Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если А — линейный оператор, действующий из Р~ в В, то Ь=А$ — случайный вектор, причем, как известно, Ц! =(А$), =(А$,е,) =Я а!!.П, ! =-1,...,п, 1=! где аи= (Аей е ), ц=1, ..., и матричные элементы матрицы оператора А в ортонормированном базисе. Матрицу оператора А будем обозначать А. Напомним, что переход к новому ортонормированному базису е'!, ...,е', может быть задан с помощью оператора ортогонального преобразования, или ортогонального оператора У:- е'! = Уе!, ! =1, ..., п. Матрица б оператора У в базисе е!,...,е, обладает свойствами бе1 У= ~1, б'Р =У-! и называется ортогональной.
В новом базисе е!', ..., е' матричные элементы а'и, !, /=1,...,п, матрицы оператора А вычисляются по формуле а'!! = (Ае, е ) = (А Уев Уе!) = (У'А Уеь е!) и равны и ап=. Р и,ра иь !,1=1,...,п, е, е-! 181 где ип — матричные элементы матрицы Е!, и!! — матричные элементы матрицы ()'г = У ', !,1 =1,..., и, в базисе еь ..., е„. Для любых двух векторов х, усни,: (х, у)=(их, иу) (2) и, следовательно, !!Уха=!!х~, где !!х!! — обозначение для л нормы (длнны) вектора х,'1х!)' =(х,х) = ~ х; . 1=! Пусть Л вЂ” линейное подпространство )г, и Я.ь ортогональное дополнение 2 в )г„, т.
е. множество векторов хенй,„ ортогональных всем векторам нз Е: А~-=(хенРпэ (х, у) =О, уанЕ). Очевидно, Ез- — также линейное пространство Я . Как известно, всякий вектор хек)г может быть представлен в виде суммы х = х! + Хь х! е= 1., х2е=— Е.!.. (3) Разложение )3) единственно. Действительно, равенство х=х!'+хз', х! енЕ, хз'енЕз-, совместно с (3) .влечет (х! — х!') + (хю — х!') =О.
Слагаемые в последнем равенстве оРтогональны, так как х! — х!'енЕ, хз — хз'ЯЕ з-, поэтомУ !ах! — х!'!Р+!!хг — хз'!Р=О, т. е. х!=х!', хз=х!'. Следовательно каждому х~Я„разложением (3) ставится в соответствие единственный вектор х!~Е: х!=Пх. (4) П называется оператором ортогонального. проектирования на Е, нлн ортогональным проектором на Е. Отметим следующие свойства оператора П. 1) П вЂ” линейный оператор. Действительно, пусть х=х!+хм у=у!+у!; х!,у!енЕ, хмузЫ1. Тогда ах+ ру= (ах!+()у!) + (ах,+ ()уз), ах!+ ру!енЬ, ах,+ ~узенЕ~.
Следовательно, согласно определению (4) П(ах+ ру) = =ах!+()у!=аПх+()Пу, так как Пх=х!, Пу=у,. 2) П вЂ” самосопряженный оператор, т. е. для любых х, УИ, (Пх, у) = (х, Пу). Действительно, воспользовавшись разложением (5), найдем (Пх, у) = (х!, У) = (х!, у!) = (х, у,) = (х, Пу). 3) Оператор П удовлетворяет уравнению П'=П.
Действительно, для всякого хЮ,: Пх=х!=Пх!- — П(Пх), поскольку для хыЕ разложение (3) имеет внд х!=х!(=Пх!). 182 На самом деле свойства 1~ — 3) не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы оператор П был ортогональным проектором. Для доказательства предположим, согласно свойству 1, что П вЂ” линейный оператор. Обозначим через 1. множество решений уравнения Пх=х, Ж вЂ” множество решений уравнения Пх=О. Легко убедиться, что Ь и !У вЂ” линейные подпространства !7„, причем ортогональные, если П удовлетворяет условию 2), В самом деле, если хЫ, уЫ, .го (х, у) =(Пх, у) =(х. Пу) =(х, 0) =О. Для всякого вектора х~й можно записать тождество х=Пх.+ (1 — П)х.
(6) Если П удовлетворяет условию 3), то П(Пх) =Пх, т. е. ПхяЬ, и П(1 — П)х=(П вЂ” П')х=О, т. е. (1 — П)хеба. Следовательно, П вЂ” оператор ортогонального проектирования на Ь=(х~й,, Пх=х). Из разложения (6) следует также, что оператор ! — П ортогонально проектирует- на У=(хй„(1 — П)х=х)=Ел.
Отметим следующее важное свойство ортогонального проектора. Пусть П вЂ” оператор ортогонального проектирования иа линейное подпространство Ь и р(х, Ь) =1п((!!х — у!! !у~Е) (7) расстояние от х до Е. Тогда р(х, Е) =!!х — Пх!!. (8) Действительно, пусть уеиЕ. Тогда Пх — уенЕ, х — Пх= (! — П)хеЕх, н, следовательно, !!х=д!!е= !!х — Пх+Пх — у!!з='!!х — Пх!Р+ + !!Пх — у!Ръ !!х — Пх!!з, причем равенство здесь выполняется лишь в случае Пх=р. Теорема 1.
Пусть 4 — случайный вектор, координаты которого 4ь,4, в некотором ортонормированном базисе независимы в совокупности и нормальны й!(О, оз). Если У вЂ” оператор ортогонального преобразования )г„, то распределение вектора У4, совпадает с распределением вектора 4, т. е. случайные величины (У4)ь..., (У4)„ распределены так же, как 4ь -,4' Доказательство. По условию теоремы плотность совместного распределения координат 4ь...,4„(плотность распределения вектора 4) равна л Х.
р;(х) =ра,,, а (х,...,х„)= Ц =е 2е* = 183 (х, .т! =-( ~е где х!, ...,х, координаты вектора хенР„. Для вектора »)=05. согласйо формуле (55) $8 найдем р!(х) = ри»(х) = р1(У»х) )Йе10-»! =)ь(х), (10) так как в равенстве (10) согласно (2) (У-!(х), У-!(х)) = =(х, х) и согласно (1) )бе10-д( 1. Из (9) и (10) следует, что координаты (У$)!,...,((1$)„вектора У$ независимы в совокупности н нормальны У(0, о'). А 3 а меч а н.не. Поскольку (У4) != (У$, е;) = (К, У-!е!), »=1, ..., в и е =У-!е!, 4=,1,„;,л, ортонормнрованный базис В„причем в таком виде может быть представлен любой, ортонормированный базис Я„, то утверждение теоремы 1 можно сформулировать еще и так: если координаты $„, $„случайного вектора я независимы в совокупности и нормальны У(0, о») и некотором ортонормированном базисе Р„, то они независимы в совокупности и нормальны У(0, а») и в любом другом ор, тонормированном базисе Я .
Напомним, что сумма л! квадратов независимых нормальных М(0, 1). случайных величин имеет т '-распределение хи-квадрат с л! степенями свободы (см. З 9). В частности, сумма любых гл~л квадратов коордийат вектора й, удовлетворяющего условиям теоремы 1, равна о'~ '. Но при условиях теоремы 1 имеет место и более общий факт. Следствие!.
Пусть )㻠— й-мерное линейное подпространство Я, и П» — оператор ортогонального проектирования на Р». Если выполнены условия теоремы 1, то случайная величина 1!ПДР= (ПД, Цив м (П,Д, П,Д~ распределена как аЩ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем в Р» ортонормированный базис е!', ...,е,', причем так, чтобы первые й векторов е,',...,е»' образовывали ортонормированный базис Я». Согласно замечанию к теореме 1 координаты $!'= (В, е!'), 1=1,...,л, вектора $ независимы в совокупности и нормальны !!!'(О, о»).
Поэтому л',» ь! = 1(» . !'=! С другой стороны, если оператор П» ортогонально проектирует на )т», то 184 Пвз = ~~) $ве; в=! так как )гв — линейная оболочка векторов е!',...,ев'. Поэтому (~,И =(~.и,и=Ха';) = в. ! 1 Следствие 1 содержит достаточно ясную интерпретацию «числа степеней свободы» т!-распределения. Как известно, если $в,"., $„независимы в совокупности и нормальны У(0,1), то случайная величина ЕМ ! !»в — в врв, ! Х0 ! в+! имеет распределение Снедекора — Фишера со степенями сво- боды з и л! — з.
Результат не изменится, если $в, ...,4, нор- мальны У(0, о'), н, более того, при условиях теоремы 1 име- ет место Следствие 2. Пусть Я, н Я! — линейные подпространства вт„, причем )гв ортогонально Я!. Обозначим через П, и П! операторы ортогонального проектирования на Я. и вг!.соот- ветственно. Если выполнено условие теоремы 1, то 1) векторы П,а'и П4 независимы, т. е. в любом базисе- Я„совокупности случайных величин (ПД) в, ..., (ПД) в и (П4)в,..., (П4)» (координат П,ф и П4 соответственно) неза- висимы; 2) случайная величина р., =((ПД~'Гзм)ПД~~Г() (11) имеет распределение Фишера со степенями свободы з и б Доказательство. 1) Пусть е„,,е„ортонормирован- ный базис в!„, такой, что. еь „е, — ортонормированный ба-' зис )т, и е„в,,е„! — ортонормированный базис в!в!.
Тогда, как было отмечено в следствии 1, в в+! ПД = ~~, (ф, е!) ев, ПД = ~~!, ($, е!)ввев„ в=! в+! и, как следует из замечания к теореме 1, совокупности слу- чайных величин 'Д, е!), ..., Я, е,) и Я, е,+!), ..., ($, е,+!) нормальны и независимы. Отсюда, в частности, следует неза- висимость случайных величин !!ПДР=о!Хвв 11П4Р=а'хвв. (12) 185 Я, е) ; ! 1()-ПеЦ )е/(л — ))) Пе (13) имеет распределение Стьюдента с а — 1 степенями свободы. Доказательство. Напомним, что дробь те=е)/[)(ее/ //е1'/е имеет распрейеление Стьюдента с й степенями свобоДы, если случайная величина т) нормальна У(0,1) и не зависит от те', или, что то же самое, если т) нормальна /У(0, о') и те = т)/(а'р~з/й1'!'. Согласно теореме 1 ($, е) имеет распределение М(0, а') и не зависит от !!(/ — П1) Ц', как это показано в следствии 2.
Дело в том, что оператор ! — П~ ортогонально проектирует на л — 1-мерное пространство векторов, ортогональных е. Отсюда же следует, что !)(! — П|)Ц!'=оеХз, ь чем и завершается доказательство. йЬ л Рассмотрим, в частности, случай, когда е — ~! е/р'й 1=1 Нетрудно проверить, что все координаты вектора ПД равны 186 а также тот факт, что !!П,Цз/ое и !!ПсВ!!'/ое контролируются )(е-распределениями с з и 1 степенями свободы соответственно. В любой другой системе координат координаты случайного вектора П е выражаются лишь через ($, е|),..., (в, де), а координаты П~~ — соответственно лишь через ($, е„1),...„ ($, е„1). Отсюда следует независимость случайных векторов Пе8 и П4.
2) Так как случайные величины (12) независимы, то случайная величина (1'1) имеет распределение Снедекора — Фишера со степенями свободы з и / по определению. ~ Подчеркнем, что факты, приведенные в следствиях 1, 2, носят геометрический характер и не зависят от системы координат в Я„. В дальнейшем будут полезны следующие простые обобщения результатов, доказанных в следствиях. Очевидно, что как о')(ее распределена не только случайная величина )!Пез!!е, но также н !!Пе(4+а)!!е, где а — любой (случайный или неслучайный) вектор, ортогональный Яе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
