Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 12
Текст из файла (страница 12)
=1йпР(хь), и (8) доказано. 4. Правое предельное значение Р(х) в точке х равно Р(с.сх), т. е. Р(х+ 0)~11щ Р(хь) = Р($<х). (9) сей~ Действительно, пусть (хД вЂ” любая последовательность, стремящаяся к х справа, хь(х, т. е. х~>хт>...>х„>...>х и 1пп х* = х. Тогда, снова на основании (7) и о-аддитивнос- ти вероятности 1нп Р(х„) = Р(хД вЂ” [Р(х,) — Р(ха)[ —, ". — [Р(хь) — Р(хь+~)]— — ... = Р ($ < хД вЂ” [Р (х~ < $ < хД + ...
+ + Р (хьюг < $ < хД + ...[ = Р (й < хД— — Р(х< 3 < хД = РД<х), что и доказывает (9). 5. Справедливы следующие соотношения (х,<хт — лю- бые): Р(х <$<хД = Р(х~ + 0) — Р(х~),. (10) так как ($ < хД + (хь < $ ч хД = ($ ~ хе). 60 так как ($<хД +(х ( а <ха) = (я<хз). И Р (х, ( $ ( х ) = Р (х,) — Р (х, + 0), (1З) так как Д<хг)+ (х,< $(хз) =(5<ха).
6. Ввиду неубывания Р(х) положим Р( — оо) = 1пп Р( — п), Р(+ос) = 1нп Р(и). Тогда Р( — оо) =О, Р(+ ою) =1. (14) В самом деле, Р(+ оо) ='1пп Р(п) =Р(0) + [Р(1) — Р(0)1 +... + ичюо + (Р (и + 1) — Р (и)] + ... = Р ($ < 0) + Р (О < $ <. 1) + + ... + Р(п<$< (и +1)) + ... = РД(+ оо) =1. Аналогично Р( — со) =О.
Таким образом, каждая функция распределения не убы- вает, непрерывна слева и удовлетворяет условиям (14). Верно и обратное утверждение: если Р(х), — оо<х<оо, удовлетворяет перечисленным ф) условиям, то она может рассматриваться как функция рас- 1 пределения некоторой случайной ц величины. Однако существует сколько Г 1 к угодно случайных величин с данной функцией распределения. Например, функция рнс.
1О распределения случайной величины $, принимающей значения — 1 и +1 с вероятностью 1/2, совпадает с функцией распре- деления т(= — $, хотя $4=П вЂ” с вероятностью 1. Отметим также, что из неубывания произвольной функции распреде- ления Р(х) и неравенства 0<Р(х) ~.1 следует, что Р(х) имеет не более счетного числа скачков. Действительно, мож- но пронумеровать все скачки следующим образом: сначала В частности, если хз х~=х, Р($ = х) = Р(х+ 0) — Р(х). (11) Р (хг < 5 < хз) = Р (х + 0) — Р (х + 0), (12) ясе скачки, большие 1/2 (их ~1), затем скачки, большие !/3 (нх ~2), н т.
д. Таким образом;Р(х) непрерывна всюду на Р, за исключением не более чем счетного множества значений. 2'. Дискретные и'непрерывные случайные величины Рассмотренные выше случайные величины, распределенные нормально и.по бнномнальному закону, являются характерными примерами двух основных классов случайных величин: непрерывных н дискретных. Определение 3. Случайная величина $ называется дискретной, если множество ее значений конечно нли счетно. Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины, принимающей значения х,, хь ..., достаточно задать вероятности р»'=РК =х»). Зная значения х» н р» й= 1, 2, ..., можно записать функцию распределения Р(х) дискретной случайной величины С в виде Р (х) = ~~~~ р».
(15) »:»»<л Очевидно, Р(х) не зависит от способа нумерации значений случайной величины $. Таким образом, функция распределения любой дискретной случайной величины разрывна, возрастает скачками в точках х=х», величина скачка равна Р(х»+О) — Р(х») =рь (16) ' Примеры 1 н 2 в п. 1' служат примерами дискретных случайных величин.
При изучении дискретной случайной величины можно не обращаться к исходному вероятностному пространству. Достаточно рассматривать новое вероятностное пространство (»1, У, Р). порожденное этой случайной величиной, в котором Я=(хь хь ...) — множество значений $, У вЂ” о-алгебра всех подмножеств И н Р— вероятность на У, определенная для каждого одноточечного подмножества й равенством Р((х»)) = р» — Р(3 = х») = Р((»»: $(в) =х»)). (17) С помощью (17) можно определить вероятность любого множества А АУ (т. е. любого подмножества»з): Р(А)=Р(~ А)= Е р =Р(:11©)="» (18) »:»»еА х»еА Функция распределения Р(х) случайной величины $ задается равенством (15), а поскольку, обратно, р»=Р((х»)) = =Р(х»+О) — Р(х»), то функция ' распределения полностью определяет вероятность Р на У .
о-адднтивность вероятности Р, как и вообще, корректность определения (18), следует нз леммы о суммировании по блокам (см. $3). Определение 4. Случайная величина $ называется непрерывной (илн абсолютно непрерывной), если ее функция распределения представима в виде м Р(х) = ~ р(у)ду. (19) функция р(у), — со<у<со, называется плотностью распределения вероятностей (или плотностью вероятности) случайной величины $ и далее предполагается неотрицательной и кусочна-непрерывной. Платность р(у) полностью определяет функцию распределения Р(х), а в точках непрерывности р(у) определяется по функции распределения, так как в этих точках р(х) =' —, , нГ(х) дх и, таким образом, в этих точках свойство неотрицательности плотности является следствием неубывания Р(х). Для любых х1<хз Р (х, < $ < хй) = Р(х,) — Р (х,) = ~ р (у) ду.
(20~ Х1 Если, в частности, плотность р(у) непрерывна на 1х, х+Лх)„ Лх>0, то согласно (20) и теореме о среднем для интеграла Р'(х < $ < х + Лх) = р (х) Лх + о (Лх). (21) Заметим, что для непрерывной случайной величины Р ($ = х) = Р (х, + О) — Р (х) = О, (22) так как Р(х) непрерывна, т. е. вероятйость того, что $ примет любое фиксированное значение из )гь равна нулю. Поэтому в формулах (20) и (21) строгие неравенства в событиях могут быть заменены ха нестрогие. Очевидно, что М ~ р(У)с(у =Р(+ос) = 1. (23~ Примером непрерывной случайной величины является нормальная М(р, о') случайная величина с плотностью ы — ю* р(х) ==с (241 ч г'зм , (прнмер 3 в п.
1'). С непрерывной случайной величиной также связано новое вероятностное пространство (й, уг, р), где Й вЂ” действительная прямая Яь зг' — а-алгебра борелевских множеств на 63. .прямой. Для каждого интервала (хь х») вероятность Р определяется по формуле (20). В теории меры доказывается, что тем самым вероятность Р определяется и для всякого события А~У, т. е.
для любого борелевского множества на прямой. Отсюда следует, что и в этом случае вероятность полностью определяется функцией распределения. В дальнейшем мы будем считать, что случайная величина $ задана, если задано вероятностное пространство (ьз, Я, Р), или, Иначе, если задана функция распределения Р(х), когда речь идет о дискретных или непрерывных случайных величинах.
Следует указать, что, конечно, существуют случайные величины, которые не являются ни дискретными, ни непрерывными, ни их комбинацией (мы имеем в виду случайные величины с функцией распределения вида': Р(х)=у ~: Р»+у ~ Р(у)Иу, мх»«х где ОВ Чь Ч»»0 Ч~+Ч» =1. Язр» = 1 ) Р(У)"У= 1) .Это так называемые сингулярные случайные величины. Простое приведение примера такой случайной величины требует специальной конструкции типа известной кривой Кантора (см. (1)). Сингулярные распределения представляют собой некоторую «экзотику» и в реальных задачах практически не встречаются.
Мы исключаем такие случайные величины из дальнейшего изучения. Замечание. Все сказанное о функциях распределения автоматически переносится на случай условных вероятностей. Если Р(В) )О, то Р(х1В) =РЯ<х~1В) называется условной функцией распределения случайной величины $. Она обладает всеми указанными выше свойствами функций распределения. 3'. Векторные (или многомерные) случайные величины В задачах со случайным .исходом обычно приходится учитывать взаимодействие различных случайных факторов. Это естественным образом приводит к рассмотрению много.- мерных случайных величин. Определение 5.
Пусть (ьз, У, Р) — вероятностное пространство, и $~(в), $»(в), ..., $ (а) — случайные величины, определенные на Я. Вектор $(тз) =(~~(а), ..., $ (а)) называется, случайным вектором, или п-мерной случайной величиной, а 5;(в), 1=1, 2, ..., и, называются координатами, или компонентами, случайного вектора З. Поскольку все $;(в), 1=1, 2,...;л, заданы на одном и том же вероятностном пространстве, а У замкнуто относительно взятия произведения конечного числа, событий, то множество (в: Ь(со) <хь ..., Ь(в) <хо)енУ для любого набора действительных чисел хь ..., х . Таким образом, оправдано следующее Определение 6. Функция Р(х„х, .:, х„) =р(ь,<х, ~,< <хь ..., $ <х ), х;Иь 1'=1„.2, ..., л, называется и-мерной фУнкцией РаспРеделениЯ слУчайной величины $= (5ь 5,, ... ..., $л) ° Ради наглядности и краткости будем рассматривать двумерные. случайные величины.
Геометрически двумерная функция распределения Р(х, у), равная -Р(х, у) =РВ<х, Ч<у), (25) задает вероятность попадания точки ($, ~)) в бесконечный прямоугольник $<х, т!<у, (заштрихованная часть на рис. 11). Коротко перечислим основные свойства двумерной функ- ции распределения Р(х, у); 1) Р(х, у) не убывает по х и по у, 2) Р(х, у) непрерывна слева по каждому аргументу, 3) Р(оо, оо) 1, Р( — оо; у) =О,. Р(х, — оо) =О, где по оп- ределению Р(оо, у) '= 1йп Р(л, у), Р(оо, оо) = 1пп Р (л, гл), г3-ьЮЮ о,и-ью Р(х, — оо)=1пп Р(х, — л); все зти 'пределы существуют ввиду неубывания Р(х, у) по х и у (доказательства свойств' 1 — 3 'аналогичны проведенным в пункте 2'), 4) Р (х, < $ < х„у, < Ч < уа) = Р (х,, у,) — Р(хх, уев —.Р(х,, у,) +Р(х,, у,) (26) (доказательство сразу следует из определения (25) (см.
рис. 12)). 5) Пользуясь двумерной функцией распределения,'можно найти функции распределения координат $ и ц (так называемые маргинальные распределения): Р~(х) =Р(х, оо), Р„(у) =Р(оо, у). (27) В самом деле, имеем Д<х)= ~. (5<х,й<ч<й+ Ц. 3 Ю. и. Пытьеи, и. л. шинмарев Поскольку события под знаком суммы попарно несовместны, то в силу а-адднтивности вероятности Рь(х) =РК<х) = Е Р($<х,й<Ч<А+1) = [Р(х й+ 1)= Р(х, й)1 = Ма 11гп 7 (Р(х, й+ 1) — Р(х, фи„и,.- мг 1пп [Р(х, Же+ 1) — Р(х, — М,))в Ммяг~ ав = Р(х, оо) — Р(х, — оо) = Р(х, оо), и первая формула в (27) обоснована, другая — аналогично.
Определение 6. Случайный вектор называется дискретным, если каждая, его координата — дискретная случайная х х Рло. 11 Рис. 12 величина, и непрерывным, если существует кусочно-непрерывная* неотрицательная функция р(х, у), х, ден1чь такая, что для любых х и р л и Р(х, у) = ) ~ р(г„ге) г(г1г(ги. (28) ОФ ЗВ Функция р(х, д) называется плотностью вероятности случайного вектора ($, г[). Плотность вероятности обладает следующими свойствами. 1) В точках непрерывности р(х, у) справедливо равенство деР Р(х у) = —.
диду ' ' Определение кусочно-неирермвной функции дли многомерного случаи см. в [о]. В самом деле, если Р представляет собой произвольный прямоугольник П=(х1~$<хп у~<т(<уз), то (29) есть очевидное следствие равенств (26) и (28) ..
В общем случае мы, как обычно, аппроксимируем область Р суммой входящих и выходящйх квадратов, для иих' справедливость (29) доказана только что, а затем устремим сторону квадратов к нулю. В силу предположенной квадрируемости области 0 и кусочной непрерывности р(х, у) этот предельный переход приведет нас к (29). В частности, если р(х, у) непрерывна при х1~х~х1+Лх, д1ч,.у~у1+Лу, то с помощью равенства (29) и теоремы о среднем для интеграла, получим Р (х, ~ $ ~„х, + Лх, у, ч,- т) < у, + Лу) = = р (х„д,) ЛхЬу + о (Лхбу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
