Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 10
Текст из файла (страница 10)
— — ~) ~ Й + Л л х ! т (т — 1) Лт Л» — ) — †. ! (6) 1 1 1 — х 1 — х Л' ! +(а — т)( — — — — ) = (7) а 2л!) (т — х — !) х«е(е — !) х + 2 (« — «) (л — «+;!) «(« — т+!) Представляя теперь биномиальное распределение в виде ~ИВ Р„(т) = — е — ьед ~«), м! из (7) и (8) заключаем, что множитеЛь е!<""~ отличается от.
единицы на величину порядка 1/л прй л-~ос и любом фик- ': ! сированном и. На практике формула,(3) служит хорошим приближением, если лъ100, а О~лр<10 (т=О, 1, ..., л). Обратимся к распределению Пуассона. Оно определено для всех целых неотрицательных т=О, 1, 2, ... (10) Пусть А фиксировано, рассмотрим поведение Р(т) как функции т. Поскольку Р(т))Р(т — 1) =Цт, то Р(т) возрастает при увеличении т от нуля до ио=(Х] (!Ц вЂ” целая х(ц часть числа Х), а затем убывает; шах Р(т) = — е-". «1 (Х]! Если Х вЂ” целре, то Р(т) имеет максимальное значение прн т=Х и т=Л вЂ” 1.
Распределение Пуассона описывает вероятности во многих задачах, таких, как число отказов радиоэлектронной аппаратуры за время 1, число радиоактивных атомов, распавшихся к моменту 1, число вызовов на телефонной станции и т. д. Примеры 1. В лотерее в среднем разыгрывается один выигрыш на 1000 номеров. Какова вероятность, имея 100 билетов, получить не менее 2 выигрышей? Это схема Бернулли с л=100, вероятностью успеха р=1/1000, так что ?.=лр=О, 1.
Искомая вероятность По фг)рмуле Пуассона Р!оо(0) =Р(0) е-х=0,9, Р1оо(1) = Р(1) Хе-"=009. Таким образом, р ='1 — 09 — 0,09=001. 2. Вероятность зарегистрировать частицу счетчиком равна 1О 4. Какое наименьшее число частиц должно вылететь из источника для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, счетчик зарегистрировал более 3 частиц? Обозначим через л искомое число частиц, а через А— событие: 48 (13) Положим л=л!+...+я„тогда йз=Ж вЂ” 4. Считая й фиксированным, устремим У-~оо.
Согласно формуле Стирлинга )!(! (м — а)! ~'2яРа лУ~ т2п(Ф вЂ” Р) (л! — а)~ ~е ~+" при ))(-+.оо. (14) Заметим также, что если мы обозначим через Л величину Л=й((!Т! — среднее число точек на единицу объема, то будем иметь рьг = ! — ') ' =(!((~Л)~!У ~У,у =1,...,п, (15) А=(счетчик зарегистрировал более трех частиц). Имеем р(А) =1 — р(А), и по формуле Пуассона р (А) = Р„(0) + Р„(1) + Р„(2) + Р„(3) Р (0) + Р (1) + Р (2) + + Р (3) = е — ь(1 + Л + Л'!2 +ЗР(6) < 0,01, (11) ибо по условию р(А) )0,99. По таблицам для распределения Пуассона находим Л, удовлетворяющее неравенству (11),.
Л=10,7. Отсюда п=Л/р=10,7 104. Для полиномиального распределения справедлив аналог теоремы Пуассона. Мы рассмотрим его на примере следующей задачи. Пусть Т вЂ”. область евклидова пространства, в которую наугад бросается У точек, пусть 1м !!, ..., ! — нее пересекающиеся области, такие, что Ц 1! =Т. Каждый ис)=о ход опыта состоит в попадании точки в одну из областей (ь 1=0, 1, ..., п. Вероятности исходов рйвны соответственно ((,! (Т(-(! ! —" — ((,! Ро =1 — Рз — - — Р = (Т! где ((;! — объем области (г, !Т! — объем области Т. Этот пример естественно рассматривать как схему У независимых испытаний с (п+'1)-м исходом. Обозначим через $((!) число частиц,,попавших в )чю область.
Воспользовавшись полиномнальным распределением, получим Р (а ((,) = й„..., $((,) = й„, 3 (г' ) = й ) = У! й ! ~"~Р" ,° й,+й,+ ... +й„=й(. ю~ " .~и ~' ~1 1.~ь~+..: й.ц Подставляя (!4) и (15) в (13), найдем )цп ' р~'... р ер~~' =1нп ~ Х " ~~к М~~ — АР " ~ т'2 Рт — (4 уя е е Ууе (!6().)"' (!! )Х)~е х — х (У вЂ” Й) Е !~ М УМ Ее ), (1 хб!.(+"-+(!.0'1" ' У ' 7 А1! ° ° Ае! 1йп (ее ~1 — — ~ х У'.~ ~ У l л((й (+..
+(! О)" — -'"~ (16) (!6(х) .:. (((„)х) " -мщ+.. +!е„о и (((7(х) ) -х!ег! е1 ее е е, а,! ...«„! аг! 7=1 РД((,) =й,, ...,$((„) =А„) = П !( е ! (~, (17) ! ! представляющее собой и-мерное распределение Пуассона. $7. ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ МУАВРА — ЛАПЛАСА Как мы уже отмечали в начале предыдущего параграфа, при большом числе испытаний формулы .для вычисления вероятностей Р.(т), отвечающих биномиальному .распределению, весьма громоздки. В связи с этим надо иметь более простые приближенные формулы. Для случая, когда вероятность р успеха при каждом испытании очень мала, мы установили приближенную формулу — распределение Пуассона.
Сейчас мы расамотрим другую предельнуЮ форму бииомиального распределения„ считая, что вероятность р успеха отлична от нуля и единицы. Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если вероятность события А в л независимых испытаниях равна р, 0(р(1, то 50 Таким образом, в пределе при Лl-~со и фиксированном Ф для вероятности того, что в области (! попадет А! точек, мы получили выражение вероятность Р (т) того„что в этих испытаниях событие А'. наступит т раз, удовлетворяет при и-»оо соотношению е »РЧ Р» ('л) 1пп =1, »-»» !» и$ (1) е 2 'г' 2л у=1 — р, х = Р, х ен(а, Ь1, где а<Ь, а и Ь вЂ” любые ллу конечные фиксированные числа.
Стремление к пределу в (1) равномерно относительно всех т, для которых х„~(а» Ь!. Доказательство. Имеем )'пру Р„(т)= к'пру р"'у"— Воспользовавшись формулой Стирлинга, Ь! =')~'2яййее — "е~е,!0„~ <— 12Ь получим ~/пру Р„(т) = )lпру ==А„(х )В„(х )С„(х„). Найдем пределы выражений А„(х ); В (х„), С (х ) при п-~оо. 'Пусть (а, Ь1 — произвольный конечный интервал; будем. рассматривать такие т, для которых х ен(а, Ь1. Так как а-лр х~= ., то р лру т = ир + х Уйру, и — т = п(1 — р) — х Диру = = ну — х„Уйру, а <х„~ Ь. Начнем с рассмотрения С,(х ) =е', 0=0» — 0„— О, !01<10„1+!0.!+10„.!< 1 ( ! + ! + (4).
+ — )= — 1+ + 1 1 1 1 ! лу-х. Улщ / !2л р+ х», ~ — е — х,» ~/ — / л л 51 Из (4) в силу признака Вейерштрасса следует, что 8-+.0 при п-~со равномерно по х ~[а, Ь). Таким образом, Сл(х )!-1 при п-~со (5) равномерно относительно х , х ~[а, Ь]. Далее, в силу (3) В„(х.) = 1Г а' т(л т) равномерно относительно х, х ~[а, Ь1, на основании признака Вейерштрасса. Рассмотрим, наконец, А (х,). Пользуясь формулой 1п(1 +а)=х — — + 0(х~), [х[С 1, 2 получим 1п А„(х ) = — т 1п 1 — 1 — (п — т) 1п 1 — ) = 1лр/ лч, = — (пр+х Уйр!/) 1и 1+х лр/ — (п!/ — х )' пр!/) !п 1 — х 4ч — (пР + х,л ~l пРд) х„,~ ~/ ~ . !+ О (п — зп) + лр 2лр + (п!) х )Гпр!/) — х — + 0(п — кп) лд 2ле (л — — л «-о/— ! / ! А„(х )=е ' 1"'"~, п~оо.
(8) 52 2 к л — хД/пру + х !/ — — + 0(п. !и) — х )/ирд + +х'р — — "+О (п-!и) = — — х' +0(п-!~'), к'„Р 1 1 2 2 причем, поскольку ири п-эоо х ат/ †, х ~ стрелр лд матея к нулю равномерно по х, х ен[а, Ь), оценку 0-члеиов можно взять независящей от т. Итак, имеем т;ар / Уюа = е о дх. )У2 —. ~р~ — ар Упри Пример.
'Игральная кость бросается 12000 раз. Какова вероятность, что число выпадений единицы бчдет заключено между 1900 и 21502 Здесь и=12 000, р=1/6, д=б/6, Гпру=100/6, т1 — пр=.— 100, то — пр=150. Искомая. вероятность р„равна око ': 3Уо 2 м 2 к' Уо к* — Уо о о = Ф ~ — ) + Ф ( ~ 6) = 0,99. г з)ра ~ 2 г Функция Ф(х) = —. 1 е о а/г называется ннтегралом Р 2п о ошибок, для нее составлены подробные таблицы, поскольку Ф1 — х) = — Ф(х), значения в таблицах указаны лишь для хв О.
2. Пусть Заданы числа р, а и 11. Требуется определить, какое наименьшее число п испытаний надо произвести для того, чтобы с вероятностью, не меньшей р, частота т/и появлений успеха отклонялась от вероятности р не больше чем на а. Таким образом, надо' найти п нз условия Р ~~ — — Р~<а~ )1). Поскольку ~~-.— ~")= (- у' — .=."р'-)- Ф' л ра и = а -2р(,у' — "). то задача состоит в определении и нз условия 112) 2Ф а 54 Е е решение находим с помощью таблиц для интегралов ошибок. П р и м ер. Сколько раз надо бросить монету для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, частота появления герба отличалась от вероятности р 1/2 не больше чем на 0,01. Имеем 'согласно (12) 2Ф(у) > 0,99.
Из таблиц находим, что у>2,58. 1 бр~, р= )/ — >2,58, . ~ > >2,58 =129 и п>16841. 3. Пусть заданы числа л, р и р. Требуется определить границы возможных отклонений частоты появления успеха от вероятности р, т. е. надо найти а, для которого Р ~ ~ — — р~~а~ = р. Согласно предыдущему примеру отсюда по таблицам определяем а. Пример.
Вероятность попадания в цель 1/10. Сделано 100 выстрелов, в каких пределах с вероятностью 0,8 будет лежать относительная частота попаданий. Здесь р=0,1, ~у=0,9,' (1=0,8, ~ — = 33,33, 2Ф(а.33,33) =0,8. Отсюда, Ч рд о=0,04. Таким образом, частотц т/и попаданий с вероятностью 0,8 лежит в интервале (1/1Π— 0,04, 1/10+0,04).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
