Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если же пр — г/='и, то р„(п) = =р„(й+ 1). Заметим, что при достаточно малых вероятностях успеха р, таких, что пр — г/~О, вероятность р„(й) не возрастает ни прн каких /»ъ О. В этом случае вероятнее всего, что при и испытаниях не будет ни одного успеха. Возвращаясь к обшей схеме последовательности независимых испытаний, рассмотрим случай конечного й=(»»ь ..., в,) и положим р((о»1)) =рь /=1, ..., г. В каждом испытании теперь возможно г,различных исходов, и при п испытаниях вероятность исхода чч„..., со~ равна р~' ... р', где Ю Г зь зь ..., з, — количества исходов ь»ь ыь ..., »», соответственно в последовательности еп,в;„...,в1, з,+з,+...+з,=п. Нетрудно заметить, что при и испытаниях вероятность того, что а~ наблюдается э~ раз, »»з — з» раз, ..., в.
— з, раз, равна р„(зь ... з,) = —" р'~'... р'~, з, + ... + з, = и. (3) »»1 ... »,4 Это так называемое полнномиальное распределение. Название объясняется тем, что вероятность (3) является общим членом разложения полинома (р~+ ...+ р,) ". Множитель' и!/(з~!...з,!) равен числу различных исходов в и испытаниях, при которых»»! наблюдается з! раз, /=1, ..., г. Для того чтобы получить это число, рассмотрим последовательность в;„ач„...,ь»1„, содержащую з! исходов ь»ь /=1, ..., г.
Все. го существует и! ' возможностей расположить исходы а»;„ан„..., а1„, однако среди них лишь п!/(з,!...з,!) различных расположений, так как з~! перестановок з~ исходов вь ..., з,! перестановок з, исходов з», приводят к эквивалентным расположениям. С рассмотренными распределениями тесно, связано так называемое отрицательно-биномиальное распределение, называемое также распределением Паскаля.
Речь идет о веро- ' ятности того, что в последовательности испытаний Бернулли для достижения и успехов потребуется и+/» испытаний. Искомая вероятность равна р(п,и +й) = С -1~+» Р" д», й=О 1 ..., (4) 43 Действительно„выражение (4) дает вероятность того, что в серии л+й — 1 исцытаний будет ровно й неудач, а следующее, л+л-е, испытание приведет к успеху С +»-~Ч Р" 'Р =С»+»-«Р' Ч .
Название распределения (4) связано со следующим равенством: » ( л)( и 1), ( и»+ Ц ( 1)»С» И которое позволяет переписать распределение (4) в виде р (л, л + й) =' С» р" ( — ф», й = О, 1, .... Заметим, что ЯС'.( — д) =(1 — д)-.=р-, «-о Ф и, следовательно, ~~ р(л,и+й) =1. При л,=1 распределеь-о ние (4) называется геометрическим р(1, и+1) =рч», А=О, 1, .» . В качестве иллюстрации рассмотрим следующую задачу С. Банаха.
Пусть а и Ь вЂ” две коробки, содержащие по л спичек„Некто пользуется ими, выбирая коробку а илн Ь соответственно с вероятностями р(а) =р или р(Ь) ='1 — р=д н доставая каждый раз по одной спичке. Какова вероятность того, что в тот момент, когда выбранная коробка окажется пустой, в другой будет г<л спичекг Дпя решения задачи заметим, что если вынутая' коробка пуста, а в другой в этот момент г спичек, то это означает, что до этого коробки вынимались 2л — г раз, причем одна из них — п раз. Пусть А событие, состоящее в том, что вынутая коробка пуста. Такой коробкой может оказаться как а, так и Ь. Обозначим' через Р(А~а) и Р(А)Ь) соответствующие условные вероятности.
Тогда искомая вероятность равна Р(А) =Р(Ца)р(а)+Р(А~Ь) р(Ь). Поскольку Р(А~а) — вероятность вынуть пустую коробку прн условии, что вынута коробка а, то речь идет о вероятности того, что перед этим коробка а доставалась л раз из общего числа 2л — г выборов. Следовательно, Р(А ~ а) = =С~,р'д" . Аналогично Р(А~(Ь) = Сэ~-,д'р" '. Поэтому Р(,4) ~~ (рп+1 г1» — г + )»+3 Р»-«) Следует отличать найденную вероятность от вероятности того, что в тот момент, когда одна из коробок опустела, во второй оказалось г спичек. И вообще, коробка, вынутая пустой, не обязательно опустела первой.
Читателю предлагается самостоятельно подсчитать вероятность, о которой идет речь. Рассмотрим задачу Банаха, пользуясь отрнцательно-бииомиальным распределением. Искомая вероятность совпадает с вероятностью того, что для л+1 «выбора» коробки а или Ь потребуется 2п — г+1 «испытаний». Обозначим через А событие, состоящее в том, что для в+1 «выбора» а или Ь потребуется 2п — г+1 «испытаний».
Тогда А=АПа+АЛЬ и согласно формуле (4) для каждого из событий АПа или АД ()Ь найдем Р(А П а) =С»„,Р+' д" — ', Р(А 0 Ь) = Сй — д"+'Р что приводит к найденному ранее значению вероятности Р(А). В заключение сделаем одно замечание по поводу схемы независимых испытаний, когда вероятности исходов меняются от испытания к испытанию. В таком случае серии изпнезависимых испытаний отвечает вероятностное пространство (а„, у„, Р„) = (и, йг, Ро)) х (и, К Р(2)) х ... х (а, б, Р( >), Всякому элементарному событию (мьвь... ьч ) должна быть сопоставлена вероятность Р„(((М, ° ° эл„))) = Р~, Р~ ° ° ° Р)„' где роа — вероятность исхода в; в й-м испытании.
к '» $6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА Формулы биномиального распределения вероятностей приводят при больших и к очень громоздким вычислениям. Важно поэтому иметь приближенные, но зато достаточно простые формулы для вычисления соответствующих вероятностей. В частности, нередко встречаются задачи, в которых рассматривается большое число независимых испытаний, 'причем вероятность наступления события А при каждом отдельном испытании мала. В этом случае вероятности Р„(й) могут быть приближенно вычислены по так называемой формуле Пуассона. Эта формула получается как предельная для биномиального распределения, когда число испытаний стремится к бесконечности, а вероятность успеха стремится к нулю, однако в пределах одной последовательности независимых испытаний 1!ш Р.
(и!) — Пш р~и (1 р)и — ~ л! л ° " в, а! (и — и)1 Распределение вероятностей, определяемое формулой Лш Р (т) = — е — ", т = О, 1, 2,..., Л)О, т! (2) называется распределением Пуассона и является одним нз важнейших в теории, вероятностей. Эта формула получена нами как предельная для последовательности серий незавнснмых испытаний, в которой число испытаний стремится к бесконечности, а вероятность наступления события А стремится к нулю. Поэтому ясно, что если мы хотим воспользоваться приближенной формулой Р„(т)= — е — ь,Л =ир,т =0,1...,,и (3) т! 46 нн то, нн другое по определению невозможно. Поэтому естественно введение следующей конструкции. Представим себе, что мы произвели некоторую серию независимых испытаний, состоящую нз конечного числа нспытаннй, затем новую серию, затем еще новую н т. д.
Мы будем иметь последовательность серий испытаний. Пусть прн каждом испытании каждой серии может наступить нлн не наступить некоторое событие А, т. е. имеем всего два всхода, и' пусть вероятность наступлення А прн отдельном нспытаннн остается постоянной в пределах каждой серии (как это требуется для йоследовательностн независимых нспытаннй), но может меняться от серии к серии. В этих условиях справедлива Теорема Пуассона. Пусть дана последовательность (э„) серий ' независимых испытаний, состоящих соответственно нз 1, 2, ..., и, '...
испытаний, и пусть вероятность р события А прн каждом испытании и-й серии равна Л!и, где Л вЂ” постоянная (не зависящая от и). Тогда вероятность Р,(т) того, что число наступлений события А в и-й серии будет равно т, прн и-~со и фиксированном т стремится. к (Л /т!)е-х. Доказательство. Имеем для одной серии из а испытаний, то и должно быть велико, а вероятность наступления события А в атой серии мала, т. е.
формула (3) применима для «редких явлений». Проведем соответствующие оценки погрешности, допускаемой при замене бнномнального закона на закон Пуассона при конечных а и при О~т~а. Имеем согласно (1): 1(т, а): — 1и —" 1 л (т) Р (т) = 1п ~(1 — — ) (1 — — )... (1 — т — ) (1 — — ) е" ~ = и — 1 = ~ 1п ( 1 — — ) + (а — т)1п ( 1 — — 1 + Х. (4) л ) л / ь-!. Оценим сверху и снизу 1п (1 — х) при О~х(1: х» ха х» 1п(1 — х) = — х — — — — —....
( — х — — ( — х, (5) 2 3 2 х!! х» 1п(1 — х) = — х — — — — —... ) — х— 2 3 х» х» х« х' — — — — — —... = — х — — (1 + х + х» + ...) = 2 2 2 2 (4): (т — Л)! т тЛ» + +— 2а«2л 2л 2л! л 2а 2л Л! ( т(т — 1) ( Л ) 2(л — т+1) + (а — т) тЛ Л! т3Р (т — Л) ! л 2(л — Л) 2л(л — Л) 2(а — т+ 1) Используя (5) и (6), оценим т — ! ) (т, а) «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
