Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 2
Текст из файла (страница 2)
на отрезок [а, р], содержащийся в![а, Ь]? Ответ в данном случае очевиден. Поскольку вероятность попасть в [а, ()] не зависит от того, где именно на [а, Ь] расположен отрезок [в, р], то искомая вероятность Р(А) авиа ([) — о)/1, т. е. отяошеиию длин отрезков [а, Я и а, Ь]. Здесь А обозначает факт попадания точки на [а, р]. твет будет таким же, если вместо отрезка [а, Я выбрать любое подмножество отрезка ~[а, Ь], лишь бы для него можно было определить длину и последняя равнялась р — а. Понятно, что наш вывод целиком обусловлен интерпретацией условий эксперимента, согласно которым точка бросается на [а, Ь] наугад.
Для рассмотренного эксперимента характерно, что воз,можно бесконечное множество (даже континуум) элементарных исходов — попаданий точки на отрезок [а, Ь]. В таких случаях вероятность удобно задавать с помощью так называемой плотности вероятности. В примере с бросанием точки плотйость вероятности р( ) оп еделяется ра- В венством р(х) =1/1, хек[а, Ь], причем Р(А) = Ых/1 =~р(х)г3х, а а ь ' ') р(х) Нх = 1.' Возвращаясь к эксперименту с игральной а костью, заметим, что теперь суммированию вероятностей элементарных исходов отвечает интегрирование плотности вероятности по множеству, соответствующему исходу .Рас. ! А, а вероятность каждого элементарного исхода равна нулю.
Пусть на отрезок [а, Ь] наугад бросаются две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется не больше Х, О~А~(г Задача, очевидно, эквивалентна следующей: в квадрат Я=((х,.у): О~х а1, О «у~() наугад бросается точка (х, у), какова вероятность того, что 1х — у~ ~М Иначе говоря, какова вероятность тоге, что точка попадет в заштрихованную область квадрата на рис. 1г Искомая вероятность, очевидно, равна отношению площади заштрихованной области к площади квадрата Я: Р (А) = ~ — = (1э — (1 — Х)')/1э.
1в Заметим, что если и=и(х; у), и=о(х, у) — криволинейные координаты на плоскости ((х, у)). и на плоскости ((и, о)) квадрат Я представлен фигурой Я*, то вероятность попасть в указанную на рис. 1 область А квадрата (~ может быть получена по формуле Р(А) ( — ~' = — ( —. В свою очередь, .последнее равенство г д(х,у) 1 Ыи ,) д(и, и) ( Р А" ' можно интепретировать следующим образом: Р(А) — вероятность точке (и, и) попасть в область А*, если характер «бросаний» точки в область Я* контролируется плотностью вероятности р(и,о) = — ~ — '~, (и, о)ы(~», заданной на 1 1д(х,у) ! (д(и, ) плоскости ((и, э)).
В область Я* точки «бросаются» не ~наугад'. Рассмотрим частицу с энергией Е=пт2/2, движущуюся в случайном направлении. Пусть иэ (вь оь пх) — вектор скорости час- а тнцы в некоторой системе координат. Какова вероятность того, что юэ а~о~~~? Искомая ввроятность Р(а, р) равна отношению площади заштрихованной полоски к площади сферы радиуса о, изображенных на рнс. 2. Последняя Рас. 2 равна 4по'=8яЕ/т, а площадь иолоскп дается интегралом хи а в э» ') нар ~ з)м0ЙО =п».2я — =2я1/ ~~ (() — а), — о<а<~<в. ° ' е Поэтому Р(а, р) = (() — а) / (2 ~/ 2и ): Если речь идет о системе л одинаковых частиц с фикси- и рованной полной энергией Е = Я тв»ю/2, то вероятность К=я того, 'что а~ош1~Д может быть подсчитана вполне аналогично, если рассмотреть полоску а~о(ш«:8 на Зп-,мерной и 2 2 ' 2 сфере; г. (энн +пни+ во)з) = 2Е/т.
С=1 Наконец, если и — число наблюдаемых частиц, движущихся в случайных направлениях, энергия каждой из которых равна тех/2 и п,(а, р)/и — относительная доля тех из них, для которых а«:и,~ф, то при а- ии вероятность любого отличия Р(а, р) и л;(а, 8)/л стремится к 'нулю. Этот замечательный результат, известный как закон больших чисел, в дальнейшем будет доказан. Приступим теперь к более точным построениям. $ С ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ. АЛГЕБРА СОБЫТИИ В рассмотренных во введении примерах наглядно выступают все основнЫе моменты общей теоретнко-вероятностной схемы. В этом параграфе онн будут выделены н точно определены. 1'.
Пространство элементарных событий В общей теоретико-вероятностной схеме для каждого эксперимента со случайным исходом должны быть указаны все элементарные исходы, отвечающие следующему требо,, ванию: в результате эксперимента непременно происходит один н только один из этих исходов. Каждый такой исход принято называть элементарным событием; обозначать элементарные события будем буквой а. По смыслу элементарные события неразложимы на «более элементарные». В эксперименте с игральной костью элементарнымн событиями являются грани «1», «2»,, «6».
Прн этом считается, что не может выпасть ребро нлн вершина кости, хотя в принципе такое явление возможно. В эксперименте с бросанием точки на отрезок' [а, Ь] элементарным событием является точка на [а, Ь]. Соответственно в эксперименте с двумя точками элементарным событием является пара точек на [а, Ь], нли точка в квадрате [а, Ь]Х~[а, Ь]. Наконец, в примере с частицей элементарным событием является точка на сфере радиуса о.
Множество всех элейентарных событий в теории вероят. ностей принято называть пространством элементарных событий. Пространство элементарных событнй будем обозначать буквой Я. Элементарные события называются точкамн пространства элементарных событий. Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теорни вероятностей принято называть событием. Среди всех событий элементарные события выделяются таким образом, что для каждого события А н каждого элементарного события «з известно, влечет е наступление А нлн не влечет.
Тем самым совокупность всех тех в, которые влекут А, полностью характеризует А. Обратно: произвольное множество А точек вея11 можно рассматривать как событие А, которое происходит нлн нет в зависимости от того, прннадлежнт соответственно нлн нет множеству А элементарное событие ш,'представляющее данный исход эксперимента. Иными словами, событие А можно считать подмножеством й, состоящим из точек вой, представляющих те исходы эксперимента, прн которых происходит А. Далее по этой причине не делается различий между событием А н соответствующим подмножеством А~Я.
В приведенных во введении примерах экспериментов со случайными исходами события рассматривались как подмножества соответствующих пространств элементарных событий. В эксперименте с игральной костью были выделены трн события: А~=(«Ь, «2», «3»), Аэ=(«4», «5») н Аэ=(«б»). В этом случае, -например„любое нз элементарных событий вайа Рис. 3. Я, — пространстве элементарных событий в эксперименте с игральной костью, Яэ — в эксперименте с бросанием точки ва отрезок, Йв — в примере с частицей, движущейся в случай- ном направлении го~ =«1», оэа=«2» нлн озэ=«3» влечет Аь В эксперименте с бросанием двух точек на отрезок ~[а, Ь1 событием является заштрихованная область А квадрата Я=И.
Наконец, в прнмере с частицей событием является полоска на сфере (см. рнс. 1, 2, 3). 2 . Ал(ебра событий Рассмотрим математические формулнровкн естественных операций над событнямя н нх теоретико-множественные аналоги. Приведенные ниже определения н свойства опера-. ций над событиями характеризуют алгебраическую структуру любой теоретико-вероятностной схемы. ,2 1. Если событие А происходит вся- пзг кнй раз, когда происходит событие В, то будем говорить, что событие А яв- А ляется следствием В, н писать В~А ялн А=»В. В теоретнко-множественных терминах это означает, что кажа пх дая точка гобнВ содержится в А, нлн, иначе, В является подмножеством А. Эта связь аналогична связи между рис. 4.
Элементарное событнямн н элементарными событн- событие еи влечет соямн: ю влечет А, если чэенА. бытие А, в1гиА, ыз— 2. Если Ас:В н В~А, то со. не влечет, ыэ ЕА бытия А н В происходят нлн не происходят лишь одновременно. В таком случае будем писать А=В; множества А н В прн этом совпадают. 3. Событйе, состоящее в том, что не происходит событие А, называется протнвоположным событию А н обозначает- 11 ся Х. Множество .4 состоит из точек й, не принадлежащих А, и называется дополнением множества А. 4. Если событие А не содержит ни одного элементарного события, то оно называется невозможным и обозначается Я.
Противоположным Я является, очевидно, событие Й, которое происходит всякий раз н называется достоверным.' Наоборот, Й=И. 9, очевидно, пустое подмножество ь1. 5. Событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходят события,А и В, называется произведением, или пересечением событий А и В, и обозначается АВ или АПВ. Множество С состоит из точек, принадлежащих как множеству А, так и множеству В, и называется пересечением множеств А и В.
При этом АПВ обозначает пересечение А и В. 6. События А и В называются несовместнымн, если их одновременное наступление невозможно, т. е. если АПВ=Я. Несовместным событиям отвечают непересекающиеся множества. 7. Событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А илн В, называется объединением, или суммой событий А и В. Для объединения будем использовать обо, значение АЦВ, но в том случае, когда АПВ=Я, условимся писать С=А+В. В теоретико-множественных терминах С вЂ” множество, состоящее из тех точек й, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Множество АЦВ также назьгвается объединением, или суммой„множеств А и В.
3 а меч ание. Пересечение и объединение определяется для произвольного числа событий. Например, событие С= .=АПВП... состоит в том, что происходят все события А, В, ...; событие С-А()В0... состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий А, В, .... Операции объединения () н пересечения П, очевидно, ассоциативны и коммутативны по определению: (А()В)()С=А()(В()С), АОВ=В()А, (АПВ)П ПС=АП(ВПС), АПВ=ВПА для любых событий А, В и С. 8.
Событие С, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В ие происходит, называется разностью событий А и В и обозначается А~В. В теоретико-множественных терминах множество А~В=АПВ состоит из точек, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеств В, и называется разностью множеств А и В. тметим простейшие свойства операций над событиями. По определению: А=А, л=Я~А и А~В=АПВ=В' А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
