Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Следовательно, согласно классическому определению вероятность того, что в группе нз и студентов на каждый день приходится не более одного дня рождения, равна Р„= = Л (365) -л Подсчитав число комбинаций, в которых нет совпадающих дней рождения, нетрудно сообразить, что во всех оставшихся комбинациях имеются по меньшей мере два совпа дающих дня рождения. Таких комбинаций (365)" — й. Следовательно, искомая вероятность равна [(365)" — Ц/(365)"=* =1 — Р„.
Как видно нз приведенной таблицы, искомая вероятность становится довольно близкой к единице для групп, существенно меньших 366 человек. Такой вывод априори далеко не очевиден. Гяпергеометрическое распределение. Дана совокупность и объектов, среди которых л отмеченных (напрнмер, бракованных изделий, выигрышных билетов н т. п.). Выбирается наугад п~~п объектов. Какова-вероятность того, что среди ннх окажется й~ отмеченных? Выбрать л~ объектов нз и можно С'," различными спо18 собами. й1 отмеченных объектов из общего их числа и можно выбрать С»9' способами, причем каждому такому способу соответствует С'„" 9' способов добрать еще п1 — А1 объектов до общего числа пь выбирая их из и — й неотмеченных. Следовательно, число способов, благоприятствующих появлению йд отмеченных объектов, среди п1 выбранных, равн4» С»44С~~'9'.
Поэтому искомая вероятность равна ф с„" —,' Рм,»(й„п»)= " 4, й»=0,...,ш!п(й,п,). (3), Ф Совокупность вероятностей (3) носит название гипергеометрического распределения. Применим гипергеометрическое распределение к анализу вероятностей выигрышей при игре «спортлото». В данном случае п=49 (число наименований видов спорта), й=б. (число отмеченных видов спорта), п~=б (число выбранных видов спорта). Следовательно, вероятность угадывания й4 видов спорта равна Р9, 49 (йм 6) =С4 С449-9 4С499. В том числе вероятность угадывания всех шести видов спор-, та равна Рв. 49(6 6) = 1/С«49- 7,15.19-9, а пяти — Р4, 49(5,6) = = С94С491 С49 1,84 10 9.
Рассмотрим несколько важных задач на размещения„ возникающих при изучении некоторых систем частиц в физике и статистической механике. Система Максвелла — Больцмана характеризуется как система г различных частиц, каждая из которых может находиться в одной из и ячеек (состояний) вне зависимостк от того, где при этом находятся остальные частицы.
В такой системе возможно всего п' различных размещений г частиц по -и ячейкам. Если при этом все такие размещения (состояния системы) считаются равновероятными, то говорят о статистике Максвелла — Больцмана. Вероятность каждого состояния равна и-'. Система Бозе — Эйнштейна определяется как система г неразличимых (тождественных) частиц, каждая из которых независимо от остальных может находиться в одной из и ячеек (состояний).
Поскольку частицы неразличимы, каждое состояние такой системы задается «числами заполнения» гь гз, ..., г„где г; — число частиц в /-й ячейке. Под» считаем число различных состояний системы (т. е. число размещений частиц, различающихся лишь числами заполпе- 1э 1 ния). Состояние системы удобно условно представить, как это показано на рис. 6. Здесь изображена конфигурация из г точек (частиц) и и+! черточек (границ ячеек).
Понятно, что каждая такая конфигурация задает размещение неразличимых частиц по ячейкам и наоборот, если задано состояние системы в терминах чисел заполнения, то ему соответст- вует одна конфигурация. Каждая конфигурация, в свою очередь, полностью определяется положениями внутренних л — 1 черточек, которые могут находиться в и+г — 1 позициях. Следовательно, имеется всего С„.~, ~ различных конфигураций и столько же различных состояний рассматриваемой системы частиц. Если все состояния системы равновероятны, то говорят о статистике Бозе,— Эйнштейна. При этом вероятность каждого состояния системы равна 1/С„"+,' ь Заметим, что если 'дополнительно потребовать, 'чтобы в каждом состоянии системы ни одна ячейка не оставалась пустой, то число возможных состояний системы сократится до С,":~.
Йри этом, разумеется, частиц должно быть не меньше, чем ячеек, гъа. ' Чтобы получить этот результат, следует'воспользоваться найденным ранее числом состояний системы без ограничений, предварительно «приклеив» к каждой из и черточек справа но одной точке, исключив последнюю (и+ 1)-ю (правую) черточку. В таком случае, переставляя черточки, мы будем получать состояния, при которых в каждой ячейке , будет находиться не менее одной частицы.
Теперь однако для а — 1 черточек оказывается не и+г — 1, а лишь г — 1 вакантных мест (на п меньше). Система Ферми — 'Дирака определяется как система Бозе — Эйнштейна, в которой дополнительно действует принцип запрета,(принцип Паули), требующий, чтобы в каждой ячейке находилось не более одной частицы. Поскольку н в этом случае частицы неразличимы, состояния системы характеризуются числами гг=О, 1, 1=1, ..., и. Однако в данном случае непременно г~п. Задать состояние системы можно, указав заполненные ячейки. Последние Можно выбрать С,' способами; столько же состояний системы Ферми — Дирака.
Если все состояния равновероятны, то говорят о статистике Ферми — Дирака. Вероятность каждого состояния в таком случае равна ЦС . '20 В классической статистической физике статистике Максвелла — Больцмана подчинены, как известно, системы 'молекул газа. Системы частиц с целым н полуцелым спнном подчиняются соответственно статистикам Бозе — Эйнштейна и Ферми,— Дирака. Для того чтобы рассмотреть свойства классической вероятности, удобно несколько упростить и формализовать классическую теоретико-вероятностную модель. Будем считать события .А» ..., А„образующие полную группу попарно несовместных равновероятных событий, точками аь „, ы„нового пространства элементарных событий, для которого сохраним прежнее обозначение И.
Другими словами, положи и И =(ы1)+(вз)+...+(гэ.), где (а;л обозначает множество, состоящее нз одной точки ю~ (элементарного события), 1=1, ..., и. Для каждого элементарного события ен определим вероятность Р((м,)) = — ', 1= 1...., и. а Алгебра У событий в данном случае состоит нз невозможногю события Я н всевозможных объединений одноточечных множеств (вД, 1=1, ..., п, всего — из С1+Сс + ... ...
+С"„=2" событий: Для любого события АенУ вероятность Р(А) определим равенством Р(А) =т/и, где гп — число элементарных событий, нз которых состоит А. Формально классическая теоретико.-вероятностная модель, очевидно, эквивалентна тройке (И, У, Р( )), состоягцей нз пространства элементарных событий И, содержащего и точек, алгебры У, содержащей 2" событий, н вероятности Р( ), определенной для всех событий нз У. Рассмотрим свойства классической вероятности. 1) Для любого А~У: О~Р(А)~.\ (поскольку О~лг<п).
2) Вероятность достоверного события А=И равна единице (гак как для,А=И тч в). Вероятность невозможною события Я равна нулю (так как для А=о т=О). 3) Для несовместных событий А1 н Аз Р(А1+А2) =Р(А1)+Р(Аэ). (4) Это простейший вариант так называемой теоремы сложения вероятностей. Для доказательства равенства (4) достаточно заметнть, что если гп, н тр — числа элементарных событий, бл.агопрнятствующнх соответственно событням А1 н Аэ, 21 то в силу несовместностн А, н Ат (АДАз=8) сумма т~+те является числом элементарных событий, благоприятствуюших А~+Ля Поэтому Р(А„+В) = ' '+ ' = — ' (- — ' = Р(А) -(- Р(В).
4) Вероятность события А, противоположного А, равна Р(Х) =1 — Р(А). Доказательство следует нз замечания, что А+А=0, н, следовательно, согласно свойствам 2, 3 Р(А+А) =Р(А)+ +Р(А) =1. 5) Если событие А влечет В, А~В, то Р(В~А) = Р(В) — Р(А) н Р(В)~Р(А). Для доказательства заметим, что В=А+ +В()А, причем события А и В()А несовместны (так как несовместные события А и Х и В()йс:А).
Поэтому согласно свойству 3 Р(В) =Р(А)+Р(ВПА). Отсюда' следует, что Р(В) ъР(А), так как согласно свойству 1 Р(ВЩ ~0, а также Р(В()Х) =Р(В" А) =Р(В) — Р(А). 6) Для любых событий А~ н Аз имеет место равенство Р(АгЦАз) =Р(А~) +Р(Аэ) — Р(АЯАз). (5) Действительно, АгЦЛз=А~+Аз~ Аа =А~+Аз~,(А~ЙАз). А так как А,()Аз~Ам то равенство (5) следует ив свойств 5, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
