Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Кроме того, операции над событиями () и П взаимно дистрибутивны: А() (ВПС) =(А() В) П(А() С) АП(В()С) =,(АПВ)0(АПС) 12 Наконец, в теории вероятностей н ее приложениях важную роль играет так называемый принцип двойственности, который может быть выражен следующими соотношениями: АОВ=АПВ, (2) АП В =А0В. Докажем, например, первое равенство в (2), рассматривая его как равенство событий. Событие .
АОВ согласно определению 3 состоит в том, что не происходит событие АОВ, состоящее в наступлении хотя бы одного нз событий А нлн В (определение 7). Но это буквально н означает, что не происходит нн А, нн В. Другими словами, согласно определениям 3 н 5, происходит событие АПВ. Следовательно, событие АОВ влечет событие ХПВ АОВс-ХПВ. Наоборот, если происходит событие ХПВ, то не происходят нн А, нн В. Следовательно,, не происходит собмтне АОВ, т. е.
происходит АОВ. Поэтому ХПЯ~АЦВ. Докажем теперь то же самое в терминах операций над множествами. Для этого достаточно показать, что всякий элемент множества АОВ содержится, в ХПВ' (н тем самым АОВс:ХПВ), и, наоборот, всякий элемент множества' ХПВ содержится в АОВ (т. е. ХПВ~АОВ). Доказательство следует из системы соотношений: вен А0 В 'в~ АОВ +в~А, г» ен В (3) -' е ен А, в е В ~ е анА П В, в которых символ ~ следует читать как «эквивалентно». Читая соотношения (3) слева направо, получим включение А0Вс:ХПВ.
Если (3) прочитать справа налево, то найдем, что ХПВс:А0В. Следовательно, А0В=ХПВ. Разумеется, принцип двойственности справедль)в для любого множества событий: 0 А«= ПА«' ПА«=0А «ез «ез аез а«з здесь символ 0 ( П ) означает объединение (пересеченне) абаз авз множества событий А„отличающихся индексом ааи5, кото.' рый может пробегать н' несчетное множество значений. К принципу двойственности следует отнести еще одно соотношение Ас=ВчьХлВ, доказательство которого очевидно..
Роль принципа двойственности в теории вероятностей состоит в, том, что для всякого утверждения, относящегпся к некоторой системе событий, может быть сформулировано эквивалентное ему двойственное утверждение, в котором события должны быть заменены на соответственно противопо- вл лав лев л~в л1в лев-ллв лпв лов Рас. 5 ложные, объединения — на пересечения и наоборот, и учтено соотношение (4). Например, утверждение (АОВ)ПСс= се~У эквивалентно (А0В)ПС=зМ~Ф, а последнее может быть преобразовано к виду (АПВ) 0С:зФ~~М, поскольку (А0В)ПС = (А0В)0С'=(АПВ) 0С и М~~Ч = МПУ = =МОЛ = М 0М. Возвращаясь к соотношениям дистрибутивности (1), заметим, что и для произвольных систем событий А0(П Аа)= Й (АОАв); АП(0 А )= 0 (АПА.) Щ В частности, АП(В+С+О+- ) =АПВ+АПС+АП0+-.: Докажем, например; первое соотношение в (5).
Событие. А0( П Ал) происходит' тогда и только тогда, когда про- вез исходит либо событие А, либо событие П А„ (т. е. все со- аяв бытия А„аен5), либо, наконец, А и П А„. С другой сто. аез роны, событие П (АОАв) происходит тогда и только тогда, вяз когда происходят все события АОА, а~5, т. е. тогда и только тогда, когда происходят либо А, либо все А„а~В, либо, наконец, когда происходят А и все А, аеи5.
Следовательно, события А0( П Ав) н П (АОАе) равны. вез вез Второе равенство в (5) читателю следует доказать самостоятельно. Рассмотренные свойства операций над событиями носят алгебраический характер. В теории вероятностей принимается, что класс У всех возможных событий должен удовлетворять следующим требованиям. 1) Для каждой пары событий А и В из включений АеиУ ВяУ следует включение А()ВенУ.
Иными словами, класс У вместе с каждой парой событий содержит их объединение. 2) Вместе с.каждым событием А класс У содержит противоположное событие Л. Если класс У не пуст, то отсюда следует, что Я~У, так как И=А+А. Следовательно, ОенУ, поскольку 8=0. Наконец, так кЪк согласно Принципу двойственности АПВ= =АЦВ, то класс У вместе с каждой парой событий А и В содержит их пересечение АДВ и разность А~ В=А()В. Класс У событий, удовлетворяющий условиям 1 и 2, называется алгеброй событий.
Конструкция алгебры событий позволяет 'охарактеризовать множество всех возможных результатов любого' эксперимента со случайным исходом, если множество И его элементарных исходов конечно. Например, в эксперименте с игральной костью 11 состоит из шести элементарных событий, а У состоит из всех подмножеств Я. Поскольку У содержит пустое подмножество )21, 6 = Сз одноточечных под- 1 множеств, 15 = С~е двухточечных, 20 = С~а трехточечных, , одно (Се~) шеститочечное, тоУсостоит из 2е=1+Се+С~ь+ ... ... +С~ в=64 событий. И вообще, если 11 состоит из.
л элементарных событий, то У состоит, очевидно, из 2"= =С +Сс +... + С'„' событий. Совсем не так просто обстоит дело в эксперименте с бросанием точки на отрезок. Здесь в качестве системы событий в дальнейшем придется выделить специальный класс подмножеств, более широкий, чем алгебра Но, с другой стороны, при попытке использовать в качестве событий все подмножества отрезка мы столкнулись бы с серьезными трудностями. $2.
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРЕТИКО-ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ Пусть 11 — конечное или бесконечное пространство элементарных событий некоторого случайного эксперимента. Предположим, что структура эксперимента 'такова, что на 11 можно указать и событий Аь Аз, ..., Аа, .обладающих следующими свойствамн. 1) События Аь ..., А, попарно несовместны в том смысле, что никакие два из них не могут произойти одновременно. Иначе говоря, А ПА~=И, 1чь1', й 1= 1, ..., и., 2) Аь ..., Л» ОбРазУют полнУю гРУппУ событий в том смысле, что при любом исходе эксперимента хотя бы одно из них непременно происходит.
Это'означает, что А~+Аз+...+А„=Я. 3) События Аь ..., А„равновероятны, или, иначе говоря„ ни одно из них нельзя считать более предпочтительным, чем любое из остальных. Это, разумеется, доматематическое требование, и не следует стремиться переформулировать его в терминах каких-либо более элементарных свойств. Можно считать, что оно отражает свойство некоторой относительной симметрии событий Ль ..., А„ подсказанное здравым смыслом. Именно такая ситуация возникла в эксперименте с игральной костью, когда выпадения всех граней были объявлены равновероятными. В так называемой классической схеме события А» ..., А,.' удовлетворяющие условиям 1 — 3, называются полной группой попарно несовместных, равновероятных событий. Вероятность в классической схеме определяется лишь для тех исходов эксперимента, которые могут быть представлены в виде объединений некоторых из событий Аь 1=1, ..., и.
Именно если А=А;, +:.. +А~а (О и все слагаемые в (1) различны, то вероятность события А определяется равенством Р(А) =Цп, (2) в котором й равно числу слагаемых в сумме (1). Таково классическое определение вероятности. Для того чтобы определение (2) можне было считать корректным, достаточно доказать единственность разложения (1). Но для любого события А согласно условию 2 и свойству дистрибутивности (1.5) А = А П й = А П (Аг + ° ° ° + А,) = А П Аг + ° ° +А П А,. Поэтому в рассматриваемом случае разложения (1) АПАг либо пусто,.если 1- не совпадает ни с одним из („з=1, ..., й, либо А П Аг = А;,, если 1= 1,.
Традиционно приложениям классического определения вероятности сопутствует следующая терминология. Эксперимент называют испытанием, полную группу попарно несовместных, равновероятных событий называют полной группой возможных исходов испытания, а те из возможных исходов, 16 из которых складывается событие А, называют исходами„ благоприятствующими появлению А. В этих терминах согласно определению (2) Р(А) равно отношению числа исходов, благоприятствующих появлению А, к числу всех возможных исходов. Как правило, отыскание вероятностей, основанное на классическом определении, сводится к комбинаторным вычислениям.
Рассмотрим примеры, позволяющие уяснить технику вычисления классических вероятностей. Напомним вначале простейший комбинаторные формулы. Размещения. Перестановки: Имеется и различных объектов хь ...,.х,. Сколькими способами можно образовать последовательность хд,...,х;, г~л, различных объектов? Объект х!, можно выбрать л способами. Если х;, выбран, х! можно выбрать и — 1 способом из оставшихся объектов и т. д. Всего таким образом существуют а(а — 1)„,(п — г+1) = =А ' способов образовать последовательность из г объектов, выбирая объекты из совокупности хь ..., х,.
Иначе эту задачу можно сформулировать следующим образом: сколькими способами можно разместить г из л различных объектов по г местам? А ' называется числом размещений из л по г. Если г=а, то А;г в(л — 1)...2 1=в! называется числом перестановок (и различных объектов). Поскольку для л:э 1 и (винам Ляа а"е '~. то и! при больших п можно вычислить по формуле Стирлинга: л! ')~2ппл"в-". Здесь символ означает, что отношение левой и правой частей стремится к единице при и- оо. Для п=0 полагают 0(=1.
Сочетания. Имеется п различных объектов хь ..., х,. Выбирая объекты из хь ..., х„, сколькими способами можно образовать множество Х, из г объектов, г~л? Поскольку в данном случае порядок объектов, образующих множество Х,, несуществен, то искомое число способов равно С„' = А„'!г! = " . С'„называется числом сочег$(л-г) ! таний из а по г., Выбор с возвращением. Имеется и различных объектов хь ..., х~, из которых последовательно выбирается объект, фиксируется и возвращается обратно. Сколькими способами может быть образована выборка х;,, '.,х;, зарегистрированная за г шагов? Поскольку каждый раз объект может быть выбран п способами, существует всего я' спосвбов образовать выборку х;,,...,хг .
17 Задача о днях рождения. Предположим, что в аудитории а студентов. Какова вероятность того, что хотя бы у двоих совпадают дни рождения? Разумеется, такая постановка задачи требует уточнения. Будем считать, что в году 365 дней, у каждого студента есть день рождения, причем им может оказаться любой из 365 дней с одной н той же вероятностью. Заметим, что для групп нз в=366 и более человек искомая вероятность равна единице, т.
е. для п)366 по меньшей мере у двоих непременно совпадают дни рождения. Поэтому рассмотрим случай п~365. Для группы из л человек возможно (365)" комбинаций дней рождения, поскольку таких возможностей для каждого человека 365. Все эти комбинации образуют полную группу нз попарно несовместных, равновероятных событий, причем вероятность каждой комбинации равна (365) ". Число различных комбинаций дней рождения, в которых ни один день рождения не встречается более одного раза, равно 6=365.364 ...
(365 †1). Это число получено следующим образом: первый день рождения можно выбрать 365 способами, после этого второй день рождения можно выбрать (365 — 1) способами, ..., наконец, л-й день рождения можно выбрать (365 — л+1) способами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
