Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 13
Текст из файла (страница 13)
'3) Вследствие равенства Р(оо, оо) =1 имеем (30) ОВ 'ц р(х, д)сЮу=1. (31) 4) На основании равенств (28) и (27) заключаем, что если двумерная случайная величина (е, т() имеет плотность, то и каждая ее компонента имеет плотность, причем ра(х) = ~ р(х, у)ду, рч(д)'= ~ р(х, д)Нх. (32) Примеры 1. Случайный вектор (а, т() называется равномерно рас- пределенным в области Р, если 1ф(0), (х, у)ивР, О, (х, у)БР, где р(Р) — площадь области Р. Пусть 0* — квадрируемая область иа плоскости. Тогда Р(($, т()еи Р'), и (и) Это, по существу, задача на геометрические вероятности (см:9 1), и, таким образом, в этих точках тот факт, что р(х, у)ъО, следует из неубывания Р.(х, у) по каждой переменной х и у.
2) Для любой квадрируемой области Рг:Яа имеем Р Я, Ч) еи Р) Ц р(х, у) Мха. (29) о (34) где о» = Р» оа = 0 г = т 6, Ч) а,а, см. ниже, $9.. Рассмотрим в заключение этого пункта понятие плотнос- ти условного распределения. Пусть плотность р(х, у) слу- чайного вектора (» и) непрерывна. Обозначим через В со- бытие: В=(у~»)~у+Ау); его вероятность равна Р (В) = ю+аа =Р(у~»)~у+Ау) = ) р„(г)аг, где согласно. (32), р»(а) = ( р(х, г)Нх. Далее, имеем и+за Р($(х, у ~~;т)ч;,'у+ бу) = ) ) р(г,х)с(Ых, а'следовательно, в силу определения условной вероятности (см: $4), если Р(В))0, Р!(х1В)ЯРД(х(В) — (» ' " ! "+ Р (В) 68 2. Случайный вектор (»ь ..., ~„) называется нормально распределенным, если его плотность равна л !а»1А11/2 Г 1 Ъ! р(х„...,х„) = ~ — ~ ехр ~ — — > а;~(х! — р,)'(х) — р))~; (2а)а ~ 1 (ЗЗ) где А=11а!1!1 — положительно определенная матрица (обратная к -матрице ковариаций случайных величин»ь ..., $„, см.
ниже $9). Можно показать непосредственно интегрируя (33) и пользуясь равенствами (32) ' (или В их аналогами, если н)2), что каждая координата $ь1=1, '..., н, нормально распределенного вектора у"оу - . также имеет нормальное распредеРис. 13 ление. В двумерном случае плотность нормального закона (33) имеет вид 1 1 1 Г (х-а)» р(х, у)=, ехр~ — —.- [ 2ааФ» У 1 — г» ~ 2(1-г») ! 1 2г(х — а)(у — Ь) . (у-Ь)» ~~ + а,а, а»» ~ а+ау 1 1 рр)Ы (35) р, (г) ю!а Продифференцируем (35) йо х, а затем устремим Ьу-!-0 и воспользуемся теоремой о среднем для интеграла по промежутку [у, у+Ау); в результате найдем: р!(х[ у)= ~ —; р„(у)ф.-0.
(36) л р„Ы' функция р!(х~у) называется плотностью вероятности услов-. ного распределения з при условии !)=у. Равенство можно переписать в виде Р(х У) =Рп(У)рз(х(У) (37) напоминающем по форме теорему умножения вероятностей. Если мы в (35) устремим. Ьу-~0 и воспользуемся определением (36), то получим м Г!(х(!) =у) =Р($(х(ч=у) = ~ р!(1~У)!(Г. (38) (39) ..это непрерывный аналог формулы полной вероятности. Соответствующие рассуждения сйравделивы и для дискректного случайного вектора ($, т)): пусть $ принимает значения х!, ! 1, 2, ..., а з1 принимает значения уь 1 1, 2, ... и Рц=РЯ=хь !)=у!). Тогда аналогом формул (32) являются равенства: Р,=Р(3=х!) =,1 рьь д! =Р(г) =у!) = Я рьь г,1=1,2,....
!=! ( 1 (40) Условные распределения вероятностей определяются следующим образом". . Рп! — — Р ($ = х! ~ !1 = у!) — ' —, (41) Р(с=х!!я=у!) р» Р (з! = Уг) р!! Я!!! = Р (!1 = у! ~ 5 = х,) = — и, !,! = 1, 2,.... Р! 69 , Интегрируя равенство (37) по переменной у, найдем в силу (32) ФО ра(х) = ) р„(у)ра(х)у)!(у, И как следствие (40) н (4!), Р! =Я У!Рш В=Я Р!!г!!! (42) !. с=! 4'.
Независимость случайных величин В $3 мы указали конструкцию, связанную с эксперимен- том, повторяемым в неизменных условиях, в которой естест- -венным образом возникают независимые события. Если в каждом таком эксперименте 'мы измеряем какую-либо слу- чайную величину, например координату частицы, совершаю- щей броуновское движение, то ее значения в различных экс- периментах не зависят друг от друга. Понятие независимос- ' ти случайных величин является одним из важнейших в тео- рии вероятностей. Определение 7. Случайные-величины $!, ..., $, называются независимыми (в совокупности), если для любых 'х!, ..., х„, события Ц!<хД, ..., К,<х,) независимы в совокупности, т. е.
Р (($! < хД П... () ($„< х„)) = Р ($! < хД... Р ($„< х ), (43) нли, что то же самое, Р(х,,...,:х„) = Рз,(х,) .".. Рз„(х„). (44) . Для независимых случайных' величин $ и Ч имеем .при любых 'х!<хз н у!<Уз Р(хг< 3<хм у!<Ч(уз) = Р($(хм Ч< уз)— — Р ($ ( хм Ч < УД вЂ” Р ($ ( х„Ч ( УД + Р Д ( х,, Ч (. УД = = Р(я(хД [Р(Ч < уз) — Р(Ч( УД)— — Р($< хД[Р(Ч< М вЂ” Р(Ч< УЛ = = Р (х, ~; $ ( хД Р (у, < Ч ( УД. Итак, Р(х,<$(х,, У,< Ч< УД = Р(х,< $<хДР(У,<Ч(УД, (45) х, < х„у, ( у, — любые. Аналогичный результат справедлив, разумеется, н для произвольного числа:$„..., $, независимых случайных ве- личин; ' л !'' и ! Р ( П ~х1 < 5! ( хз ~ ) = П Р ~х! ч~ $! < ха . ! 1 ! ! Пусть, обратно, выполнено равенство (45) при любых х!<хз н у!<Ув Устремляя' в (45) хо у!-+ — оо, получим РБ<хв Ч< у,) = РД(х.) Р(Ч(у,).
70 Это равенство ввиду произвольности хз и уз означает независимость случайных величин $ и Ч. Таким образом, условие (45) необходимо и достаточно для независимости слулайных 'величин 5 и 'т). Пусть теперь $ и Ч вЂ” дискретные случайные величины, х~<хи< ..<х,<... — значения, принимаемые $, и у~<уз<...
...<У,<... — значения т1. Тогда Р (х, < $ < х~+Д = Р ($ = к,), Р (у; ~ ч < уу» 1) = = Р(Ч =УД, й,)=1,2,.... Подставляя эти выражения в (45), приходим к выводу, что условие Р й =' х, Ч = УГ) = Р (В = хд Р (Ч = И, й, 1 = 1, 2,..., (45) является необходимым н достаточным условием независимости дискретных случайных величин $ и т1. Равенство (44) служит определением независимости случайных величин 4ь ..., $„.
Однако условие независимости $ь ..., $, может быть сформулировано в форме (44), даже если при этом не предполагается, что стоящие справа множители являются маргинальными функциями распределения. Пусть, например, для всех х, у функция распределения имеет вид: Р(х, у) =Р1(х)Рв(у), причем 1пп 'Рт(х) =1. Тогда 5 и независимы и Р1(х) =Р~(х), Рз(у) =Р„(у). Действительно, ч(У) =Р(оо У) =Р1(со)Рз(у) =Ра(у). Таким образом, . Р4У) =Рз(у) поэтому Рз(оо) =1, а отсюда, в свою очередь, следует, что Р~(х) =Р,(х), и $ и т1 независимы в силу (44).
Если независимые случайные величины ~ и Ч имеют соответственно плотности вероятности р~(х) и р„(у), то вектор ($, Ч) имеет плотность р(х, у)=р,(х)Р„(у). Это равенство является следствием (44) в точках (х, у), в которых Р,(х) и р„(у) непрерывны, в остальнь)х точках оно является определением р(х, У). Важным является обратное утверждение: если плотность р(х, у) случайного вектора ($, Ч) равна произведению плотностей координат, р(х, у) =р~(х) р,(у), то $ и Ч независимы, ибо в этом случае, очевидно, выполнено условие (44). Это свойство доставляет удобный критерий.
независимости непрерывных случайных величин (см. ниже, пример 4 в п. 5'). Пример. Пусть ',ен1У(рь а1т), ЧяМ(рз, пз') я независимы. Запись $евУ(рь о1з) обозначает, что $ — нормальная Ф(мь а1з) случайная величина. Плотность случайного вектора ($, Ч) равна произведению маргинальных плотностей: 1 Г (х — п1)з (у — 1ь)~1 Р(х, У) ехр — — ' 2~ЖФа ~ 2оз 2э~~ 71 Это равенство — частный Случай (34), так что (4, Ч) нормальный случайный вектор, (1(па О 1 'А = ~ ' ), де1А= —, г =О. [, О 1(оаа) оЯ (47) ча=1зба, $з)=1а($ (в), 1з(в)) =чз( ).
Здесь предполагается, что '1а и 1а таковы, что ч~ и чз вновь являются случайными величинами, определенными на том же вероятностном пространстве (1а, У, Р) (количество функций Ч; может быть, разумеется, любым). Тем самым, Чщ и Ча являются сложными функциями в, заданными на ьа. Основная задача, возникающая в этой ситуации, состоит в том, чтобы, зная функцию распределения Р(х» ха) случайного вектора-~аь $з) и функции 1~ и 1а, йайти функцию распределения Ф(у» уа) случайного вектора (а)ь а)а). Для рассматриваемых нами дискретных и непрерывных случайных величин указанная задача решается без труда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
