Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1 ( ехр! — ', х 2я г' ! — г2,) 1 ' . 2(1 — г2) 2С ~х — 2гх,— (х — ах,) + — (х — (зх1) ~ ((х =* 2 1 1 2~ $2 1 юе ! !А21 -2ае,+с! .2 ~ В '('- *1 ((Х1 = 2я ~1 — г2 — ((~л 2;в(2'А )' е 2('- *1 ((х = 1= 1 1С вЂ” з'/А1 2(1-г~) е !( 2((А (70) 79 (а3+а) енУ(а, а2). Ввиду этого достаточно доказать высказанное утверждение .в случае, когда у=О, а плотность р(х„хз) случайного вектора Я, т!) равна — 2 р(х„х2) = -~ехр ~ — (х21 — 2гх1х2+хД~ 2л Р1 — г2 ~ . 2(1 — г2) (68) (а(2=он=1, а22=2)1(=1, а=Ь=О, см. (34)). Используя формулу (5!) для функции распределения суммы, найдем Рс(х) ='РЯ(х)=— где 1+2 ~ + а %+ Р ' Р ' А)0, так как 1г~~1.-Но С вЂ” В'/А=х'(1 — г')/А; на основании (70) заключаем, что рс(х) = е г'зп рА и, таким образом, Ьен/1/(О, А).
(71) 3 9. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРЙСТИКИ СЛУЧАИИЫХ ВЕЛИЧИИ прн условии, что рнд (1) сходится абсолютно, т. е. М 1Р~ = ~' ~х»1'р,<оо. », 1 М~$'~ — называется абсолютным моментом порядка к. Моментом (начальным) порядка к непрерывной случайной величины $ с плотностью вероятности р(х) называется число (2) М $»' = ~ хь р(х)»(х ОО 80 1'..Основные определенна. Моменты случайных величин Случайная величина 4 считается, как известно, заданной, если задано'пространство Я ее значений, о-алгебра У со= бытий (подмножеств) 11 н вероятность Р.
на У. В рассмотренных ранее случаях Р либо о-алгебра борелевскнх подмножеств 1»=Щ», если $ — непрерывная случайная величина, либо о-алгебра всех подмножеств Я=(х„хь ...), если $ дискретна, х»,'хь'..'. — ее значения. Но во многих задачах 'такая, полная характеристика случайной величины ф, с одной стороны, недоступна для исследователя, а с другой стороны, и необязательна, достаточно 'ограничиться знанием некоторых параметров .распределения 4.
Такими параметрами являются различные моменты случайной величины. Определение 1. Моментом (начальным) порядка к дискретной случайной величины $, ' принимающей:значения х» , с вероятностями Рф=х»)=р», »=1, 2, ..., называется число М4'=Я х» р„ (1) »-! —, хе[а, Ь[, 1 Ь вЂ” а О, хе[а, Ь) р(х) = ь М $ = в [х с~ = — середина 'отрезка [а, Ь). о+Ь Ь вЂ” а ч) 2 а 2. Распределение Пуассона: $ Ь с вероятностью р» = Р ($ = Ь) = — е-, Л ~ О, Ь = О, 1, 2, ..., йы М $ = ~Ь ! Й = е — ь ~~~~— Лье к Ль м (Ь вЂ” 1)! ь=е ь-ь чч Ла =Ле — ь ~ — = Л.
И ь=е ' Мм далее не нользуемсн свойствами, интеграла Стнльтьеса, н равенство (б) означает лишь краткую запись длн обоих выражений !!) и (3). 81 при условии, что интеграл (3) сходится абсолютно, т. е. М [ Р [ = ~ '[ х,[ь р (х) йх ( оо.. (4) М[$ь[ — называется абсолютным моментом 'порядка )ь Привлекая интеграл Стильтьеса, можно выражения (1) н (3) объединить одной запнсьюе Ю М $ь = ) хьдРЬ(х).
' (5) Если М!йь[ не существует, то говорят, что случайная величина й не имеет конечного момента йорядка Ь. По определению моменты М4е и М[$ь[' существуют нли не существуют одновременно.,Требование абсолютной сходимости гарантис руст возможность произвольного порядка суммирования и, следовательно, корректность определения М$е (в (1), например, порядок суммирования определяется порядком нумерации значений $).
Определение 2. Момент М$ первого порядка (Ь= 1 в (1) и.(3)) называется математическим ожиданием, или средним значением, случайной величины $., Примеры.' . 1..Равномерное распределение й равномерно распределена в [а, Ь), т. е. 3. Распределение Коши; так называется распределение случайной величины г1=$Дг, где $!„Зг~й(0, 1) и независимы. Пользуясь формулой (65) й 8 с р (х) = р (х) = е — «'!г, Р2л беэ труда найдем р„(х) = — + — агс1их, так что р„(х) = 1 2 д и (1+гг) Поэтому М г! не существует, ибо ! х~ех 1+к~ 4.
Нормальное распределение: ~~Д!(1г, ог) ю !к — э!' 09 г* М$= — 1хе ге* дх= — ~(о1+р)е ' Ю= т'2г! е г' 2!! ею ° в а+ —" ~ ги=р ~2я 3 т'2я так как первый интеграл в правой части равен нулю. 5. Некто стоит перед дверью'своей квартиры и пытается открыть ее, перебирая ключи из связки; при этом испробо- ванный ключ не исключается при дальнейших попытках.
Спрашивается, сколько в среднем придется сделать попыток открывающему дверь, премгде чем он попадет домой? Р е ш ен и'е. Пусть $ — число попыток, понадобившихся для открывания двери, 4=1, 2, .... Если в связке и ключей, из которых одни — от данной двери, то событие й=й состоит в том, что нужный ключ попадается й-м, а перед этим л — 1 .раз выбирался неподходящий ключ.
Вероятность этого собы- ' тия ( а-11 )г-! 1 и, следовательно, ~а ° Ф м~=~~~„й( — "') ' — '= — '~)',ь| г=! ь=! г ! 82 л — 1 а = — ( 1. л Предположим теперь, что испробованный ключ устраняется из дальнейших попыток. В этом случае а=1, 2, ..., и и Рд= й) = — '" л л — 1 л — (а — 1) 1 1 — , й = 1, ... „ л. .л — (Й вЂ” 2) л — (» — 1) л ' Поэтому йети л л 2 2 Рассмотрим еще тот случай, когда речь идет о (безуспешных) попытках открыть дверь одним ключом, выбранным иа связки наугад. Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный наугад ключ подходит, Л вЂ” противоположное событие.
В этом случае 3=1, оо..По формуле полной вероятности. р» =Р($ = х») = РЯ =х»)А) Р(А) + Р($ =х»~А)Р(А), и М $ = ~' х»р» = Р (А) Я х,'Р (а = х» ) А) + » 1=1 » +Р(А) Я х» Р(5 =х»)А) М(5!'А)Р(А)+ ',М(а)А)Р(А), . ,Ь-! где М(АЙ!А) и МЩА) называются условным математическим ожиданием $ при условии А или Х (см. подробнее ниже, п. 4').
Имеем Р(А) = —, Р (А) = —, Р (5 = ЦА) = 1, л л Р(3 =оо(А) =О, РД =1~А) =О, рД =оо~А) =1,, так что М($)А) =1, М.($)А) =оо и М5=оо, как и следовало ожидать. 6. Петербургская игра. Играющий бросает монету до первого выпадения герба, после чего игра прекращается и бро. савшнй монету получает 2' коп., где й — число бросаний аонеты. Вероятность того, что герб рано или поздно появится, равна единице.
Следовательно, с вероятностью единица агрок получит некоторую сумму денег. Для того чтобы ука- зать осмысленную цену за участие в игре, следует подсчи тать математическое ожидание выигрыша (средний вынг рыш). Обозначим выигрыш й. Прн этом 41=(2, 2', ..., 2', ...) и, очевидно, р»=' Щ=2»)=2-», й= 1„ 2, .... Следовательно, М $ = 2. — + 4 — + ...
= оо. 1 1 2 4 Таким образом, играя неопределенно долго, можно рассчитывать получить сколь угодно большую сумму денег. Поэтому априори невозможно указать сумму, которая была бы адекватной платой за участие в игре, цена игры должна- быть бесконечно большой. Однако если речь идет о реальном участии в игре, то следует ограничить максимальный выигрыш. Будем считать, что максимальный выигрыш определен 2м копж335.10» руб. Это означает, что такая сумма будет получена, если число бросаний пз»25. Итак, в этом случае математическое ожидание выигрыша (и цена игры) М$= 2 — + 4 — + ...,+2" — + 1 1 1 ,. 2 4 ' Р~ + 2" ~ — + — '+ ...) = 24+ ~1 + — + ...) = 26 коп. "') 1 2- Таким образом, если считать реальным, скажем, 2м бросаний, что при условии затраты Зс на бросание занимает свы' ше месяца непрерывной игры, то средний выигрыш все-таки поразительно мал (<26 коп.). Этот факт, известный как петербургский парадокс, рассмотрен Даниилом Бернулли.
Отметим, что испытания Бернулли названы в честь Якова Бернулли. Переходим теперь к доказательству важной теоремы о математическом ожидании функций от случайных величин. Теорема 1..Пусть $ — дискретная случайная величина (непрерывная случайная величина) „принимающая ' значения хь хь ... соотмтственно с вероятностями рь'рв ... (имеющая плотность вероятности р(х) ), а »1 =1($) — новая случайная величина, где 1( ) = некоторая функция. Тогда математическое ожидание»1 равно М»1 = М1 ($) = ~у(х,) р, (М»1 = МГ ® = ( Г(х) р(х) Их), »=! — »в (6) если ряд (интеграл) (6) сходится абсолютно. Доказательство проведем для'дискретной случайной величины $.
Б этом случае случайная величина»1=1Ц) так- 84 же дискретна, ее значениями являются числа уь ум ...„где множество уь ум ... совпадает с множеством всех различных чисел среди 1(хз), 1(ха), ..., а вероятность каждого значения у, равна 9,=.Р(т)=у*) =Р(се:1($(м)) =р,) = Я Р' (У) Щ(хе>=ез Теперь имеем МЧ вЂ” ~ УзЧз — Я Уз ~ Ре— зз ~ з з ездха) вз = Я-( 1ч 1(хе)ре) = Я 1(хз)ро з 1 езяхе) в, з з (8) последнее равенство выполняется ввиду того, что каждое слагаемое 1(хз) р~ участвуйт в двух последних суммах один и только. один раз, поскольку все уз различны, возможность объединения в одну сумму следует из леммы о суммировании по блокам (см.
$3), так как ряд ~1/(л',))рз по услос-в вию сходится. А ' Сл едет вне. Для любой случайной величины $ и постоянных с», я=О, 1,,:, и МДч~ се$е) = ЯсеМ$е, е е е=е (9) х " ' ' . ° . з з Фуннцня от случайной велячяяы является случайной величиной, (сн. (1)) 85 . если М)фе] <ао, й=1, 2, ..., л.
Равенство (9) вытекает из теоремы 1, в которой й г(х) = ~~~ селе — полипом*. Из (9), в частности, следует, что а е Мс=с и М(сф) =сМ$, с — любая постоянная,, (10) (в последнем равенстве предполагается, что М)Ц(ее). Замечание. В случае, когда $ — дискретная случайная величина, принимающая значения хь хь ... с вероятностями рь рв... определена на дискретном вероятностном пространстве (И, зс; Р), нетрудно дать другое выражение для математического ожидания: М$ = Я гЮРЫ. езея (11> (16г здесь Р(щ) — вероятность элементарного исхода аь и сум- ма распространена на все элементарные события енеиь1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
