Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Рассмотрим в заключение еще один пример использова'ния интегральной предельной теоремы Муавра — Лапласа. П р и м е р. Телефонная станция А, обслуживающая 2000 абонентов, должна соединять их с другой станцией В. Какое наименьшее число х линий должно связывать А с В, чтобы в 99% случаев вызовов нашлась свободная линия. Пусть в течение наиболее напряженного часа дня каждый абонент разговаривает с В в среднем 2 минуты.
Найдем х. Естественно рассматривать описанную ситуа° цию как схему Бернулли с в=2000, р — вероятность вызова, р= 1/30. Число х определяется нз условия: вероятность того, что число вызовов ъх, должна быть меньше, чем 0,01, т. е. Р(т >х) < 001, или Р(т >х) = о ( — р > т' лрч тару 55 У»рр ' отсюда по таблицам ="Р ) 2,327, х ) — + 2,327 8,027 = 85,4. Таким образом, х=86. й З. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1'. Случайные величины н функции распределения Изучая схему независимых испытаний, мы, по существу, имели дело с типичным примером случайной величины, когда рассматривали число успехов в серии нз п испытаний.
Примерами случайных величин являются; число вызовов в единицу времени на телефонной станции, время ожндання очередного вызова, число молекул газа, проднффунднровавшнх нз одного объема газа в другой, н т. д. Для случайной величины характерно, Что мы не можем заранее указать значение, которое она примет, хотя, с другой стороны, множество ее возможных значений считается известным. Это множество может быть конечным, как в упомянутом случае. числа успехов, может совпадать с положительной полупрямой [О, оо), как в случае времени ожидания, н т. д. Однако для полного задання случайной величины следует еще указать вероятности тех значений, которые она может принимать, точнее, вероятность на множестве ее значеннй.
(Хотя, конечно, вероятность задается на некоторой о-алгебре подмножеств пространства значений, но ради краткости иногда говорят н таес) Прежде чем приступить к изучению математического понятна случайной велннчны, вернемся к схеме независимых нспытаннй и проанализируем известную нам случайную велнчнну — число успехов. В рвссматрнваемом случае пространство элементарных событнй й состоит нз 2" элементарных 1 2 3 " » событий в-последовательностей вида в =(в„вм в», ...,в,).
В схеме испытаний Бернулли нас интересовали события Аь А=О, 1, ..., и, где А» составляют те последовательности, в которых успех в, встречается й раз. Следовательно, А» содержит С,» таких элементарных событий в, а поскольку ве-" роятность каждого нз ннх есть Р ((в)) = р»д»», то Р„(А») =Сер»4" ». Рассмотрим функцию ~=$(в), определенную на данном й равенствами $(в) =й, в~А», А=О, 1, ..., и. 56 То, что этн равенства действительно определяют $(в) для каждого аепй, следует нз соотношения А»+А1+...+А„=й.
Так определенная функцня 3=я(в) описывает число успехов в серии нз п независимых испытаний Бернулли в том смысле, что число успехов в каждой®последовательности нспытаннй а равно (по определению) 5(в). Функция $=~(то) называется случайной величиной. В данном случае эта случайная величина — число успехов в серяк нз и испытаний Бернулли.
Обозначим через (в.'4(ю) =Ц множество тех ы, для которых $(в) =й. Следовательно, по определению А» — -(а:4(а) = =Ц и Р„((е':$(в) =й))=С'Р"в" «. Последние вероятности обычно записывают короче: Р„(й) = С" р'г(™ = Р ($ = й), й = О, 1, ..., и (2) н называют распределением вероятностей случайной величины $. Таким образом, случайная величина — число успехов в серии нз п испытаний Бернулли — имеет бнномнальмое распределение.
Формула (2) задает вероятность на алгебре всех подмножеств множества значений случайной величины $. Последнее в данном случае состоит нз и+1 точек: й=(0, 1, ..., и), алгебра событий состоит нз всех подмножеств й. Таким образом, со случайной величиной й оказывается связанным новое вероятностное пространство (й, вг, Р).
в котором пространством элементарных событий является множество значений случайной величины. 9 — аглебра всех, подмножеств Й, а вероятность Р связана с вероятностью на исходном вероятностном пространстве формулой (2): Р((Ц) =Р„(й). Случайная величина 5=$(ы) задает отображение вероятностного пространства (й, У, Р) на вероятностное пространство (й, Зг, Р).
Прн этом каждой точке йЫ отвечает ее прообраз в й-множество (ю: $(в) =Цсй. Задание $(в) эквивалентно разбиению пространства элементарных событий: й=(е: $(ы) =О)+(в: $(в) =1)+...+ +Ьв:$(а) =и). Утверждення «5 попадает в Лепзг'» и «ы попадает в АепУ» эквивалентны (рнс. 8).
Характерно, что в теоретико-вероятностных задачах явная зависимость $=Цо) от в, как правило, не играет существенной роли. В связи с распределением Пуассона можнорассматрнвать , пространство элементарных событий й, состоящее нз бесконечных последовательностей а=(аь а1, ыь ...) испытаний. ''Пусть а содержит й успехов ыь а событие А» состоит нз всех таких ы (которые содержат й раз о~). Тогда положим по 57 определению Р(А,) =Лье ь/л1, й=О, 1, ..., и опведелим случайную величину $ равенствами й(и) =й, венАь Эта случайная величина имеет распределение Пуассона, так как Р(к=й)= (Л"/й1)е-ь, Й=О, 1 ..., Л)0.
(Заметим, что здесь естественно считать' возм<4кным значение К(в) ='оо, причем рис. 8 РД=оо)=0.) Случайная величина $=$(о) порождает новое вероятностное пространство (й, У,.Р), в котором й=(0, 1, ..., оо) — множество значений Ч, У вЂ” а-алгебра всех подмножеств й и вероятность Р определена для каждого одноточечного подмножества й равенством Р((й)) = = (УР/И)е-х, Й=О, 1, ..., Р((со)) =О. Это были примеры так называемых дискретных случайных величин. В общем случае случайная величина определяется следующим образом.
Определение 1. Пусть (й, У, Р) — вероятностное пространство. Случайной величиной $ называется однозначная действительная функция $=3(м), определенная на 11, для которой множество элементарных' событий нида (в: $(о)< <х).является событием (т. е. ~У") для каждого действительного числа х. В определении, таким образом, требуется, чтобы для каждого хИ~ множество (ы: $(в) <х)АУ, и это условие гарантирует, что для каждого х определена вероятность события (з<х):Р(х) =Р(4(х) (запнсь (к<х) здесь и далее означает то же самое, что и (ко:4(в) <х)).
Определение 2. Функция Р(х) =РД<х), — оо<х<оо, на-, зывается функцией распределения случайной величины $. Заметим, что, как будет видно из дальнейшего„функция Р(х) определяет вероятность на множестве значений являясь в то же время конструкцией, существенно более простой, чем вероятность. Примеры 1.'Пусть $ — число успехов в серии из а испытаний Бернулли. Тогда соответствующая функция распределения определена равенством 58 О, х<Ь р(,) ~ с.'рд.—, о<, <„ х ~ "1, (рис. 9) (3) 2.
Если $ распределена по закону Пуа она, то ее функ,ция распределения г'(х) имеет вид ч«0, г(х) = Ч,1 Ме ~>о. (4) 3. Говорят что случайная велич~ца е имеет нормальное, нли гауссово, РаспРеделение У(р, 1г'), ли ее функция распределения имеет вид 1 к (;, Я1е г (х) = ) е м* ,(г (5) — ОО При этом соответствующее ь вероятностное пространство устроено следующим образом: Й вЂ” действительная прямая — со<х<со, о-алгебра событий У -,и алгебра борелевских множеств на пРЯмой. ДлЯ каждого со~ытня АенУ' ( 1 яи Р(А)=, ~ е а ~'2я Однако адекватное понимание этт,„ последнего Равенства возможно тол4,„о Г(х) в терминах интеграла Лебега. Мы огпа 1 ничиваемся далее множествами А и стой структуры: интервалами, ковач), ~ 11 ми'объединениями интервалов и т, „ ! ! В,этом случае интеграл (6) ' мол,н' ,понимать как интеграл Римана (в (, Р! г з1 и х числе и как несобственный).
ПеРечислим основные свойства фр„к Рис. 9 ций распределения. 1. Для хз)х~ 6 < хз) = ($ < хт) + (хг < е < х ). Поскольку события в правой части зто равенства несовместны, то (6) Р6<~~) =РЙ<х~)+Р(х,<~<х,), следовательно, <~< 59 Так как Р(х~<~<хе)ъО, то из равенства (7) следует, что Р(х) — неубывающая функция для всея хаишь 2. Из определения Р(х) следует, что 0<Р(х) <.1, хяРь 3.
Р(х) непрерывна слева в каждой точке х~Рь т. е. Р(х) = Р(х — 0) ш11щ Р(хь), (8) .,тк где последнее равенство — равенство по определению. Действительно, пусть (хД вЂ” любая последовательность, стремящаяся к х слева, хь7х, т. е. х~<хт<...<х,<...<х и 1пп х, =х. Событие $<х можно представить в виде (5< х) =(4< хД()(5<А() ... = Д<хД+(х,< 5<ха) +.... В силу о-аддитивности вероятности и равенства (7) отсюда следует, что Р(х) = Р (с < х) = Р ($ < хД + Р (х, ~~, $ < хД -1- ... = = Р(х ) + [Р(ха) — Р(х Н+ ... + [Р(хам)— — Р(хь)[-~ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
