Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Тогда, если выполнено условие Ляпунова ибо 7„8(0) = 1, 7„8(0) = 8М ~„8 = О, Т,ар(0) = — М ~'„8 = — 88 , вв а для остатка Я,в(1) имеем оценку при 1=1, ..., и (к,в(1)!< — гпах!'1м,(1))< — М )~ 8!' = 6 ~ 8М~т 6 та = — — М!Фв — рр!'< 6 вв л л < — — т М($8 — рв! -~-0, п-е-оо Тв 1 %8 8 6 вв л (70) в силу условия (63). Далее, имеем оценку при любом е>0 и 1=1, ..., л — =.РГ в = ~ хам,8(х)< в' л — аа < е' ~ НР„8(х) + — ~ ! х!'ИР88 < е ~кКв М!~в <е*+ — 'М!~ ! <2ав, в (71) если л — достаточно велико, так как М(~„8!8 = — М!$8 — )88!в-ыО при п-ыоо.
1 В'л Положим г,8 = — — — + К~ (1). пЬ в8. 2 Из оценок (70) и (71) следует, что !хлв! — «О прн и-ьсо и л= 1, ..., л, )1! ~Т. (72) (73) 5 Ю. П. Пытьев, Н. А. Швшыарев достаточно в силу теоремы 6 доказать,'что при л-~.со л аа П ~ы(1) ее . (66) 88М равномерно по а, !1!~Т, Т>0 — любое фиксированное. Запишем на !1(~Т формулу Тейлора для 1„8 с остаточным членом Лагранжа: 1:(1) =-1 — —" — "+)7.8(1), (69) в8 2 ге — — нрн ие-оо равномерно по 1 прн (1(.<Т, что рав- 2 носнльно (68).',~ 4'.
Применения центральных предельных теорем и прнмеры Отметим прежде всего случай, когда нельзя применять центральные предельные теоремы. Пусть мы хотим' оценить вероятность Р(т),<х), причем-речь идет о тех х, прн которых эта вероятность близка к нулю нлн единице. Если мы заменнм Р(е)е<х) на Фе(х), то ошибка может быть очень большой (порядка сотен процентов) ввиду того, что хотя разность Р(е),<х) — Фе(х) н будет равномерно малой прн всех х, но неверно, что отношение Р(т1,<х)/Фь(х)-е-1 равномерно по х, т. е. «хвосты» распределения требуют очень осторожной оценки.
Вероятность и чистота. Пользуясь теоремой 6, оценнм, насколько сильно может отличаться частота от вероятности в серии нз и испытаний Бернулли. Оценка основана на со. отношении Р(( ч" — р!)е~= — ' Ш-ее,(— т)е — число успехов прн и нспытаннях. Поскольку прн р+4=1, очевидно, рд«:1/4, эта вероятность не превосходит 2Фе( — 2еги). Поэтому Р~ч. ,<,< че +е~ л л -1 — 2Фе — е1/ —" Э1 — 2Фе( — 2е1/л ). Г Рч Таким образом, зная число успехов т1„в и испытаниях Бернуллн, мы можем построить интервал 1 — "" — е,' — "+ е), л л который будет накрывать истинное (нанзвестное) значение вероятности р с любой заданной вероятностью 1 — а.
Для 131 этого следует лишь выбрать е=е(а) из соотношения 2Фз( — 2зул) =а, пользуясь таблицами нормального распределения. Тогда Р ~ и" — е(а)(рк„~" +е(а)) = 1 — а. л л Интервал ' ~ чл — е(а), ~ + з(а)) называется доверил л тельным интервалом для р с уровнем доверня 1 — а (см. подробнее об этом $15). Среднее арифметическое. Пусть $ь $з, ... — независимые случайные величины, М$»=р, РС»=о' для всех й. Закон больших чисел (см. $10) утверждает, что при л-~-со Р 1(~ ~' "' ,'— р~)е)-~О. Если $ь зм ...
не только попарно независимы (что достаточсв для применимости закона больших чисел), ио и независимы в совокупности, то можно применить теорему 6. Это дает Из таблиц нормального распределения следует, что при— ек» 3 = 3, т. е. при з = — т= вероятность рл Р1~т)„~(» ) =1 — 2Ф,~ — ~ ) равна 0,997. Это так называемое правило Зп. Примеры. !. Пусть $» — независимые дискретные случайнь1е величины, равные ~й с вероятностью 1/2,.я=1,2,.... Имеем М$»=А — — л ° — =О, .! 1 2 2 Р Ьн — — М а = Ал ° ! + йз ! = Ал, 2 2 132 Легко по индукции доказываются формулы: л л ~/Р= л(л+ 0(2л+ !) ~ч йл ~л(л+ !) 1' л=! л=! л Отсюда В„= ~/ Д РЦ, =7~" (л+ ) ( +, и условие (63) Ляпунова выполнено л — ~' М~3,— М$„(' = 1 л л (в+ Ц (2в+ 1) ~ — за /л(л+ !) )! =( Г~ Таким образом согласно теореме 8 случайные величины !)л= ($!+ ...+$,)/В„асимптотически нормальны с параметрами (О, 1) при а- оо.
2. Доказать, что 1!ще л чч лФ ! (79) л в ж 2 а=о Доказательство. Рассмотрим последовательность независимых случайных величин. $м й=1,2, ..., распределенных по закону Пуассона с параметром Х=1. - Имеем Мол=1, Вал= 1 и согласно теореме 6 при а»-оо л и Р(!) (х) -Р( ! л (х~ ~. е . 2 1 Ул равномерно по хек/7!..
Полагая здесь х=О, получим Р($!+ ... +$„<а) =Р 1~!+ "' 1" (01.»- —, (80) Ул ) 2 В силу применения 2) п. 2' сумма $!+...+5, распределена по закону Пуассона с параметром Х=а, поэтому л чч лл лле Р(5! + ... +$„< а) = '~' — е — " — —. (81) а! л ь=о Сопоставляя (80) и (81), видим, что справедливо (79). 3. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого входа имеется гардероб. Сколько мест должно быть в каждом -гардеробе для того, чтобы в 99)(! случаев все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, 133 через который они вошли? Предполагается, что зрители приходят парами и каждая пара независимо от других выбирает с вероятностью 1/2 любой из входов. Очевидно, это схема Бернулли с числом испытаний в=500 — число пар, р — вероятность выбора определенного входа, р=1/2, д=1 — р=1/2.
Обозначим через к число мест в каждом гардеробе, а через т — число успехов, т. е. случаев, когда пришедшей паре есть место в гардеробе соответствующего входа. Тогда х определяется из условия х х 1 Р ~т < —, л — т ( — ~ = 0,99. 2 . ' 2 ~ Для нахождения х воспользуемся интегральной теоремой Муавра — Лапласа: х 000 о.и-х(.— — « — )- — Ы( )~-~. х х 1 2 2 2 2 ~ ~ БГ5 Отсюда по таблицам определяем: к=537. $12. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕНИ МАРКОВА 1'. Определение цепи Маркова Понятие конечной цепи Маркова является простейшим и вместе с тем важным обобщением схемы независимых испытаний на случай, когда испытания зависимы. Напомним, что последовательностью а независимых испытаний мы называли вероятностное пространство (Я„бг„, Р„); элемейтами й„являются всевозможные последовательности (он,...., в~„), где ихней, И = (вь ыь ...) — множество исходов в каждом испытании, У"„— и-алгебра всех подмножеств Я„при этом независимость испытаний фиксировалась определением вероятности Р„ Р,(ас, ,ан„) =р; ...р;„, где рх= Р(ах) — вероятность исхода ах в каждом испытании.
Предположим теперь, что в последовательности л испытаний вероятность исхода в любом з-м испытании зависит ' от исхода (з — 1)-го испытания и не зависит от исходов испытаний с номерами з — 2,з — 3,...,1. Обозначим эту условную вероятность рм = Р ((ы ) ) (ы;)), 0 < р) < 1. ' (1) В этом обозначении отражен тот факт, что вероятность события вх в з-м испытании при условии, что в (з — 1)-м испытании произошло событие вь не зависит от номера з. Это свойство называется однородностью последовательности испытаний. Пусть задано распределение вероятностей для пер- 134 ного испытания: Р ((е!!)) = аь 1 = 1, 2, ..., а! )~ О, Я а; = 1, (2) ! 1 Тогда вероятность исхода (а!!о!) первого и второго испытания равна Рз((а!во!!)) =а!Рп и аналогично для й испытаний, 1=2, 3,.:., Р,((е!!, ...
«!,„))=апр!, р!„,!, 1,, !,, ..., !а=1,2, .... (3) Убедимся, что равенства (3) при й=ц задают вероятность на бгл, т. е. на все!( подмножествах 41„. Для этого достаточно проверить, что Я Р.((ы!,... е!';„)) лл ~ и!.Рп!,... Р,„! л =1, !в' "вл! !Епл (4) так как в остальном проверка дословно повторяет случай независимых испытаний (см. $ 5).
Поскольку для всякого исхода е!! в (з —.1)-м испытании в следующем, з-м испытании непременно наблюдается один из исходов в!, аь ..., то для каждого ! ~~~ Рд = 1. Это влечет следующую цепочку ра!' ! венств: в,=!,...,в =! '"" л в ° вв!» ' ' вл-Л»л ! Л» ' вл-1!л . Р. ... Р. . Г Р. !,=!....,! ''"" л ! ! ! л ас, Р!,!, ° ° ° Р! 1, !,...,! -! "" л-1 тем самым равенство (4) доказано. Далее для простоты предполагается, что пространство Я конечно, Й = (е!!, -, «!л) Определение. Конечпой одноредной цепью Маркова, состоящей из и испытаний, называется вероятноатное пространство (Ял, У „, Р,), в котором Ȅ— множество всех последовательностей (а!с„..., вв), 1 (!„гм ..., !„ь.вв!, Ял— алгебра всех подмножеств Я, и вероятность Р, определена 135 для каждого элементарного события 11, равенством (3) с й=н, где а; ) О, ~ а, = 1 — начальное распределение, ! ! Ф р!г)~О, Я р,! = 1 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
