Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В самом деле, имеем Ф(У» Уз) = Р(Ча( У» ЧзС Ув) = = Р(1а(эа, $ ) < У 1з($ $ ) < Уз) . (48) и пусть 1) (аь йа) — дискретный случайный'вектор,4~ — — хгь $ааь =ха; — значения $, и Ча, Ру=Рф~,=хн, ~а=ха~) — вероятности этих значений, 1, 1=1, 2, ...,, говда согласно (48) Ф(уд, у,) = Я рп,, (49) глеа где суммирование распространено на множество индексов (1, () е41, М = ((1 1): 1а (хи.
ха!) С Уа 1а (аи М ( Уа)'- 72 5'. арункции от случайных величин В этом пункте мы рассмотрим функции от случайных величин. Снова ради наглядности ограничиваемся случаем двух случайных величин. Итак, пусть на вероятностном пространстве (Я, Зг', Р) определены две случайные величины В=а~(в) и Ь=Ь(в), веий, и пусть Р(хь хз) — функция распределения случайного вектора (",» 5). Рассмотрим некоторые функции от случайных величин а, и йа, т. е. новые случайные величины Ч1 и Чь связанные функциональными зависимостями с $1 и 5, ч, =1,($а, $в) =1Я (в), $'(в)) = ч (в). 2) ($ь $г) — непрерывный случайный-вектор, р(хь х,)— его плотность вероятности, тогда согласно (48) и (29) Ф(уг, уг) = П р(х„х,) дх, дх„(50) о где область .0 определяется условием: В='((хь хг): й(хь хг)<уь 1г(хь хг)<уг) (считаем, что 11 и гг таковы, что В квадрируема): Найдем в качестве примера функцию распределения- суммы г) =$1+$г, если задана плотность'- вероятности р(хь хг) случайного вектора ($ь $г).
Имеем Ф(у) = Р(г) < у) = РЯ + $г< у) = ~ ~ р(хо хг) йх,г(хг = х,+чжг аю г — г~ мю г — ч )'дх, ~ р(х„х )Йхг = ) дхг ~ р(х, х )Нхг. Сделав в интеграле замену переменных х1+хг — — х, х~ =хь якобиан отображения (хь хг)-ь(хь х) равен 1, получим У Ф (у) = ) дх ) р(х,, х — х,)дх,. (51) Из формулы (51) следует, что случайная величина г) имеет плотность вероят- хг ности х~+х =у рч(у) =Ф'(у) 4М Рч(у) = ~ Р1 (х) Р1 (у — ) (х = ОЭ ~ р~,(х)'рз,(у — х)г(х= р чр Определение закона распределения суммы по законам распределения независимых слагаемых называется композицией законов распределения, слагаемых.
Докажем теперь трорему, которая будет часто исяользоваться в дальнейшем. (53) 73 Таким образом, если двумерное распределение слагаемых с1 и 4г имеет плотность р(хь хг), 'то и нх сумма Ч=$1+$г . также имеет плотность, определяемую равенством (52). Если случайные величины я1 и $р независимы, то Р(хм хг) =Р~,(хг) р~ (х,) и (52) записывается в виде свертки функций рг и рг. Теорема 1. Пусть 3! и $з независимые случайные величины, а )!(х) и ~,(х), хек)г!, произвольные функции, такие, что т1!=!!6(5) и цз=)ь($) также случайные величины. Тогда ц! и пз независимы, т.
е. функции от независимых случайных величин являются независимыми случайными величинами. Доказательство. Проведем доказательство для дискретных случайных величин. Пусть $! принимает значения хь хь ... а $а — значения у!, дь .... Тогда случайные величины т)~=~!(5!) и па=аз(5з) также днскретны, пусть Х и р— любые фиксированные значения ц! и ць Имеем на основании (46) РУ1($1) =), ыи) =р) = Е РК1=«ь 52= у!)= ОЬ!)!5(~з)=Ц Ы!!!Ь=и Р ($ = «д Р('ьз = р!) = ОЬП:ЫЧ!)=Р, 5(и!)=и Е Р61 = ха) Е Раз= р!) = ин(к!] ь Миа!)=а = Р(Ут(В!) = Ч Р(Рз(Бз) = р).
что ввиду (46) и произвольности ), и р означает независимость случайных величин т)!=!!($!) и Чз=1з($з). А В заключение этого параграфа приведем несколько примеров использования установленных выше результатов. Примеры 1. Пусть $=(5!, ..., $,) и т)=(ц!, ..., т) ) — а-мерные слул чайные величины, причем т)=А5 или подробноц! = ~Г а',!$5 /~1 =1, ..., л, где А= ~а,'у~ — невырожденная квадратная лХ Хп матрица. Пусть Р,(х) =Р,(хь ..., х ) — плотность распределения случайного вектора $, а Р— произвольная квадрируемая область в и-мерном евклидовом пространстве )г . Тогда по правилу замены переменных в кратном интеграле н в силу (29) получим ~р„(у)г1у =Р(т(епР) = Р(АЪе Р) = Р.(реп А ' Р) = рз(х) !1« = .) д (А ' у) (де1 А ' ) Ну (54) А !и в (здесь под А '0 понимается область, каждая точка которой г имеет внд я=А !р, где уенР).
Отсюда ввиду произвольности области Р следует, что рч(х) =)ь.(А ' «) )йе(А '!' (55) мы получили формулу, связывающую плотности случайных векторов 5 н Ч=А$. 2, На отрезок [О, а1 случайно и независимо друг от друга падают две частицы массы 2п. Найти плотность распределения координаты центра тяжести системы этну двух частиц, если координаты частиц равномерно распределены (математическая формулировка того факта, что частицы падают на [О, а) «случайно») на отрезке [О, а). Пусть 5, и 42 — координаты частиц: случайные величины 51 и 52 независимы; поскольку они равномерно распределены на [О, а), то плотности вероятностей равны О, если х ( 0 и х ) а, 1' — если О ( х < а., а р, (х) = р,(х) = (56) .
Координата центра тяжести равна 21= (й1+52)/2 одинаковы). Согласно (51) Рч(р) = Р(21( И; Р($2+ $ < 2р) = 22 ОВ ') йг ') р,(х) р,(г — х)1(х. О ОЭ (массы Дифференцируя зто выражение по у, находим плотность р.Ь) рч(у) = 2 ~ р,(х) р»(2у — х)Ых. (57) Так как р2(х) отлична от нуля только прн 0<хала, то а 2 и рч(у) = — ~ ра(2у — х) дх. а ~ 75 Введем здесь новую переменную'и=2у — х, тогда р„(р) = — ~ р» (и) 2(и. 2 (58) а 22 — а Вспомним, что согласно (56) рз(и) отлична от нуля лишь при О<и<а.
Ясно, что если 2у — а>а, т. е. у>а, или 2у<0, т. е. у<0; то р„(у) =0 (см. (58)). Пусть теперь О~у~а; если 2у — а<0, т. е. у<а/2, то йнтегрируем в (58) от 0 до 2у, поэтому 22 ) 2 г 1 . 4 рр(у) = — 1 — Ии= — д при 0<у< а/2, если же 2у— а 1 а а2 о — а~О, т. е. уъа/2, то интегрируем в (58) от 2у — а до а, поэтому р„(у) = — ~ — г(и = — (а-у) при а/2<у(а. 2 Г 1 4 а,) а ао оо-а Итак, плотность распределения р„(у) центра тяжести равна О, если у(0 илн у)а, — у, если О (у (— '4 а -а' ' 2 рл(у) = — (а — у), если — ( у ( а. 4 о о' - 2 У 2Я Рис.
1о уу-а ь +'~ — р (х, — ) ах. о 4. Покажем прямым вычислением, что если 'случайные величины $ и т1 независимы и их. плотности распределения равны ро(х) = р„(х) = (61) 1 о-х, при х ) О,. то случайные величины $+т1 н $/о) также яезависимы, ' 76 3. Пусть ($, о)) — непрерывный случайный вектор с плот- ' ностью вероятности р(х, у). Найдем.
функцию распределения произведения Ь=$о). Имеем в виду (50): РС (г) = Р Дт) ( х) = ~ ~ р (х, у) ах 4у = о ав гм ~ах ~ р(х, у)Ыу-1- ~ дх ~ р(х, у)ду. (59) — аа Мх -ЯВ Отсюда (формальио) получаем выражение для плотности ~ о рс(х) =Рв(х) = — 1 — р(х, — ) с( + Г1 и х1 х ~ х/ — 6В Случайные величины $ и г) независимы, поэтому плотность вероятности р(хь хг) случайного вектора ($, г)) равна Р(хг хг) =Ро(хг)Р (хг) емрг(хг)рг(хг). Отсюда при любых неотрицательных х и у Р (5+г) <х, — < д~ =ЯР,(х,)Р,(х,)Их дхо, (62) ч о где область 0 определяется условиями. 0=((хь хг):хг+ +хо<к, х~/хо<У).
Переходя в формуле (62) от двойного интеграла к повторному, найдем о с «в Р(5+г1<х, — <У~ = ~Ро(хо)дхо ~ Р',(хг)дхг+ к 'о+г Ф~ о аа, с-сд + ~ Ро(хо)г(хо ~ Рг(хг)о(хг+ ( Ро(хо)Ыхо ~ Рг(хг)бх,. Й94 Ввиду (61) первый интеграл в правой части равен нулю, два других преобразуются следующим образом: Р ~~+ )<х, ~ < У~ = о+г - о,о = ~- -" ь, ~ -" ь, + о о о Ф то + ~ о .ч,(х ~ е-ксДх о Рис. 16 о м+! к к (о+1 1 — ~ е-о~11» ( е-оаг+ог,(х е-сх 11 ) о ое = 1 — е-'+ 1 (е-к 1) е-г хУ У+1 — У+! У (1 —,е-н — е "х). у+1 С другой стороны, согласно (51) и (61) .т агав Р ($ + г) < Х) = ) да ) р, (Хг) Р (Š— Хг) 1Х = (63) К ОФ ~дг ~ е к ра(а — х1)Их, = — в к « — ) Ох~а-«Оа-«+«ООХ вЂ” ХŠ— «+ 1 а — к (64) о Далее Р ~ — (Р~ = ~ ~ Р«(х1)ра(х~г(х,г(хз = , /к.<Ы о ФО 1ОФ :«*з ~Р«(юг(х, ~ Р1(хз)Ых, +'~ Ра(ха)г(ха' ~ Рз(х)аахм (65» ОФ ка о ОФ Преобразуя правую часть с учетом (61), наяодим 1ОФ «О«, Р~1 (р1 =~ Ь,~ "Ь,= а а = ~ е —" (1 — 'е — 'к*а)'пха = ~ .
(66) а+1 а . рОа 17 Сопоставляя (63), (64) и (66), получим Р ~ $ -1. «1 < х, — ( д ~ = Р ($ + т) ( х) Р ~ — ( у1, так что случайные величины $+П и $/т( независимы. 5. Докажем, что линейная функция нормальных случайных величин йормальна. Очевидно, достаточно рассмотреть линейную функцию двух случайных величин. Пусть ь='аз+(10+у, ~а~+ ~6~)0, (67» где случайный вектор ($, и) распределен нормально, а, 6„ у — константы. Надо.
доказать, что Г, имеет нормальное распределение. Заметим, прежде всего, что есааи.$енМ(0, 1), то (о$+а)енУ(а, о'). В самом деле (пусть для определенности о) О), Раз~ (х) = Р(п$+ а ( х) = Р ~Ц < а к — а — е з др, 1 г' 2а 78 Отсюда (л.— а1' г ре2+, (х) = Рвз+2(х) е е 1' 2п т. е. х ° Ф ='Р(а$+ ()21 ( х) = ~((г ~ р ~х1, — (х — е(х())'((х2 (69) М ав (считаем для определенности, что ДФО). Отсюда и из (68) для плотности р((х) случайной величины ~ получим выраже- ние рс(х) = Рг(х) = ~ р (х„— (х — а х2) ) ((х2 = 1 р 1 (' ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
