Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 20
Текст из файла (страница 20)
А <2 ) ]х~"дРа(х)+ ) ]х]«]е" ' — 1~йре(х).' (7) ]«!)А — А Пусть е>0- — любое. В силу существования момента й-го по- рядка выбором достаточно большого А>0 первый интеграл в правой части (7) может быть сделан меньше е/2. Зафикси- ровав это А, возьмем Ь>0 столь малым, чтобы для всех 6, ]Й]~б, второй интеграл в правой части (7) также'был мень- ше е/2 (что возможно ввиду оценки п]ах ~е'"' — 1 ~ = п]зк «е1 — А~А] «61 — Ф,А] . Ь« Ц е Ч] ~ <! йА1). Таким образом, ]1~~и(1+ й) — 6]~(1)~ ( а, если о ]й~ <б, сразу для всех (енРь,ф, Из доказанной теоремы, следует, в частности, что ~,(1) равномерно непрерывна на Яь Теорема 4. Если характеристическая функция ~~(1) абсо- лютно интегрируема на Йь то случайная величина $ непре- рывна, а ее плотность вероятности р(х) равна р(х) = 1 е-~«.~,ЯЯ (8) «н,] и равномерно непрерывна на Юь Доказательство.
Пусть х и у, д>х, любые два числа. Рассмотрим интеграл -1(х, р) ее — ' ~ " ., '" ." й-(1) и= ' . (9), ] . с«п" — «пас = — 1пп ~ ~1(1) Ж. 2пл»«~ и Интеграл (9) сходитСя абсолютно ввиду:абсол]отпой ннтегрируемости ),(1) и оценки ]« )е н«е — нм~ — ~~е — ]аикц~» ]1(х р)] . (10) м Оценка (10) показывает также, что если у=х+й, Ь>0, то 1(х, х+л)~-0 при й-~0. (11) Подставив в (9) вместо ~~(1) .выражение (1) и изменив порядок интегрйрования, что возможно в силу абсолютной сходимости двойного интеграла, получим 1(х, у) =' — 1пп ( ( ~ ' ' Ж) йр](г) = ае л 114 гю А 1 .О(1(г — «] г — 11(г — х] . (1(г-Ы) — п(г — У]~,» = — 1нп ~ дРО(г)~ ~ 2( — ЮЮ О = — '~ (/Р1(г) Ц - (Й вЂ” ~ Ж~.
(12) — Ю О О С Последнее равенство в (12) есть следствие формулы: 1пп/О=!ап ( Рг(г) ~ — И =О,а=г — х и а =г — у.' А-иа А» гг 5 ( — СО А Для доказательства этой формулы будем считать, что х к у — точки непрерывности Р,(г) (см. с. 62) и воспользуемся элементарной оценкой: со, если А ~~ 0,(х — любое; (О ( ! —, если А)О,~а~)Ь «О. Пусть т(=г — х (а=г — у — аналогично). Имеем «В ° г 1/,) = ~ ~ ж )~ †""," й + ~ /Ра(г)~ †"", " (/ ~ < (г-'-4КО А ' (г — «()О А»~ сг(Ра(х+ б) — Рт(х — 6)1+ — ) (/Ра(г)( е, 00 ибо Первое слагаемое (е/2, если б~бО(е), ввиду непрерыв- ности Р, в точке х, а второе слагаемое (а/2, если А доста- точно велико (А )~ 4е ]бг«вЂ” т(з), ) ((Ра(г) =1 ). Как известно, / (х, у) = ~ (/РО (г).
х Отсюда в силу (11) заключаем, что Р,(х) — непрерывная функция х и (14) дает /(х, у) =Р,(у).— РО(х), х, у, у>х — любые. (15) (14Р 115- '/' = 2 зйпо, (13) Поэтому квадратная скобка в правой части (12) равна нулю,. если г~г или г>у, и равна ((, если х(а(у. Таким образом„ получаем (19) (21) 116 Из формулы (15) вытекает равенство Ре(»+")-РЗ(» — ") ' ! )' »)пШ е — и»/ ((),(/ 2Ь Покажем, что предел правой части (16) при й-~0 равен 00 е — н»/ (() )(( (17) 2п,)' ОО В самом деле, пусть е)0 — любое, имеем ФФ ОЭ 1 """ г'"" е — и»/г(1)</( ~ е — и»/г(/)!1(~,» (а А ~2 1 )г(~))ю). 1~ '~ — )~))ф))й(, пг) )н)А ,.-А при !й~~б(е), поскольку первый интеграл- в правой части (18) (е/4, если А)0 достаточно велико (в силу абсолютной интегрнруемости /,(/)); а второй интеграл (е/2, поскольку при фиксированном А )(з(п(/г)/(й — 1~-~0 при й-~-0 равномерно по 1~( — А, А].
Поэтому существует и ..предел левой части в (16), и мы получаем р(х)= Рг(х) = — (! е — и'/1ЯЙ. 2)г .! » Из представления (19) ввиду абсолютной интегрируемости /г(1) сразу следует равномерная непрерывность р(х) при хеи/с) (сравни с теоремой 2). ~ 3 а м е ч а н и е. Из проведенного доказательства теоремы 4 легко вытекает следующее утверждение: если Р,(х) — функция распределения, а /,(() — х.ф.
случайной величины й, то для любых точек непрерывности х и у функции Рг(х) справедливо равенство А л» вЂ” н» е — ау Р(у) — Р(х) = — 11)п 1 ' ' / (()Ф, (20) 2л А-~а» н — А Равенство (20) называется формулой обращения, оно позволяет находить функцию распределения по известной х.ф.' Рассмотрим несколько примеров х.ф. 1. Нормальное распределение М(0, 1) имеет х.ф. »» »' ))!†»)' н /г(/)= ~ еп» е г )/х =е г 1 е г )/х=е г ! ! т' 2а )' 2я Если $енМ(0,1), то (о$+р)вне(р,о') н согласно теореме 2 г + (г) еиа нм 2. Х.ф.
распределения Пуассона О ОО ч1.'Мех-ч1.1 )1(1) = ~~'е'и ' =е — ь ~'(Хеч)» — =е — 1е™. (22) й! — И а=О хса 3. Х.ф. биномиального распределения я л ~1 (1) = Я е'~С~р~дл — ь = Я С~ (морд -ь (реп + д)л (23) ' В заключение этого пункта приведем для справок основные свойства, многомерных характеристических функций. Определение 2. Характеристической функцией ~,(1ь ..., 1,), (1о...,1)И„, и-мерной случайной величины $=($ь...,'„) называется функция Ппе +; "+Г„в„) ~1(1„...,1„) =Ме с~ч~"„се а = ~ ... ~ е а 1 г(Ре(х,, ..., х„). (24) Из этого определения непосредственно вытекают следующие свойства' х.ф.
~~ (1ь ..., 1,): 1) )~(0...,0)=1, 1~~(8ь...,1) ~~1. '2) Если координаты $1, ...„$, случайной величины $ независимы, то ~1(1„...,1) =)ц(1,)... ~Е (1„), нбо в этом случае М «д'+" '+юлел) — Ме' 'и Меии~ъп 3) Х.ф. случайной величины г1= (оД~+рь ..., о е +р ) равна С Д вью~ 7ч(1,,...,Ю„) =е" ' ~11оА, ...,о„1„). 117 4) Х.ф. суммы координат случайной величины $ равна й,+...+е„ (1) = й (1, , 1), ибо й,+...+е„ (1) = Ме"'~'~"'~'ь' . ! В полной аналогии с одномерным, случаем для х.'ф.
много- мерных случайных величин могут быть доказаны формула . обращения и теорема о непрерывности для х.ф. (см. ниже). 2'.- Теорема о непрерывности для характеристических функций Хорошо известно нз .анализа, что для фнннтныхе функций справедливы формулы прямого н обратного преобразовання Фурье: если «р(х)ы Со (1с,), то «р(х) = — ( е1«з«р(1) «(г', (25) 2л,> где «р(1) — преобразование Фурье функции «р.(х) Ф (1) = 1. е-пе«р(х)(х; (26) «р(!) убывает на бесконечности быстрее любой степени н поэтому абсолютно ннтегрнруема на 1««.
Лемма 1. Пусть «р(х) — произвольная фнннтная функция, «рая Са (1«т) $ — случайная величина; а 1,(1) — ее х.ф. Тогда М«рй) = — ~ )'1(1) «р(1)с(У.. (27) Доказательство. Используя представление (25), будем иметь' ЮВ 00 ЭФ .М~р($) = ~ «р(х)Щ(х) = — ~ «(Гй(х) ~ еЮр (1)с(1=- в 2н,/ = — ~ ф(1) Ж ~ и««"«(Рй(х) = — ~ «р(1) Л(1) с(1 перестановка интегралов законна в.снлу абсолютной сходи- мости двойного ннтеграла.-4Ь Лемма 2. Пусть последовательность (1«а(«)) х.ф. случайных величин (е,) сходится прн и- оо к.х.ф. случайной величины $ равномерно по 1 в каждом конечном интервале ~1~~Т, -- Тогда для любой фнннтной функции ф(х), «ре=Со (1««) М«р Д„) ~Мф($) прн п-з-оо.
(28) Доказательство. С помощью формулы (27) получим * Как известно, финитной называется бесконечно дифференцируемая функции с компактным носителем. Множество всех финитных на к» функций обозначается С«(й«). 11$ < — „, ~1Й„(() — Л(г)1]ч(1)1ш+ — 2,„~ 1й„(1)11«р(1)1 11+ — г «а>г + — „~ 1)ь(1)11ч(1)1«(1 — (29) «е«>г Два последних интеграла меньше е/3, если Т~Ть(е)>0, ибо 17«а(1) 1~1 1«е(Ю)1к1 а $ 1«р(Ю)1«У( —, ' так как «р(Ю) «а>т абсолютно интегрируема.
фиксирован такое Т, видим, что первый интеграл также меньше з/3, если пъпь(е), так как 1ь„(1) 'Ы), при и-«-со равномерно по 1 при !1! ~Т согласно условию леммы; 4, 1 Теорема 5 (о непрерывности для характеристических функций). Пусть, выполнены условия' леммы 2, и пусть, кроме того, функция распределения Р,(х) случайной велячины ьа непрерывна.
Тогда пря «е-е-аа 11щ Рь (х) =Рь(х), (30) причем сходимость равномерна по х, х~)1ь ' Доказательство. Возьмем любой сегмент ]а, Ь] и любое е>0. Существует финитная функция «р(х), равная нулю вне (а, Ь], равная 1 на [а+е, Ь вЂ” е] и Оразу(х)~1 в остальных ' точках.
Имеем при всех и ь ь ' М«р(В„) = ~ «р(х) «(Ре (л) < ~ «(Ре (х) = Ре (Ь) — Рь (а). а а Отсюда, поскольку на .основании леммы 2 М«р($а)-«.М«р($) при л-«-оо, находим 1пп ]Рь (Ь) — РЬ(а)] > 11т М«р(я„) = М«р($) = а-ме ь ь.-е = ]г «р(х) «(Рь(х) Э~ ~ «(Рь(х) =Рь(Ь вЂ” е) — Ре(а+ е). (31) а а-1.е Аналогично, взяв финитную функцию ф(х), равную! на (а, Ь] нулю вне !а — е, Ь+е] н 0 к«р(х)-с1 — в остальных точках, получим: ь Ь+е Рь (Ь) — Рь (а) = ~ «ХРь (х) < ~ «р(х)«(Рь (х),'= М«р($„). а а-а 119 Отсюда, вновь используя лемму 2, находим 1пп [Ре (Ь) — Ре (а)1~ 11щМ<р($„) = М~рЯ) = Ь+е е+е = ] ~р(х) е(Рт(х) < ] е(Р~(х) = Ре(Ь + е) — Ре(а — е).
(32) е е а — е Поскольку Р,(х) непрерывна в каждой точке х, то, устремляя е-~0 в (31) н (32), получим 1пп [Рт (Ь) — Ре (а)] =1пп [Ре (Ь) — Ре (а)] =Ра(Ь) — Ре (а). (ЭЗАР Из совпадения верхнего и нижнего пределов в (ЗЗ) следует существование предела и равенство 1йп [Рт (Ь) — Ре (а)] = Ре(Ь) — Рт(а). (34у Из (34), в свою очередь, вытекает, что в каждой точке хенете Рт„(х)-е-Ре(х) при и-~-ао.
В самом деле, пусть 6)0 — любое. Возьмем числа А и В так, чтобы Теперь ~Р,(х) — Ре (х)~е;][Р1(х)-Рв(В)]- [Р, (.) — Р, (В)]]+Р,(В) +Р~(В)<46, . (38) так как первое слагаемоц справа <6 в силу (34), если л~п~(6), а для' двух других слагаемых выполнено (37). В (38) 6)0 — любое, так что мы доказали, что при каждом хяР, 1йп Ре (х) = Ре(х). л-еее (39) Докажем, наконец, что сходимость в (39) равномерна по х на всей прямой — ео<х<оо. Пусть е)0 — любое. Выберем 120 Ре (А) — Ре (В) )~ 1 — б ' (35~ -(чнсла А И В найдутся, ибо Р,(+со)=1, Р,( — со)=0 и Р,(х) непрерывна). В силу (34) найдется такой номер ле(6), что при п~ле(6) Рт (А) — Ре (В) )~1 — 26. .
(36) р)з (36) и (36) ввиду неравенства О~Ре(А) Рее(4)<1 еле ' дует, что Р (В)<6, Р~ (В) <26. гочки х1<хе«...хл, У=[1/е]+1, так, чтобы Рт (х~+~) — Рт(хг) < е, Р1 (х,) < е, 1 — Ре (хэ) < е, 1 = 1, 2, ..., У. (40) Точек х; конечное число, поэтому в силу (39) найдется-такое ле(е)„что при п~ие ~Р1(Х~) — Ре (хГ)~ <е, и~)лм / =1, 2, '...,У. (41) Пусть х — произвольная точка Яь тогда либо х<хь либо х)хх, либо прн некотором / х; <х~хььь В последнем случае ~ Ре (х) — Ре„(х) ~ < ) Рт (х) — Ре (х~)1+ ( Ре (х~) — Ре„(ху) ~ + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
