Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(5) !=1 При этом вероятность любого события АепУ определяется равенством (6) Р(А) = ~! Рд «в!аА Проверим, что для дискретного вероятностного пространства выполнены аксиомы теории вероятностей. Поскольку"аксиомы 1, 2 и 5, очевидно, выполнены, достаточно про.верить лишь аксиомы 3 и 4. Но обе эти аксиомы следуют из леммы о суммировании по блокам. Остановимся на свойствах вероятности, которые вытекают из аксиом. Так же как пр!( доказательстве свойств классической вероятности, найдем, что: 1) Р(А) =1 — Р(А), так как А+А=Я.
2) Если А»В, то Р(В" А) ='Р(В) — Р(А), так иак В= =А+В~А. Следовательно, включение А»В влечет неравенство Р(А) ~Р(В) (монотонность вероятности). 3) Для любых событий Аь ..., А имеет место равенство (2.6), причем приведенное там доказательство верно и в общем случае.
Сохраняют силу и выражения для вероятности (;>,, того, что осуществится ровно т событий из Аь ... ..., А, а также для вероятности Р„... того, что осуществится не менее !и событий иа Аь ..., А,. 4) Пусть А!»Аэ»...»А,»... — последовательность событий, каждое из которых влечет все последующие. Если ев А = Ц А! — событие, состоящее в том, что происходит 1 хотя бы одно из событий Аь 1=1, 2, ..., то Р(А) = 1пп Р(А„).
л е Действительно, положим Ар=И. Тогда А =Ц'А! =(А1'~,Ав)+ (Ар~А!) + ... + (А„'~,Ал-1)+ и е л Р(А) =~~ Р(А!',А; !) =1пп ~' Р(А ь,А1 !) = 1=1 !=1 = 1пп ~1~ (Р(А<) — Р (А! !)) = 1пп Р(А) . л-ьее л-ьы !'=! 5) Если А1:эАр-э...:эАл:э... — последовательность событий, каждое из которых влечет все предыдущие, и А = ее = П А! событие, состоящее в том, что происходят все со- ! 1 бытия Аь ..., Ал, ..., то Р(А) =!пп Р(А). Это утверждение может быть доказано с помощью принципа двойственности. Действительно, для противоположных событий: А1~Азс:...сА с:...
и А =ЦАть Поэтому Р(А) =1йп Р(А), н, следовательно, 1 л~ ле Р(А) = 1 — Р (А) = 1йп (1 — Р(А„)) = 1пп Р(А) . в~ее л ее Свойства 4 н 5 можно понимать как свойства непрерывности вероятности относительно монотонных предельных переходов. Действительно, если л А, с: А, с ... ~ А„с..., то () А; = А„, 1=1 и множество А = Ц Аг естественно назвать пределом мо/=1 потопной последовательности множеств А,с Авс ... с А„с с= ...: А =!пп Аь Тогда согласно свойству 4: 1 ° Ф Р (А) = Р (1 пи А;) = 1пп Р (А;).
!-е 1.еее 33 2 Ю. П. Пытьев, и. А. Швшыврев Точно так же, если А, ~А,:з...:з А„:з ..., то А„= ПАВ у ! и множество А = П А; называется пределом монотонной по! следовательности множеств А,.~ А,:» ...:з А„:э ... А = = 1йп Аь В данном случае свойство 5 означает, что / Р(А) = Р(!ппАу) =1пп Р(Ау). 1у а у-а $4. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ Пусть задано вероятностное пространство (11, У, Р). Рассмотрим задачу определения вероятности события А, если известно, что произошло событие В, причем Р(В))0.
При этих условиях пространством элементарных событий естественно считать не й, а В, поскольку тот факт, что В произошло, означает, что речь идет лишь о тех элементарных событиях уз, которые принадлежат множеству В. В общем случае событие АПВ влечет А, но, если известно, что событ тие В произошло, то при этом условии А влекут те и только те элементарные события, которые принадлежат АПВ. Поскольку ранее мы условились отождествлять событие А и множество элементарных событий, влекущих А, то теперь событие А следует отождествить с множеством Ав=АПВ.
Можно сказать, что множество Ав=АПВ есть событие А, рассматриваемое с точки зрения, согласно которой пространством элементарных событий объявлено событие В. ' На новом пространстве элементарных событий В а-алгебра событий У в определяется, или, как говорят, индуцируется, о-алгеброй событий У . Именно У в состоит из событий вида Ав=АПВ, где АенУ у Проверим, что У в действительно ц-алгебра. Пусть Ав, Св, Св!енУв(А, С, С!енсг), 1=1, 2, .... Тогда, используя свойства дистрибутивности операций объединения () н пересечения П, найдем Ав 0 Св = (А П В) () (С П В) (.4 0 С) () В = (А Ы С)в, 1(С,'=11(С!ПВ) = (11С ) П В= (11 С!),, у=! у=! ! у=! Ав1') Св = (А () С)в Следовательно, Ав 0 Св„Ц Св, Ав() Св ен ггв. Наконец, по !=1 ° определению Аз=В" Ав =В',А=ВЯЛ=(А)в,'поэтому Авен енУ в, если АвенУ в.
34 Введем на и-алгебре У в вероятность Ра( ): Ра (Ав) = Р (АПВ ) (Р (В). Без труда можно проверить, что Рв( ), так же как и Р( ), удовлетворяет аксиомам 2 -5 теории вероятностей. Наглядный смысл вероятности Рв( ) можно пояснить с помощью классической вероятности. В этом случае Я= =(ы!, ..., еь,), причем события (!е!), ..., (ьь,) равновероятны. Пусть В = (е!;„..., а)„), так что Р(В) =з/п, и АПВ= = (е;„..., в! ) с- (е!л, ..., в) ), та5 что Р(АПВ) =з/и. Если В рассматривать как новое пространство элементарных событий, то вероятность события Ав определяется как отношение числа з исходов, благоприятствующих Аа, к общему числу исходов й.
Теперь общее число исходов — число исходов, приводящих к событию В. Таким образом, в согласии с классической схемой . Рв(Ав) — — — — ' а а!л Р (АПВ) а «/и Р (В) Тройка (В, У в,,ра) является новым вероятностным пространством, построенным в связи с поставленной задачей. Но вероятность ~!в( ) можно рассматривать и на о-алгебре У'. На У'-Рв( ) также является вероятностью и обозначается Р( ° 1В), р (А 1В) Р (А Й В) А (1) Р (В) Р( 1В) как функция на У называется условной вероятно- стью события А при условии, что событие В произошло.
Что касается свойств вероятности Р( )В), то они вполне аналогичны соответствующим свойствам вероятности Р( ): Р(Я~ В) =1, Р(А~В) =1 — Р(А)В), Р(А!+Аз~В) =Р(А, ~В)+Р(А~~В), так как (А,+Аз)()В=А!ПВ+А2ПВл Если воспользоваться равенством Р(А ЦС) = Р(А) + Р(С) — Р(АПС), то, полагая Х=АПВ, С=СОВ, нетрудно проверить, что Р (А Ц С(В) = — Р ((А Ц С) П В) = Р (В) = — Р((АПВ) Ц(СДВ)) =Р(А~В) + Р(С~В) — Р(АЙС1 В). Р (В) Наконец, очевидно, О р(А + А + ... ~В) = )Г Р(А)1В) /=1 (счетная аддитивность условной вероятности). 35 Для иллюстрации техники вычисления условных вероятностей рассмотрим пример.
Известно, что вероятность аварии при запуске ракеты равна 0,1, в том числе вероятность аварии на старте — 0,09. Какова вероятность аварии в случае успешного старта? Обозначим через А событие «авария при запуске», через  — событие «авария на старте». Требуется вычислить вероятность Р(А)В). По смыслу ясно, что ВсА. Поэтому В:эХ Следовательно, АПВ=А. Это равенст. во позволяет подсчитать вероятность Р (А! В) =- =Р(АПВ)(Р(В) =Р(Л))Р(Б).
Поскольку о(А ~ В) +Р(А(В) =1, то искомая условная вероятность равна Р(А (В) = 1 — 0,1 1 = 1 — ' = —. На рис. 7 приведено «графиче- 0,1 — 0,09 91 ское» решение задачи. Из определения (1) следует так называемая теорема умножения вероятностей Р(АПВ) =Р(А(В)Р(В), Р(В) )О. (2) Вполне аналогично можно записать Р (А П В П С) = Р (А ( В П С) Р (В П С) = = Р(А !В()С)Р(В(С) Р(С), Р(В() С) > О. С точки зрения математической этот результат тривиален.
Но его роль на самом деле не математическая. Эта теорема применяется при В определении вероятностей в тех случаях, когда по смыслу задачи легко определяются условные вероятности. Поясним это следующим примером. Имеются 30 экзаменационных билетов, среди которых а«А 5 «счастливых». Кому выгоднее тянуть ряс 7 р(А) 0 ! бИЛЕт — ПЕрВОМу НЛИ ВтОрОМу? р(в) =0 09, р!А )и) = Обозначим через А событие «пер= р(А0В)/р(В) = (0,1 — вый вытягивает «счастливый» би— О 09) l(1,0 — 0,09) лет»,  — «второй вытягивает «счастливый» билет».
Тогда А означает, что первый не вытянет «счастливый» билет, а  — что второй. Заметим, что А+А=(1, поэтому В = ВП11 = ВПА+ ВПЛ. Следовательно, Р(В) =Р(ВПА)+Р(ВПА) = =Р(В)А) Р(А)+Р(В(А)Р(А). Что касается вероятностей, которые входят в эту формулу, то Р(А) = — = —, Р(А) = —, Р(В~)А) =— 30 б ЗО 29 Зб Р(ЩА) = — ' 29 и, следовательно, Р(В) = — . †+ — . Таким обра- 1 4 5 5 6 29 6 29 зом, Р(В) =1/6=Р(А).
Читателю рекомендуется выяснить, может быть 1гретьему больше повезет7 Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие независимости. Определение. События А н В кпэываются независимымн, если Р (АПВ) = Р (А ) Р (В). . (3) Если Р(В))0, то согласно (2) и (3) Р(А~В) =Р(А), как и должно быть по смыслу условной вероятности. Аналогично, если Р(А))0, то Р(В~А) =Р(В). Однако определение независимости А и В на основе равенств Р(А~В) =Р(А), Р(В~А) =Р(В) не эквивалентно (3), так как в (3) не предполагается существование условных вероятностей. Из определения независимости непосредственно следует: 1) й и любое событие А независимы.
2) Любое событие А и событие В независимы, если Р(В) =О. В самом деле, поскольку АПВ~В, то О~Р(АПВ) ~ .аР(В) =О. Следовательно, Р(АПВ) =О=Р(А)Р(В). 3) Если А и В независимы, то независимы также следующие пары событий: А и В, А и В, Л и В. Докажем, например, независимость Х и В. Так как А+ А ~ 21, то АПВ+АПВ = В и, следовательно, Р (В) Р(А)Р(В)+Р(АПВ) 2 Поэтому Р(ХПВ) =Р(В) (1 — Р(А)) = =Р(В)Р(А). Остальные утверждения доказываются аналогично. Понятие независимости кажется несколько искусственным, так как достаточно слегка изменить одно из событий и независимость будет нарушена.
Поэтому на примере дискретных вероятностных пространств покажем, какая конструкция, как правило, определяет природу независимости. Пусть 1 1 2 2 11 = (в1, ..., в,„...), 11 = (в1, ..., вм ...). Как мы знаем, в вероятностном пространстве (111, 821, Р1) событиями являются все подмножества 11, и вероятность определена для каждого элементарного события Р1((в';)), / =1, ..., п, .... Аналогично устроено (112, Я ь Р2).
Определим новое вероятностное пространство (й, У, Р), в котором 11 состоит из 1 2. всевозможных упорядоченных пар в,; = (в1 ву): й = (в',.1 = (в1,. в'), в'1 е= и„в2, ен Й2). 37 Так определенное 21 называется произведением 221 н 2)г н обозначается 2)1Х2)2. Событиями назовем все подмножества 22 н соответствующую и-алгебру обозначим У =У»хУ2. Наконец, вероятность на У определим с помощью равенства Р((22);)) = Р2((121)) Р, ((122)); так что для всякого события АяУ Р (А) = ~ Р ((1211)).. ' (4) в1/ Е А Построенное вероятностное пространство называется произведением пространств (ь)„У, Р,) и (Й2, У2, Р,) и обозначается (й2, У! Р!) х Ф2 Ув Р2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
