Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для этого рассмотрим последовательность событий В!=А!, Вз=А,+Ам .... Событие,А следует понимать как предел последовательности (В!), А =1ппВ„. Прн этом равенство (1) можно понимать как л-Ил свойство непрерывности вероятности: Р(А) = Р (1пп В„) =1пп Р(В)'= = 1пп ~ Р (А!) = Я Р (А!). !=1 !=1 5. Р(И) =1. Пространство элементарных событий Я, о-алгебра собы"тий У н вероятность Р( ) на У, удовлетворяющие аксиомам теории вероятностей, образуют так называемое вероятностное пространство, которое, принято обозначать (И, У, Р).
Система аксиом теории вероятностей не противоречива, так как существуют И, У и Р( ), удовлетворяющие этим аксиомам, и не полна, так как вероятность можно определить многими способами. в рамках аксиом 2 —:5. В качестве примера укажем классическую теоретико-вероятностную модель, в которой И вЂ” конечное множество, У вЂ” алгебра (и о-алгебра) всех подмножеств И и вероятность Р( ) определена для каждого подмножества АеиУ как отношение числа точек, образующих А, к числу всех точек И. Понятно, что для произвольного пространства элементар.ных событий И система всех его подмножеств образует о-алгебру. Но такая а-алгебра может оказаться столь обшир-.
ной, что на ней невозможно определить вероятность, удовлетворяющую свойству счетной аддитивности 4. Требование счетной аддитивности Р( ) и стремление выбрать спстему множеств У как можно более широкой взаимно ограничивают друг друга. Приведем несколько примеров а-алгебр. Если И вЂ” произвольное пространство элементарных событий, то У = =(8, И), а также множество У всех подмножеств И— тривиальные примеры а-алгебр. Многочисленные примеры а-алгебр могут быть получены на следующем' пути.
Пусть .Ф вЂ” произвольная система множеств и И = () А. Если ле 6 У вЂ” о-алгебра всех подмножеств И, то, очевидно, лФс:У. Следовательно, существуют о-алгебры подмножеств И, содержащие л~. Если Кг и Я'з — и -.алгебры подмножеств И, содержащие А, то У,()Кэ также содержит, Ф и, кроме того, является о-алгеброй. Следовательно; пересечение 0 Вгк = К.а всех о-алгебр, содержащих .Ф, 1) является о-алгеброй, 2) является минимальной о-алгеброй в том смыс- ' ле, что для всякой а-алгебры У, содержащей Ф, непременно У„~с: сг (ибо У совпадает с одной из и-алгебр У", как о-алгебра, содержащая Ф), 3) содержит все множестве из А(, А( ~ Ф». В частности, если .Ф вЂ” о-алгебра, то К» = А, а если,Ф состоит из двух множеств А и В, то У" ~ состоит из восьми множеств: 8, А, В, А()В, А()В=И, А~В, В~А, (А~В)()(В' 'А). У» называется о-алгеброй, порожденной системой множеств Ф. При определении о-алгебры событий порождающая система событий Ф, как правило, составляется из событий, на- 27 блюдаемых в эксперименте.
Так, например,,в экспйрименте с бросанием точки на отрезок,[а, Ь] =й естественно считйть событием любой отрезок ![а, и, содержащийся в [а, Ь]. В таком случае Ф вЂ” система всех отрезков, содержащихся в [и, Ь]. о-алгебра бг ! порожденная л!, в данном случае называется о-алгеброй борелевских подмножеств отрезкэ [а, Ь], или борелевской алгеброй отрезка [а, Ь]. Посмотрим, насколько обшйрна борелевская алгебра [а,,Ь]. Отдельные точки [а, Ь],'как одноточечные подмножества, являются борелевскими множествами, так как все они имеют вид ![а, а].
Любое счетное подмножество [а, Ь]„ например множество рациональных точек, является борелевским, равно как и его дополнение. Любой интервал (а, р)с: ~[а, Ь] является борелевским множеством, поскольку 1 1 (а, [3) = 0 ~!х+ —, р — — ~. Для доказательства этого. лси П равенства заметим, что если хев(а, ()), то есть а<х<р, то , найдется а, для которого я+1/л~х~р — 1/и. Следовательно, 1 1 1 хвп Ц.~ а+ —, 11 — — ~.
Наоборот, если выполнено пол а следнее включение, то для некоторого п':х~[нх+1/и, 8 —,1/и] . и, следовательно, тем более хеп(а, (1). Отсюда следует, что любое открытое подмножество ![а, Ь] — борелевское, поскольку всякое открытое множество, как известно, является объединением не более чем счетного числа интервалов. Все замкнутые подмножества [а, Ь], как до1!олнения открытых„ также борелевскне. Наконец, борелевскими являются множества, полученные счетным объединением и (или) пересечением открытых и (или) замкнутых множеств, и т. д. Класс борелевских множеств, как видно из приведенного перечисления, весьма обширен.
Легко понять, что пример множества, не являющегося борелевским, не может быть простым. Однако такие множества есть, и, следовательно, не всякое подмножество [а, б] является событием. Для того чтобы завершить построение вероятностного врос(ранства в эксперименте с бросанием точки на отрезок [а, Ь], осталось определить вероятность на борелевской алгебре событий. Если для [а, Я ~[а, Ь] положить Р([а, р]) =(р — а)/1, 1=Ь вЂ” а, и для любых содержащихся в а, Ц непересекающихся отрезков '[а, р] и [у, 6] определить ([а, р]+[у, 6])=(ф — а)+(6 — у))/1, то Р([а, а])=0, Р([,'])))=Р((' И)=Р((, И)=(В-' )/1 и Р([а, 'Ь])=1.' Но это определение не содержит указаний иа то, каким образом определить вероятность для произвольного борелевского множества.
Этот вопрос полностью решается в теории меры. Можно показать, что на некоторой (лебеговской) а-алгебре, содержащей борелевскую алгебру, можво определить 28 (и порядка перечисления точек Я), так как ряд справа сходится абсолютно. Объявим событием любое подмножество й и для любото события А зададим вероятность абсолютно и ~8а~ 4~ ~( ~ Сэ)'~~ -Я )Сь~ ( ОО. ье!»» Покажем, что ряд 5!+5!+...
сходится абсолютно и его сум- ма равна 5. Абсолютная сходимость следует из оценки ~Яч~~ ~' ~ )С,~ ~; ( ~С,~, а=! а=! Йе/а ! ! верной для любого и>1. Покажем теперь, что его сумма равна 5. Зафиксируем любое е>0. Следует показать, что 30 Р(А) = ~~(, Р ((в!)). (2) !!»»! ел Понятно, что это определение корректно, так как и в этом случае ряд справа сходится абсолютно, и значение Р(А) не зависит от порядка суммирования. Подсчитаем, например, вероятность того, что игра закончится на четном бросании. Речь идет о вероятности события А=(вэ)+(в!)+..., и согласно (2) С» ва» Р(А) = ~~„Р((е,Д) = — '~ ! ( — ) у=! аса Оказывается, что вероятность (2) обладает свойством счетной аддитивности (и аддитивности) на о-алгебре всех подмножеств й. Этот факт является следствием леммы о суммировании по блокам для абсолютно сходящихся рядов. Лемма (о,суммировании по блокам). Пусть 1=(!, 2, ...)— множество всех чисел натурального ряда, 1, а=1, 2, ...,— :непересекающиеся подмножества 1, такие, что 1=1!+1!+...
(этих подмножеств может быть и конечное число). Пусть числовой ряд с!+с!+...+с,+... сходится абсолютно и его сумма равна 5, 5 = ) см Если 5,„= Я см а=!, 2, ..., ь=! ье!» .то числовой 'ряд 5!+5!+...+5,+... сходится » его сумма также равна 5, 5 = ~) 5 . !» =1 Доказательство. Понятно, что все 5„, а=1, 2, ..., ограничены: найдется такой номер !»о=/Чо(е), что прн п~//о ! ~)~ 5а — 5!( е. а=! Так как по условию ряд ~ с, .сходится абсолютно, то для »=! данного е>О найдется такой номер /!/!=/!/!(е), что прн пъ. )Ф! (3) ! ). с» — 5 ! ( е/2, ~~~ 1 с»1а. е/2. »=! !» л+! (4) Выберем Фо столь большим, чтобы в сумму № № 5„= ~~' Я с„ а=! а=!»Е!а вошли все члены с» -с номерами А~У! н положим /!/о —- ' =щах(/!/!, !1/о).
Тогда прн пъ/Чо, используя (4), найдем л ! Е5 — 5! <!Е с,— 5! + ! Х 5„— Е с,!< а=! ь=! а=! »=! л 1ч с» — 5!+ ~ 1с»')(е/2+ е/2 =е. » ! »= №+1 а=! Неравенство (3) доказано. л1„ 3 а меч ання. 1. Требование абсолютной сходнмостн ряда с!+со+... существенно. Например, ряд 1 — 1/2+1/3 — 1/4+ +... сходится (условно), но 5!=1+1/3+1/5+...
расходится. 2. Обратная теорема неверна. Если для некоторой снстемы подмножеств (/а) Я15а~(ао, то отсюда не следУет а=! абсрлютная сходнмость рядас!+со+.... Действительно, если 5!=1 — 1/2, 5»=1/3--1/4, ..., 5а— 1 1 1 2а — 1 2а 2а (2а — 1) ' то У 5а = ~ (5а~ Сало, но ряд 1+1/2+1/3+... расходится. а=! а=! 3. Если с»ъО (илн с»~0), /!=1, 2, ..., то теорема верна в обе стороны. Действительно, пусть для некоторой снстемы подмножеств щ Юа /а, = 1, 2, .', / = /! + /о +..., Я 5„= Я 15 ! = 5. а — ! 'Тогда л Ф(л) ' са с < Я 8„< ).
В„< а=! а=! а, ! где Ф(п) выбрано так, чтобы в сумму 5!+...+Ям<„> вошли все см й=1, ..., и. Отсюда следует, что последовательность !! частичных сумм Ясь й =1; 2, ..., монотонна и ограниче, ь=! жа. Поэтому ряд с!+с!+... сходится н его сумма совпадает с суммой ряда 5!+За+... (в силу прямой теоремы). Рассмотрим теперь общий случай дискретных вероятност,ных пространств. Определение. Вероятностное пространство (11, У, Р) на.зывается дискретным, если 11=(!э!, !эм ...) конечно или счетно, У вЂ” о-алгебра всех подмножеств 11 (включая пустое множество 8), вероятность Р( ) определена для каждого одноточечного подмножества Я: Р ((е!)) = Р; ) О, 1 = 1, 2, ..., ~~, Р; = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
