Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Действительно, Я Ъ(М))РЮ = Я.( Я $(в,)'Р(м,'.)) = цап ь ! ер Мир=к» = ~~" ль ~~~' Р(м',) = ~ харь, ' Й-1 в,4(а,) =к„ ь-1 если последний ряд сходится абсолютно, ибо тогда приме- нима обратная лемма о суммировании по блокам (см. 3 3) Итак, в случае существования математического ожидания Мй имеем равенство .М$= Я $(е,)Р(м). (12) в~ей Аналог формулы (12) справедлив и в самом общем случае любой случайной величины, но вместо, суммы в (12) должен стоять интеграл Лебега.
Продолжим изучение моментов случайных величин. Определение 3. Математическое ожидание М (в — Мс) ь ' ' (13)' называется и-м центральным моментом, если существует М~ ~ — М$~". Центральный момент второго порядка называется дисперсией случайной величины $ и обозначается РГ, Щ=М($ — Мй)'. ( 4) Этот момент является очень удобной характеристикой разброса значений ~ около ее среднего значения — матема- ' тического ожидания М$. Так как в согласии со свойст- вом (9) М($ — М$)' =М(яз — 2ВМ 5+(М$)') = =Муз — 2М$ М$+(М$)', то справедлива следующая формула для дисперсии: РЦ=М~~ — (МЯ'. -- (15г Отсюда следует, в частности, что М~зъ(М$)', поскольку В$ъ'О.
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины; для характеристики разброса, рассеивания иногда бывает удобнее пользоваться значением, размерность кото- рого совпадает с размерностью случайной величины. Такая величина о$ =)/Р г, называется среднеквадратичным уклонением' $. На основании определения (14) и теоремы 1 можно записать: 1) если $ — дискретная случайная величина, х!, хь ...— ее значения, а рь рь ... — соответствующие вероятности, то 6» Р а = ~~~' (х» — М $)' р»! Ц ! 2) если $ —. непрерывная случайная величина и р(х)— ее плотность вероятности, то Р $ = ( (х — М $)з р(х) !(х. (17) (18) Примеры. 1.
Нормальное распределение, $е=У(!», и'). Так как М$= =*1», то в силу '(18) 66 !» а!а 49 е ! е» = = ~ (х — )!)'е е» ! ⻠— =ге ' ~ += ! е 'Ж=оа. г' яя щ=~й — У = е-"~~) ! й(й — 1) — + !!а а! »-е 6» Таким образом, единственный параметр распределения Пуассона задает как математическое ожидание, так и дисперсию. Приведем выражения математического ожидания и дисперсии для случайной величины $ смешанного типа (комби- Таким образом, параметры нормального распределения Ф(!»! о'): 1» — математическое ожидание, о' — дисперсия. Нормальное распределение полностью определяется этими двумя параметрами.
2. Распределение Пуассона: ф=й,р(ф=й)=е !4!»/Гг1, Х)0, А=О, 1, 2, .... Было показано, что М$=А. Ввиду (15) имеем нации дискретного и непрерывного распределения, см. 9 8)! Мй= у!~~~„х~ р$+д ) хр(х)ггх, ь=! 0я = д$~ (ха — М$)'рь+ да ) (х — МЪ)'р(х)Нх, $=! у„д,>0, д,+д,=1. (19) 2'. Свойства математического ожидания и дисперсии 1) Математическое ожидание суммы случайных величии равно сумме математических ожиданий МЦ+!1) =М$+М!1, (20) при условии, что М~5~ и М~т) ~ конечны. ' Доказательство. а) (а, и) — дискретная случайная величина. Пусть ф при- нимает значения х$, хм ..., а $1 — значения уь уь ....
Тогда $+т~ принимает значения х$, гв ..., где все а$ различны, г,= =х;+уь а . г, =РЯ+й =г,) = рл, (21) Е $, л$$+$! — — $, ввиду (49), $8; ря=рй=х!, !1 =у!). Поэтому М (я + Ч) = ~' а$г$ = ~' а$ ( Е р$р ) = $=! $=! ! л$$+ф $ $$ $$ $$ ° $ Д (хг+ у;) р! ~ ~=' ~ (хг+ у!)р,! =~ х$~~ р'„.+ $=! $, $!$г+$! $ с, у=! $=! ! $$ $$ $$ $$ + ~, у!~, р,! =.~, х,р; 0- Я у!у! = Мй + МЧ, $=! 8=!' . ! ! $=! 88 Ю $$ здесь ~~ р,! = Р Я = х!) = р! и ~~~~ рп = Р (!) = у!) = д!", ! ! ! ! ' группировать ряды можно.в силу леммы и обратной леммы о суммировании по блокам, поскольку ряды по условию сходятся абсолютно.
б) (я, т1) — непрерывная случайная величина, р(х, у)— ее плотность вероятности. Согласно (52) 9 8 плотность суммы 1=3+!1 имеет вид р! (г) ) р(х, г — х) Нх. Поэтому М ($ + Ч) = ~ грг (г) !(г = Д гр(х, г — х) Нхдг = = Ц(х + у)'р(х, у)дхс(у = ( хдх ( р'(х, у)!(у+ + ) ус(у ) р(х,у)!(х= ) хд(х)дх+ ~ ур„(у)ду=М$+ Мт), интегралы можно переставить в силу их абсолютной сходи- мости. Свойство 1) доказано.
2) 'Из следствия (п. 1') и свойства 1) получим свойство линейности математического ожидания: М(сД+сзп) =с!М$+сзМтв (22) с!, сз — любые постоянные, если М1а1 и М1т)1.конечны. 3 а м е ч'а н и е. Если воспользоваться формулой (12), то равенства (20) и (22) можно доказать еще проще: 'М(сД+ с,!)) = ~~ (сД(е!!) + с,!)(е!))) Р(е!!) = "!ея' =с' ~!~ $(в,)Р(е!)) + с~ ~1~ т)(в!)Р(в!) =с,МВ+.сзМ!)- е,еа есяв 3) Если случайные величины 4 и т1 независимы, то М$Ч М3 Мт1, .
(23) при условии, что М1Ц и М)т) ~ конечны. Доказательство (в обозначениях 1)). а) $П вЂ” дискретная случайная величина со значениями г!, гм ..., где все 1, различны, 1,=х!у! н г,=Рфц=г!) = ~~1 рт, С, !!х!д, е, .причем р!!=Р(а=ха и=у!) р!дь так как $ и т1 независимы. Поэтому, ° Э ФФ Мйп ~, 1.г, ,'~, 1,Д„,р,у! ) ! а ! с !эх!и!=!3 ФФ и щ. ЮЭ 6В Д~, х,у!р,!)!) = Я х,'.у!р,ц = ~„х!р, ~ у!!); = М$ Мть ! ! . Е, !':к!у.=! Г, !=! . != ! с=! Г ° группировка рядов законна в силу их абсолютной сходи- мости и леммы о суммировании по блокам. б) Согласно формуле (60)' $ 8 плотность произведЪйия имеет следующий вид (с учетом того, что р(х,у)= =ро(х) р,(у) в силу независимости $ и я): о РС (г) = — ~ — Ро (х) Рч ( — *) ((х + ~ — Ро (х) Рч ( — ) дх.
ЯЮ о Отсюда М1Ч = ~ хрс(») (. = — ~ — ро(х) ( ~ рч « †) (х + г г.!2~ х,) ~х( 4В ФВ о ЯФ + — ро(х)ах гр„~ — ~ дг = — )ос(х)ах ~ 1»'рч(1)(11+ х ,> 1х( и х о — аа СΠ— ЮО юа ОВ 40 Ю +~ — р1(х) с(» ~1»'Рч(1)а( = ~ хщ(х)с(х ~ (ри Ясй = ЖМо), тх (25 (26) перестановки интегралов законны в силу их абсолютной схо- димости. 4) Некоторые неравенства. а) Если $ъ-т1, то М$ъ.Мт). (24) В самом деле, случайная величина ~.=о — т1 принимает не- отрицательные значения, поэтому согласно определению 1 (с й=1) справедливо (24). б) Неравенство Коши — Буняковского: мпМ< ~мо м0, если величины справа конечны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем ) $т) ~ < 1/2(во + т)о). Отсюда и из (24) следует, что если Моо и Мп' конечны, то конечно и М($ф. Далее при любом Л О<М(ЛИД!+ ~цУ =Л МР+2ЛМП)(+Ми . Квадратный трехчлен относительно Л НеотрицатЬлен при всех Л, стало быть, его днскриминант неположителеи; т. е. (М~$т)~)' —.М$'М»1' сО, что и требовалось доказать. 4, в) Неравенство Чебышева. Для любого о>0 Р( ) й ( ) е) (М ! о ~ о('оо, если М ~ $ ~ о конечно. Доказательство. Введем случайную величину н по формуле о) = О, если ~ф~~з, (27) е, если )К~)о.
Таким образом, и — дискретная случайная величина, прини- мающая два значения: 0 с вероятностью р1=РЦ5)~е) и е 90 с вероятностью Р(Д~>е). Из определения т1 следует, что »1»~)»~» и в силу (24) имеем М)ц»~М»1»=е»РЦц>е), что совпадает с (26).,ф1 Взяв в (26) вместо й случайную величину ф — М$ и учитывая, что МЯ вЂ” Ма)»=Р»», запишем (26) в виде Р(/$ — МВ ! > е) ~Ще»а (28) именно это неравенство обычно называют неравенством Чебышева. То же рассуждение с использованием случайной величи-ны и из (27) и неравенства а) приводит к неравенству: для любого а>0 Р()Ц >в)< — 'М~Ц, если М)Ц конечно и, е ,я частности, если случайная величина $ неотрицательна, то Р($)е) < — М$.
е 5) Дисперсия постоянной равна нулю: 1)с=О, так как Юс=М(с — Мс)'=М(с —,с)'=О. Верно н обратное утверждение: если 115=0, то с вероят- ностью 1 $ равна константе: $=М5, В самом деле, в силу (28) прн любом е>0 'Р()$ — Мц>е)=0. Поэтому на осно- вании полной аддитивности вероятности, получим Р(Д вЂ” МВ! >О) =Р(!Б — МЦ >1)+~ (112<Д вЂ” МЦ<Ц+ + ... +Р(1!2»(~$ — МЦ<1/2»-')+... =О, и, таким образом, РК вЂ” М$=0)=1.
6) Если П=с$, то 11»)=с'Р~, с — любая постоянная. Дей- ствительно, 0»1 = М(с$ — МсЦ' = М(с'Я вЂ” М$)»! = с»1%. 7) Дисперсия суммы конечного числа попарно независи- мых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых 17~Я~,) =Еж,: (29) В самом деле, 1УД; ~,) -МД'„~,— М~ ~,)*=МД:а,— Щ))'= л » = М Е '($» — МЫ(5» — М$») = Х М(($с МИ(еь» — МЫ!'= ь ь-1 с 7-=~ -Я МД,— М~)*+ ~; МЦ» — Мй)ма,— М~,)=Яд,, он с»=! 'к~» 91 ° В М (й/В) = ) х»(Р1(х/В), (31) или подробно М($/В) =Х х р (В) » ! (32) если $ дискретна, х» — ее значения, а р»(В) =Р(»=х»~В— соответствующие вероятности, й = 1, 2, ...; и М(й/В) = ) хр(х/В)»/х, (33) если й непрерывна, р(х~В) — условная плотность вероятности (см. 38), В частности, если событие.
В состоит в том, . что случайная величина »1 принимает некоторое значение у; »)=у, то согласно формулам (36) и (41) $8 получим СФ М ($ ~ у/) М Я1»1 = у,) = ~ х Р»н Ь ! (34) 'здесь мы несколько раз пользовались свойством 1), в пред» последнем равенстве учли независимость $» и $» при »Ф/» и свойство 3) а последнее равенство основано на том, что М(Ь вЂ” М$»)=/И1» — М$»=0».Равенство (29) иногда называют равенством Бьенеме. Пример. Пусть случайная величина $ распределена по биномиальному закону.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
