Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если ги †' начальное распределение ве- роятностей (29), то р! (1) = Я н!р!ч ((о, 1). (38) /=1 Дифференцируя (38) по 1 и используя сначала (32), а затем (38), найдем и н и — = ~>~а,~ рм(1а, 1)А„(1)'= ~~) !А„(1) р,(1).. (39) !=! ь=! Ь=! Таким образом, получаем систему уравпеиий — = ~~1 Аы(1) ра(1), ! =1,...,М. !а й=! Начальные условия для этой системы таковы: р;(те) =оь 1=1, ..., )у. Для однородного марковского процесса переходные вероятности рн(е, 1) зависят лишь от разности 1 — з.
В этом случае согласно определению (34) Ан — константы, и система уравнений (32) принимает вид — =,у рс~(1)А* 1 1= 1 . У (41) ври(0 % 1 ь-! 3 а м еч а н и е. В случае счетного числа состояний Я= (аь вм ...) прямая и обратная системы уравнений Колмогорова (32) и (34) остаются справедливымн, но для их обоснования надо дополнительно требовать равномерную сходимость соответствующих рядов [61. Примеры.
1. Двусторонняя реакция. Система может находиться в двух состояниях в~ и ыз (ач — нераспавшаяся частица, тез — распавшаяся). Пусть возможен как процесс распада— переход из е~ в ые с вероятностью аМ+о(о1) за время Ы, так и процесс восстановления †' переход из вз в в~ с вероятностью ~И+о(Ж) за время М. Итак, ' в этом случае. Ам =а, Ам = ~, а, стало быть, А ~~ = — а, Ам = — ~. Уравнения (40) дают = — ар Ф + В (1), ~* = ар (1) — ВМ() (42) Пусть задано начальное распределение вероятностей а~ = 1, аз=0.
(43) Подставляя в первое уравнение (42) рз(1) =1 — р«(Ф), найдем — = — (а+ ()) рт(1)+ ~, отсюда получим решение ве (с) й р,(1) = е — (а+зи ( (1,— е+зи) Р а+р р, (1) = — (1 — е — <"+ви) (44) а+р При 1-~-со р~(1) — «()/(а+(1), ре(1)-~-а/(а+р), т. е. процесс эргодичен. Если восстановление невозможно (например, радиоактивный распад), то р=0 и р (1) е — аФ р (1) 1 е-а8 2. Двухнозиционное реле. Пусть двухпозиционное реле находится под воздействием случайной последовательности управляющих импульсов, имеющих с одинаковой вероятностью знаки плюс или минус, причем положительный импульс создает или сохраняет состояние ыь а отрицательный — со- стояние вь Тогда Ам=Ам=а, и, значит, согласно (34) Ап=Аее — — — а. Это частный случай предыдущего примера: ()=а: Найдем переходные вероятности.
Решая систему уравнений (41) с начальными условиями рм(!е) биь 1, №=1,2, получим рм (Г) = р„(1) = — (1 + е — ™~-ь1). 2 (45) При 1-~со все вероятности перехода стремятся к значению 1~2. 3. Пуассоновский поток требований. Пусть на некоторую систему обслуживания поступаюттребования так, что я(1)— число требований за время ! — образует' однородныймарковский процесссосчетным числомсостоянийач=0,1,2, .... Изсостояния 1 система непосредственно может перейти только в состояние!+1, 1=0, 1, 2, ....
Таким образом, Ас~ 1 — — а, остальные Ап=О при !Ф!' и согласно (34) Аи= — а. Для абсолютных вероятностей р;(Г), т. е. вероятностей 'того, что за время. г поступит 1' требований, имеем бесконечную систему уравнений (40) = ~~~АмреЯ ет (46) с начальными условиями ре(0) =1, р;(0) =О, 1=1, 2,.... Перепишем систему (46) подробней аре(г) 4ъ О) Е! — = ар1 ~(!) — ар,(1), 1=1, 2,. ер1 (О Й (47).
(48) — = сиу1-1 (!), 1 = 1, 2, с начальными условиями де(0) =1, дю(0) =О. 1=1, 2, 156 'Система (48) легко решается с помощью введения новых функций де(1) по формуле реЯ=е- 'деЯ, й=О, 1, 2,.... Тогда ~~'~~ =О, (49) Ег Интегрируя последовательно уравнения (49) при »=О, 1, 2, ... „. получим Ч(1)=1 Ч(г)= 1. Ь(1)=— (»!г)» ы р»(г) = (") ы (50) т. е. рассмотренный поток требований является пуассоновским. 4, Пусть однородный марковский процесс обладает свойством эргодичности: р!Т(1)-»-р! при 1-»оо. Тогда, как нидно из системьг (41), стационарные вероятности рг удовлетворяют системе уравнений Я р,'А,» — — О, й = 1, 2, ..., »=! кроме того, выполнено условие нормировки ~' р; = 1.
1=! Пусть, например, А;,;+! — — А, А!+!,!=В, В)А, А!! — — — А, Ан= — (А+В), !'>,1, Ап=О для других !' и 1. Тогда указан- ная выше система уравнений имеет вид Вр» — Ар! — — 1, я=1, Вр»„— Ар;=Вр» — Ар» !, й=2, 3,.... Отсюда Вр»- — Ар» !, й=2, 3, ..., т, е. р»=(А)В)»-!р! и усло- вие нормировки ~р! — — 1 дает р!=1 — А/В. Таким образом„ »=! стационарные вероятности в этом случае равны 'р» — — (1 — — )'( — ), й =1, 2, ....' Теперь мы рассмотрим марковские процессы 4(8) с неп- рерывным множеством состояний.
Здесь найболее интерес- ным и важным для физйки является случай процессов, у которых п-мерная функция распределения с любым а имеет плотность распределения вероятностей. Точнее: пусть $(1)— случайный процесс, 1енТ, и пусть при каждом наборе момен- тов времени 1!, 1», ...,1»тТ и-мерная случайная величина ($(г!), ..., $(1 ) ) имеет и-мерную плотность вероятности р (1!,х!,, 1„, х,). Эта плотность обладает двумя очевид- ными свойствами: 1) р,(1!,х,;...; Г„,х ) симметрична относительно любых перестановок пар аргументов ((ь х!), нбо р„(1!, х!, ..., Г», х,)дх! ... »(х„выражает вероятность совместного осу- ществления событий х!<$(1!) сх!+»(х!, »=1,...,п, и, стало быть не зависит от порядка ик перечисления; 15T 2) все конечиомерные плотности р„для различных л .должны быть согласованы в том смысле, что плотность любого я-мерного распределения при а<а определяется с помозцью и-мерного распределения: рь Я, х,;...; 1м х,) = ~ ...
) Р„Я, х, „...; 1,, х»; л — ь 1а» ь хь+б... ', 1„, х„) дхь» 1... дх„. (51) Согласно определению плотности условной вероятности (см. $8) имеем равенство р„(1„хб ..., б,х,) = (52) =р, 1(1ьхб..., 1, ь х, 1)д„(1„,х,~1ьхб ...; Г -ь х, 1). 'Свойство марковости процесса означает, как уже известно, что вероятностные свойства процесса в момент 1, определяются состоянием в момент 1„, и не зависят от протекания -процесса в предшествующие моменты времени, в силу чего д,(1„,хл~(ьх~',...; 1~ь ха!)=д(1л,х ~1» ь х~-1).
(53) Условную плотность вероятности д(1, х~т, у) называют переходной плотностью вероятности. Сопоставляя (52) и (53), находим Р,(1ь хб ..., 1„х,) = = р, 1(1ь хб ...,. 1 ь х, 1) д (1„, х„~ („ь х 1),, (54) ж.применяя эту формулу последовательно для и, л — 1,..., 2, получим. Р, (1ь хб ..., 1„, х„) = = р, (1ь х1) д (Ц, ха ~ 1ь х1 ),.г((1„хп ~ 1ю ь хп-1) (55) Равенство (55) означает,что для задания п-мерной плотности вероятности марковского процесса достаточно знать лишь .две функции: одномерную плотность р,(1, х) и переходную плотность вероятности д(Г, х|т, у).
Основным в теории непрерывных марковских процессов является уравнение Смолуховского (опо также называется уравнением Колмогорова †Чепме): ю)(1, х!(о хо) = ) г)(1, х~т, р)д(т ц)1о хо)бр (56) .для любых трех моментов времени-гз<т<г, 1а, т, 1еяТ. В самом деле, согласно (55) имеем Рз((ю, хо' т, р; 1, х) =Р1 (Го, хо)Ч(т, у)1о ха)ЧИ, х~т, у) (57) 158 (58) Ро(/о~ хо 1~ х) =Р1(то «о)Ч(1 «~10~ хо) ° В силу условия согласования (51) Ро(/о «о'1~ «) = ) Ро(го хо' т у' г х) ду. (59) интеграл в этом выражении означает условное среднее значение перемещения частицы за время Ь нз фиксированной, точкн у, так что А(у, 1) — среднян скорость изменения состояния в точке у в момент времени 1, А(у, 1) называется коэффициентом сноса.
2) 1пп — 1 (х — у)ое(1+ Л, «~1, у)дх В(у, 1) ) 0; (62) Ь Ю здесь интеграл дает меру разброса конечных точек х относительно исходной точки у. Условие 2) означает, что этот разброс растет при малых Л пропорционально Ь,т. е. поднффузионному закону, Коэффициент В(у,'1)/2 называется коэффициентом диффузии. 3) 11гп — ( ~ х — у 1з в (1 + б х ~ 1 у) дх = б Ь (63) 159 Подставляя (57) н (58) 'в (59) н сокращая обе части равенства на р1(/о, хо), получим (56). Для однородного марковского процесса плотность вероятности перехода зависит только от разности моментов времени у(1, х!т, у) =д(х~( — т, у).
В этом случае уравнение Смолуховского (56) имеет внд М ч(х!1 — 1о хо) = ~ ч(«~1 — т, у)ч(у~т — 1о хо)ду. (60) Переходим к выводу уравнения Эйнштейна — Фоккера —- Планка. В дальнейшем прн формулировке условий н интерпретация результатов нам будет удобно нспользовать терминологию, связанную с блужданием частицы под действием. случайных' толчков.
Эта интерпретация тем более уместна,, что мы ограничиваемся рассмотрением так называемых диффузионных процессов, которые характеризуются выполнением следующих трех условий. 1) 1йп — ( (х — у)у(1+ Л, «~1, у)дх =А(у, 1); (61) ь-+о Ь ) ,Это условие означает, что в малых промежутках времеви вероятность больших значений «х — у( мала (в самом деле,-при малых Л интеграл в (62) больше интеграла в (63), т. е. основную роль в интегралах играют малые значения (х — у().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
