Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для равномерно с. к. непрерывного стационарного процесса $(1) случайная величина г я(Т)ш — [ $(1)ь(1 — «О, Т вЂ” +ос т3 о (сходится по вероятности к нулю при Т- со). Доказа.тельство. Снова ограничимся случаем веьцествеиного стационарного процесса $(1) с непрерывным спектром. Покажем, что для любого а~О 1пп Р (1 $ (Т) ) ) е) = О. . (118) гч и Поскольку 174 то в силу неравенства Чебышева Р(($(Т) ~) е) < (119) и нам достаточно доказать, что 1пп 0$(Т).= О.
г-~ а Так как Мя(Т) =О, то'для й$(Т) имеем выражение г 1г апщ = и и ветт = — ', и () 1 щ~ а ~ ~ и~ ш)— о т 1г т'.г = — ~ ~ М ($(1)Ии)) йди1 —— — ~ ~ й(1 — и)йг)и. (120) о 1 о о Отсюда, пользуясь представлением (104), получим т;т 4В 1)В(Т) = 1, ~ ~а~(и (юа(1 — и)Лр(Л)аЛ = ° и о о ЯВ ° Э т т — ~ р (Л) И Л ~ ~ соа Л (1 — и) й Ии = ТЗ вЂ” за о о ОО = 2 ~ (Л) НЛ.
(121) Теперь интеграл в (121) оценим, как'в теореме б, ОЭ ВЦТ) =2 ~,, р(Л)ЛЛ= ь — 2 У И- "т (Л),1Л+2 ~ ' — Лт (Л),(Л. (122 — Ь ~4~а Поскольку 0~1 — соя ЛТ =Л2Т'(2 для всех Л и Т, то первый интеграл в (122) меньше любого е~)0, если б=б(е1) достаточно мало. Зафиксировав это 6, второй интеграл в (122) оценим так 1- ов ЛТ1 (Л),~ Л ~ < 4 (' (Л),11„, ш~ь йя ~б если Т достаточно велико. Тем самым равенство (120) доказано. Отсюда, как указано выше, следует (118). А (127) 4. Спектр колебания с флуктуирующей 'частотой. Пусть задано колебание ~(С) =Аосоз~соо(+ ~Ч(8)с(1 +сро~ 1 сто (123) са в котором девиация частоты т1(С) — вещественный стационарный равномерно с. к. непрерывный случайный процесс, а сро — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [О, 2п1.
Рассмотрим задачу о том, как связан спектр колебания я(1) со спектром девиации частоты с)(1). Естественно считать, что Мт)(1) =О. Согласно представлению (104) корреляционная функция сс„(и) имеет вид ст'п(и) = М(с((1+ и)т)(1)) = ~ рч(Цсоа Хис(Х, (124) о где р„(Х) — спектральная плотность стационарного процесса т)(1) -по положительным частотам. Для случайного набега фазы ф(т) за время от С до с+т имеем с+о ор(т) = ~. т)(г) с(г. (125) с так как Мт((г) =О, то Мф(т) =О. Обозначим через о'(т) дисперсию с) (т) с+о с+о оо (т) = М оро (т) = ~ ~ М (Ч (г) Ч (и)) йг с(и = с с+о о+о ') 1гч(г — и) йгйи. (126) с с Подставляя в (126) выражение (124), получим (ср. теорему 7) оо (т) = 2~ р„(й) о Таким образом, средний квадрат набега фазы определяется спектром девиации частоты.
Пусть теперь. девиация частоты с)(1) распределена по нормальному закону. В силу равенства (125) зто же верно и в отношении набега фазы ~)(т), а так как Мор=О, а дисперсия с)(т) равна оо(т), то плотность рас. пределения ф(т) имеет вид р(х, т) = е со*ш '(126) е (т) тс гп ) стационарного про- ем Найдем корреляционную фун цесса (123), Я, (и) = МЯ (!+ и А) ия(! + ) ич(!) о + соа ~е),(2!+ и)— 2 (+и — ))(т)((т — ~ т)(т)((т + 2)р ~~. о (а (129~ Ао о ) сов(ы,и — х)е еи'(и) ((х= 2 о (и) У2тс,3 2 ий А() сиз иъ и ) созхд 2и*(и) ((х = о (и) у'2й — (Е)и .(- Š— )и) Е ии(и) ()т ~. 2 Ф(и) Ао соз е)0 ие 2.
2 (130) (для вычисления интеграла.надо выделить полный квадрат в показателе экспоненты). Поскольку по теореме Хинчина для Р,(и) справедиво спектральное представление Щи) =~ р)(Л)еовЛи((Л, о (131) то согласно формуле обращения для интеграла Фурье из (!30) и (131) найдем А) ии Ф04) рт(Л) = — Г е ' созв,и сов Ли((и. (132) 2п а Для определения спектра девиации частоты т)(!) по спектру наблюдаемых колебаний $(!) мы приходим к следующему нелинейному интегральному уравнению для р„(Л) (подстав- Для вычисления )(,(и) мы должны усреднить (129) при помощи распределения (128) для ф и равномерного распределения для (рь Интегрирование по (р() от 0 до 2н обращает в нуль интеграл от второго косинуса в (129). Таким образом. получаем ляем (127) в (132)): '"о )(ь ()!) = — ~ ехр ~— о 1 — сох я )в' х (133) Это сложное интег альное уравнение может бытьрешено при различных упро юп(их предположениях 1101.
5. Корреяя онная функция стационарного марковского процесса. Целью этого примера является 'доказательство теоремы Дуба: корреляционная функция (т((и) нормального Ф(0, 1) стационарного марковского процесса равна Лт(и) = е-'"!"', с! ) О. (134) В самом деле, двумерная плотность нормального Ж(0, 1) процесса $(1) равна (см. 8 9) *! (х'+ хэ — ы х,хв) (135) где о=МЦ((,)$(1!))=(т((э — г!), поскольку процесс по условию стационарный. Одномерная плотность р)(1), х!), н свою очередь, равна 1 2 р,((,,х() = =е ттв вая (136) ибо 4(1)енУ(0, 1) при каждом б Отсюда для переходной плотности вероятности находим ! в(вхв — х,]' 2 1 — ввв р,((,, х,) У2я(1-вх) Переходная'плотность вероятности удовлетворяет уравнению Смолуховского (56) ()((мха((,,х,) = ) ()((х,х,(т, у)()(т, у~(„х!)с(у,(,( т((,. (138) Подставляя в (138) выражение (137), получим о)=о((д — 1!), о)=о((г — т), оо=о(т — (!) ! (ввив — (в) х,— хв)' 1 а ! — в~ ~а,— (,) 1% е Х я(1 вр ув (в) '"1 (1-вх!)(1 —',) 178 (ае~1-уя ( — а» 0 (у= х ~е ('(а,а,л,— уа' ( о ' '(-ау ау (139) 1 1' 2п((-а( ~оа) Сравнивая левую и правую части формулы (139), заключаем, что ну=о(оа, или, подробнее, Л(ту — 1() =Р(Г» — т))((т — ((), 1(<т<Г».
(140) Решением этого функционального уравнения служит функция. Я(п) =е-аи и) 0 (141) а — любое комплексное. Поскольку $(()енЛ((0,1), то 1((п) вещественна и, кроме того, (1((и) !~1, ибо ~Р(и) != =(Мс(и)С(0) ! <)(Мсу(и)М$»(0) =1. Отсюда (»~0, и теорема Дуба доказана. Английский ботаник Р. Броун обнаружил (1828), что частицы пыльцы, взвешенные в воде, совершают непрерывное беспорядочное движение, названное впоследствии «броуновским». Физическая теория броуновского движения впервые. была предложена А.
Эйнштейном и Э, Смолуховским ('1905). Л. Башелье (1900) нестрого вывел закон движения частицы, совершающей одномерное броуновское движение. Понятие марковской зависимости было введено А. А. Марковым (1906) для случая конечных . однородных цепей. А. Н. Колмогоров в работе 1931 г. дал строгое определение марковской зависимости для непрерывной схемы (время меняется непрерывно, а множество состояний конечно, счетно или непрерывно) и вывел основные дифференциальные уравнения для переходных вероятностей. Колмогоров назвал рассмотренные им процессы стохастически определенными,. вскоре для них возник термин «процессы без последействия», а затем по предложению А. Я. Хинчина указанные процессы стали называть «марковскими».
Дальнейшее развитие теория марковских процессов получила в работах В. Феллера (1934), П. Леви (1939) и ряда других математиков. Основы теории стационарных процессов были заложены А. Я. Хинчиным (1934). В настоящее время теория случайных процессов — бурно развивающаяся область математики с широкими приложениями в физике н технике. ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ С АТИСТИКА ,/ Предмет теории вероятностей составляют математиче-- ские модели так называемых экспериментов со случайным исходом. К математической статистике принято относить все вопросы, касающиеся сравнения этих моделей с реальностью. Сюда относится, например, важный вопрос о состоятельности математической модели реального эксперимента (явления и т. п.). В частности, речь идет о задаче проверки гипотезы о том, что результаты, получаемые на основе математической модели эксперимента, не противоречат опытным данным.
Поскольку вывод о непротиворечивости должен быть основан на опытных данных, содержащих элемент случайности, принимаемое решение следует формулировать в теоретико-вероятностных терминах.- Начало периода интенсивного развития статистических методов определяется работами К. Пирсона, выполненными в конце прдшлого столетия. Раздел математической статистики, в котором изучаются задачи-проверки. гипотез, был создан Ю. Нейманом, Э. С. Пнрсоном и Р. А. Фишером в конце двадцатых — начале тридцатых годов нашего столетия и с тех пор получил значительное развитие. Во многих задачах математической статистики опытные данные привлекаются лишь для уточнения математической модели явления. К этому кругу вопросов относятся задачи оценнвания параметров, составляющие один из центральных разделов математической статистики. Первые результаты в этой области получены К.
Ф. Гауссом' (1809) и А. А. Марковым (1900). Методы теории статистического оценивания получили глубокое развитие в работах Р. А. Фишера. С более общих позиций оба упомянутых раздела математической статистики объединены А. Вальдом (1939). Ему пРинадлежит единая исчерпывающая формулировка задач общей теории статистических решающих процедур. 180 $ !4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГ АЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ Пусть $ — случайный вектор в!Р-мерном евклидовом про-' странстве Я,. Если е!, ..., е„— ортойормированный базис Р„ то 5=Я $уеь /=! где $ь 1=1,...,п, координаты вектора й в базисе е!,...,е„ причем $!= Я, е;), 1=1, ..., п. Скалярные произведения Я, е!), ! =1, ...,и, являются случайными величинами. Скалярное произведение двух случайных векторов $ и !) также является случайной величиной и определяется равенством л й,ч) =Я Ьчп ! ! где !)!= (з1, е!), !=1....,п..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
