у): х'+уз( ( Ц, из которого выброшены кружочки ((х, у): (х — !/2") + + у ((1!2" ) ), и = 2, 3, 4, ... Докажите, что (О, 0) — синг>лярная точка границы О (для двумерного винеровского процесса). Для процесса (юп Чэ = Чэ+ !), соатветствуюшего уравнению теплаправадности, и криволинейного четырехугольника В (рис.
ЗЗ, 4 !3.2) точки верхнего основания регулярны (тривиальным образом); точки бакавык сторон тоже регулярны (это вытекает из закона павторнога логарифма — см. задачу 9* з 7.3); точки нижнего основании, кроме уголков, сингулярны (ясио). Т е о р е м а 1. Если хо — регулярная точки границы, то для любого !т > О вероятность Р, (т < Ь) — н 1 при х — э. Хв. Доказательство. Выберем в>0 и докажем, что существует 6 > О такое, что Р,(т < )т) > 1 — а и р и р (х, хв) < 6. Пусть г!, и,, „г„, ... — рациональные точки интервала (О, й).
Из Р, (т < 6) = 1 вытекает, ЗЗО что В Р,, / (й, ~ П) () ~~, М П) () ... () Р, ~ П)) = 1. Выберем н так, чтобы зта вероятность была больше 1 — в/3 или, если перейти к противоположному событию, Р ($, е-:П, ..., ь, е-=П) <а/3. Перепишем вероятность в виде математического ожи- дания М, х, (~„)... х ($, ) Существует неотрицательная непрерывная функция /(х), равная 1 иа Р и такая, что М, /($, )... /(~, ) < < 2а/3. Действительно, в качестве такой функции можно взять /(х) =/н(х) =екр( — /Ур(х, П)) с достаточно большим Л1, так как 1пп М„/н(я,) . /н(~, )=М,хо(1,) .. хо(я, ). Далее, нз феллеровости марковского семейства вытекает, что функция Е(х)=М„/(в, ) ... /(я, ) непрерывна; следоватсльно, существует б > 0 такое, что М„/(5,) ...
/($, ) < е при р(х, х„) < 6. Отсюда Р„(й, = П, ..., ",, - =П) < ° Р„(т<Ь) > 1 — г. Т с о р е м а 2. Пусть Кь Р„) — феллеровская диффузия; П вЂ” замкнутое множество, т — момент выхода из 0; и (х) = М„ф($,), где у — функция, заданная на границе. Если хь — регулярная точка границы О, то для любой ограниченной непрерглвной функции имеем: и(х)- ф(хь) при х — хь, хе= П (и, само собой, и(хо) = ~р(хо) ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 6 — произвольное положительное число. Выберем е > 0 так, чтобы при !3 А. д. Вентцаль 337 р (х, хо) < е было ] ср (х) — ср(хо) ~ < 6/3. Имеем ( и (х) — ср (хо) 1 = ! М „(ср (Ц,) — ср (хо)] ) < <М,)(,, „,!ср(К,) — ср(х)!+2)(~р)!Р,(т>)г).
(1) Первое математическое ожидание разобьем на две части: по событию А„=(иге=Уз(хо) для всех 1<)г) и по его дополнению. Задача 2. Докажите, что Р (Аь) ! при гг(0 равномерно по х ~ (уегт(хо). Выберем й так, чтобы Р,(Аь) > 1 — бггбсс)цг1) для х ~ Риз(хо); тогда М„Х,, <ь) Р— хл ) ! р (Б,) — р ( .) 1 < —, ° Мх)((т<ь))(л ) <р(ст) — ср(х.) ~(» »<зцр((ср(у) — ср(хо)): у он Ра(х)) < —.
. Ь Последнее слагаемое в (1) стремится к нулю при х- х,.в силу теоремы 1; получаем, что ! и (х) — ср (хо) ) < б в достаточно малой окрестности точки хо. Напротив, когда хв — сингулярная точка (напрнмер, (О, О) для областн задача !), можно указать ограниченную непрерывную фуакпню ср на д0, для которой и(х) будет разрывно в точке хо н даже н(хь) Ф Чс(хь). Достаточно положвть ср(х) = = екр( — р(х, хо)). 2. Теорема 3.
Пусть (йс, Р„) — феллеровская диффузия с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами сноса и дважды непрерывно дифференцируемыми коэффициентами диффузии, образующими в каждой точке невырожденную матрицу; Р— произвольное замкнутое множество; ср — ограниченная борелевская функция, заданная на дР. Тогда функция и(х) = М,ф(й,) дваждьс непрерывно дифференцируема во всех внутренних точках Р, и (.и = О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Гладкость коэффициентов обеспечивает существование функции Грина для всех ограниченных областей с гладкой границей (Мираа нда, 1957, гл.
П1, ф 21, теорема 21Х1). Произ- вольную внутреннюю точку окружим ограниченной замкнутой областью Р1 с: Р с гладкой границей дРО обозначим через т, момент первого выхода процесса из Р, (рис. 35).Воспользуемся строго марковским свойством относительно марковского момента т, (учитываем, что т, т, Очт = т — ть О,Д, = $,): ( ) = М ~р (ц = М„О, ч~ (р,) = М,М ~р(9,) = М,и (р„). Но М„и ($, ) = ~ — 0~ (х, у) и (у) ди„, до~ где 61(х,у) — функция Грина области Р1 (см. предыдущий параграф, п. 4). Такой интеграл является непрерывной функцией от х внутри Р1 для любой ограниченной измеримой функции и(у) на дРО Внутри Р~ выберем область Р, с гладкой границей; имеем точно так же ( )= ~ О ад(х, у)и(у)до„. (2) Функция и на дРз непрерывна; согласно теоремам 21.1, 21.
ГУ книги Миранда (1957) решение уравнения йи = О вну- Рис. 33 три Р, с непрерывными граничными условиями и(у) на Рз существует и задается формулой (2). Но это означает, что функция и дваж- ды непрерывно дифференцируема внутри Рз и Ли = О. Теоремы 2 и 3 дают следующее. Пусть (~ь Р„)— феллеровская диффузия с гладкими коэффициентами, причем матрица диффузии невырождена. Тогда для любой замкнутой области Р и любой непрерывной ограниченной функции р на дР существует функция и(х) (= М„<р($,)), определенная на Р, являющаяся решением уравнения Си =О во внутренних точках Р, и и(х)-»-~р(х,) при х-+.хс, х~Р, для всех регулярных точек хд границы Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
